Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.5. Tích phân suy rộng
4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn
+ Định nghĩa
(1) Cho \( f:[a;+\infty )\to \mathbb{R},\,\,a\in \mathbb{R} \), khả tích trên \( [a,A],\,\,\forall A>a \).
Tích phân suy rộng của f với cận \( +\infty \) được kí hiệu là \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \).
Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ về số \( I\in \mathbb{R} \) nếu \( \underset{A\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{A}{f(x)dx}=I \), kí hiệu \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}=I \).
Nếu I không tồn tại hoặc \( I=\infty \) , thì nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì.
(2) Cho \( f:(-\infty ;a]\to \mathbb{R},\,\,a\in \mathbb{R} \), khả tích trên \( [B,a],\,\,\forall B<a \).
Tích phân suy rộng của f với cận \( -\infty \), kí hiệu là \( \int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx} \).
Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx} \) hội tụ về số \( J\in \mathbb{R} \) nếu \(\underset{B\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{B}^{a}{f(x)dx}=J=\int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx}\).
Nếu J không tồn tại hoặc \( J=\infty \) , thì nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx} \) phân kì.
(3) Cho \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) khả tích trên \( [A,B],\,\,\forall A,B\in \mathbb{R} \). Tích phân suy rộng của f với các cận vô hạn, kí hiệu là: \( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx} \).
Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng \( \int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) cùng hội tụ, \( \forall a\in \mathbb{R} \). Trong trường hợp này kí hiệu \( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx}=\int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx}+\int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx},\,\,\forall a\in \mathbb{R} \).
Rõ ràng nếu f(x) liên tục trên tập xác định của nó và có nguyên hàm F(x) thì có thể dùng kí hiệu Newton-Leibnitz như sau:
\( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}=\underset{A\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( F(A)-F(a) \right)=\left. F(x) \right|_{a}^{+\infty } \).
\( \int\limits_{-\infty }^{a}{f(x)dx}=F(a)-\underset{B\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F(B)=\left. F(x) \right|_{-\infty }^{a} \)
\( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx}=\underset{A\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F(A)-\underset{B\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F(B)=\left. F(x) \right|_{-\infty }^{+\infty } \).
+ Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng
Sau đây ta xét trường hợp tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{\infty }{f(x)dx} \) với \( f(x)\ge 0 \).
Các trường hợp tích phân suy rộng khác với f(x) giữ nguyên dấu, chúng ta có thể suy diễn tương tự để nhận được các kết quả tương ứng.
Đặt \( \phi (A)=\int\limits_{a}^{A}{f(x)dx} \).
Vì \( f(x)\ge 0 \) trên \( [a;+\infty ) \), chứng tỏ \( \phi (A) \) đơn điệu tăng trên \( [a;+\infty ) \). Từ định lí về giới hạn của hàm đơn điệu suy ra:
Định lí 1: Cho hàm số \( f(x)\ge 0 \) và khả tích trên \( [a;A],\forall A>a \) để tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ, điều kiện cần và đủ là tồn tại \( L\in \mathbb{R} \) sao cho \( \phi (a)\le L,\,\,\forall A \).
Định lí 2: Cho các hàm số \( f(x),g(x) \) khả tích trên \( [a;A],\,\,\forall A>a \) và \( 0\le f(x)\le g(x),\,\,\forall x\ge b>a \) khi đó:
Nếu \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
Nếu \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) phân kì.
Định lí 3: Cho các hàm số \( f(x),g(x) \) không âm và khả tích trên \( [a,A],\,\,\forall A>a \). Khi đó:
(1) Nếu \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\ell ,\,\,\ell \in R_{+}^{*} \) thì các tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.
(2) Nếu \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=0 \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
(3) Nếu \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) phân kì thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì.
Hệ quả 1: Giả sử với x đủ lớn hàm số f(x) có dạng: \( f(x)=\frac{h(x)}{{{x}^{k}}},\,\,k>0,\,\,h(x)\ge 0 \). Khi đó:
– Nếu \( k>1 \) và \( 0\le h\le c<+\infty \) thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
– Nếu \( k\le 1 \) và \( h(x)\ge c>0 \) thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì.
Trong đó c là hằng số.
Hệ quả 2: Nếu \( f(x)\ge 0 \) và là VCB cấp k so với VCB \( \frac{1}{x} \) tại \( +\infty \) thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ khi \( k>1 \) và phân kì khi \( k\le 1 \).
Hệ quả 1 được suy ra trực tiếp từ định lí 2.
Hệ quả 2 được suy ra trực tiếp từ định lí 3.
Định lí 4: Để tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ, điều kiện cần và đủ là: \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{A}_{0}}>a,\,\,\forall A>{{A}_{0}},\,\,\forall {A}’>{{A}_{0}}\Rightarrow \left| \phi ({A}’)-\phi (A) \right|<\varepsilon \) hay \( \left| \int\limits_{A}^{{{A}’}}{f(x)dx} \right|<\varepsilon \) .
Dựa vào tính chất của tích phân xác định \( \left| \int\limits_{A}^{{{A}’}}{f(x)dx} \right|<\int\limits_{A}^{{{A}’}}{\left| f(x) \right|dx} \).
Ta nhận được hệ quả sau đây
Hệ quả 3: Nếu \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left| f(x) \right|dx} \) hội tụ thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
+ Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của tích phân suy rộng.
(1) Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ tuyệt đối nếu tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left| f(x) \right|dx} \) hội tụ.
(2) Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) bán hội tụ nếu \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left| f(x) \right|dx} \) phân kì.
Định lí 5: Nếu tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ tuyệt đối và hàm số g(x) bị chặn trên \( [a;+\infty ) \) thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)g(x)dx} \) hội tụ tuyệt đối.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
4.5.2. Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm
+ Định nghĩa
(1) Cho \( f:(a,b)\backslash \{{{x}_{0}}\}\to \mathbb{R} \). Nói rằng \( {{x}_{0}}\in (a,b) \) là cực điểm của f(x) nếu \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty \). Hàm số có cực điểm tại a hoặc b nếu \( f({{a}^{+}})=\infty \) hoặc \( f({{b}^{-}})=\infty \) .
(2) Cho \( f:[a,b)\to \mathbb{R},\,\,f({{b}^{-}})=\infty \), khả tích trên \( [a,b-\varepsilon ],\,\,\forall \varepsilon >0 \) đủ bé. Tích phân suy rộng của f(x) trên [a,b], kí hiệu \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \). Nói rằng tích phân suy rộng hội tụ về \( I\in \mathbb{R} \) nếu \( \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b-\varepsilon }{f(x)dx}=I \), kí hiệu \( I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \).
Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn (không có I hoặc \( I=\infty \)) thì nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) phân kì.
(3) Cho \( f:(a,b]\to \mathbb{R},\,\,f({{a}^{+}})=\infty \) khả tích trên \( [a+\varepsilon ,b] \).
Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ về J nếu \( \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f(x)dx}=J \) (hữu hạn).
Nếu không tồn tại J nói rằng tích phân suy rộng phân kì.
(4) Cho \( f:[a,b]\backslash \{{{x}_{0}}\}\to \mathbb{R},\,\,{{x}_{0}}\in (a,b) \) là cực điểm của f.
Nói rằng tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{{{x}_{0}}}^{b}{f(x)dx} \) cùng hội tụ, khi đó kí hiệu: \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{f(x)dx}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{b}{f(x)dx} \).
+ Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng
Chúng ta giới hạn trường hợp f(x) giữa nguyên dấu trên (a;b). Giả sử \( f(x)\ge 0 \) trên \( [a,b) \) và \( f({{b}^{-}})=\infty \).
Đặt \( \phi (\varepsilon )=\int\limits_{a}^{b-\varepsilon }{f(x)dx} \).
Rõ ràng \( \phi (\varepsilon ) \) là hàm số giảm ở lân cận bên phải của điểm 0. Từ định lí về giới hạn của hàm đơn điệu, chúng ta nhận được định lí sau đây:
Định lí: Để tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ, điều kiện cần và đủ là \( \phi (\varepsilon ) \) bị chặn ở lân cận bên phải điểm \( \varepsilon =0 \), tức là \( \phi (\varepsilon )\le L,\,\,\forall \varepsilon >0 \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
