Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.3. Phương pháp tính tích phân bất định
Ta đã biết rằng \(\int{f(x)dx}=F(x)+C\) trên X, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên X và C là hằng số tùy ý.
4.3.1. Tính chất cơ bản của tích phân bất định
Cho \( f(x),g(x) \) có nguyên hàm, \( \lambda \in \mathbb{R} \).
(1) \( {{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}=f(x),\,\,d\int{f(x)dx}=f(x)dx \).
(2) \( \int{\left[ f(x)+g(x) \right]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx} \).
(3) \( \int{\lambda \cdot f(x)dx}=\lambda \int{f(x)dx} \).
(4) Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì \( f(u(x)){u}'(x) \) có một nguyên hàm là \( f(u(x)) \) nếu \( u\in {{C}^{1}} \), tức là
\( \int{f(x)dx}=F(x)+C\Rightarrow \int{f(u(x)){u}'(x)dx}=F(u(x))+C \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
4.3.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định
+ Phương pháp tích phân từng phần
Cho \( u,v\in {{C}^{1}} \) trên X khi đó: \( \int{u(x)dv(x)}=u(x)\cdot v(x)-\int{v(x)du(x)} \) trên X.
+ Phương pháp đổi biến số
Đặt \( x=\varphi (t) \), với \( \varphi \) đơn điệu và \( \varphi \in {{C}^{1}} \) trên Y khi đó: \(\int{f(x)dx}=\int{{{\left. f[\varphi (t)]{\varphi }'(t)dt \right|}_{t={{\varphi }^{-1}}(x)}}}\)
Đặt \( t=\psi (x) \) khi đó \( f(x)dx=g(t)dt \)
\(\int{f(x)dx}=\int{{{\left. g(t)dt \right|}_{\varphi =\psi (x)}}}\).
4.3.3. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ
+ Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất
\( I=\int{\frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx},\,\,a\in \mathbb{R} \).
– Nếu \( n=1 \) thì \( \int{\frac{1}{x-a}dx}=\ln \left| x-a \right|+C \), với \( C=const \) khi xét \( x<a \) hoặc \( x>a \).
– Nếu \( n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\backslash \{1\} \) thì \( \int{\frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx}=-\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{{{(x-a)}^{n-1}}}+C \).
+ Tích phân các phân thức tối giản loại thứ hai
\( I=\int{\frac{\lambda x+\mu }{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx},\,\,\lambda ,\mu ,a,b,c\in \mathbb{R} \) và \( {{b}^{2}}-4ac<0,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).
– Nếu \( \lambda =0 \): \( I=\mu \int{\frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx} \).
Biến đổi \( a{{x}^{2}}+bx+c=-\frac{\Delta }{4a}\left[ 1+{{\left( \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }} \right)}^{2}} \right],\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \).
Thực hiện đổi biến \( t=\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }} \).
Suy ra: \( I=\mu {{\left( -\frac{4a}{\Delta } \right)}^{n}}\cdot \frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}\int{\frac{1}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}dt} \).
Dẫn đến tính \( {{J}_{n}}(t)=\int{\frac{1}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}dt} \) bằng phương pháp truy toán.
Trước hết \( {{J}_{1}}(t)=\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dx}=\arctan t+C \)
Tích phân từng phần sẽ có:
\( {{J}_{n}}(t)=\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}+2n\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n+1}}}dt} \)
\( {{J}_{n}}=\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}+2n({{J}_{n}}-{{J}_{n+1}}) \)
\( 2n{{J}_{n+1}}=(2n-1){{J}_{n}}+\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}} \).
– Nếu \( \lambda \ne 0 \): \( I=\frac{\lambda }{2a}\int{\frac{2ax+\frac{2a\mu }{\lambda }}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}=\frac{\lambda }{2a}\int{\frac{2ax+b}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}+\frac{\lambda }{2a}\left( \frac{2a\mu }{\lambda }-b \right)\int{\frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx} \).
Tích phân thứ nhất tính được nhờ phép đổi biến: \( u=a{{x}^{2}}+bx+c \).
\( \int{\frac{2ax+b}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}=\int{\frac{1}{{{u}^{n}}}du}=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n-1}}}+C \).
Tích phân thứ hai tính theo \( {{J}_{n}} \) đã trình bày ở trên.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
4.3.4. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông dụng
+ Hàm hữu tỉ đối với sin và cosin
(1) Trường hợp tổng quát
Xét \( \int{R(\sin x,\cos x)dx} \), trong đó R là “phân thức hữu tỉ hai biến”.
Thực hiện phép đổi biến: \( t=\tan \frac{x}{2} \). Khi đó: \( \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\,\,\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}},\,\,dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \).
Khi đó đưa về dạng \( \int{\frac{P(t)}{Q(t)}dt} \).
Tuy nhiên bậc của P(t) và Q(t) thường là cao, làm cho quá trình tính toán rất nặng nhọc. Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt, với cách đổi biến thích hợp sẽ tính toán dễ dàng hơn.
(2) Trường hợp đặc biệt thứ nhất
– Nếu \( R(\sin x,\cos x)=R(-\sin x,-\cos x) \) thì đổi biến \( t=\tan x \) hoặc \( t=\cot x \).
– Nếu \( R(\sin x,\cos x)=-R(\sin x,-\cos x) \) thì đổi biến \( t=\sin x \).
– Nếu \( R(\sin x,\cos x)=-R(-\sin x,\cos x) \) thì đổi biến \( t=\cos x \).
(3) Trường hợp đặc biệt thứ hai.
Khi \( R(\sin x,\cos x)={{\sin }^{m}}x\cdot {{\cos }^{n}}x,\,\,m,n\in \mathbb{Z} \).
– Nếu m lẻ thì đổi biến \( t=\cos x \).
– Nếu n lẻ thì đổi biến \( t=\sin x \).
– Nếu m, n chẵn và không cùng dương thì đổi biến \( t=\tan x \).
– Nếu m, n chẵn và cùng dương thì tuyến tính hóa sau đó tính nguyên hàm.
+ Hàm hữu tỉ đối với \( shx \) và \( chx \).
Vì đạo hàm của các hàm \( shx \) và \( chx \) tương tự như các hàm \( \sin x \) và \( \cos x \), mà \( \int{R(sixn,\cos x)dx} \) có phép đổi biến tương tự là \( t=\tan \frac{x}{2},\,\,t=\cos x,\,\,t=\sin x,\,\,t=\tan x \), cho nên \( \int{R(shx,chx)dx} \) có phép đổi biến tương ứng là \( t=th\frac{x}{2},\,\,t=chx,\,\,t=shx,\,\,t=thx \).
+ Hàm hữu tỉ đối với \( {{e}^{\alpha x}},\,\,\alpha \in \mathbb{R} \).
Xét \( I=\int{f({{e}^{\alpha x}})dx} \), trong đó f(x) là hàm hữu tỉ. Thực hiện phép đổi biến \( t={{e}^{\alpha x}},\,\,dt=\alpha {{e}^{\alpha x}}dx \). Khi đó:
\( I=\frac{1}{\alpha }\int{\frac{f(t)}{t}dt} \).
+ Hàm hữu tỉ đối với x và \( \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \).
Xét \( I=\int{R\left( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right)dx} \), trong đó \( R(x,y) \) là hàm hữu tỉ của hai biến x, y.
Với \( y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \) thỏa mãn điều kiện \( ad\ne bc \).
Thực hiện phép đổi sang biến y thì \( R(x,y)dx=R\left( \frac{{{y}^{n}}d-b}{a-c{{y}^{n}}},y \right)\frac{n{{y}^{n-1}}(ad-bc)}{{{(a-c{{y}^{n}})}^{2}}}dy=f(y)dy \), trong đó \( f(y) \) là hàm hữu tỉ của y.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
