Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.3.1. Bài tập về nguyên hàm (tích phân bất định)
Định nghĩa 4.1.1. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng nào đó nếu F(x) liên tục trên khoảng đó và khả vi tại mỗi điểm trong của khoảng và \( {F}'(x)=f(x) \).
Định lí. 4.1.1. (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm liên tục trên đoạn \( \left[ a;b \right] \) đều có nguyên hàm trên khoảng \( \left( a;b \right) \).
Định lí 4.1.2. Các nguyên hàm bất kì của cùng một hàm là chỉ khác nhau bởi một hằng số cộng.
Khác với đạo hàm, nguyên hàm của hàm sơ cấp không phải bao giờ cũng là hàm sơ cấp. Chẳng hạn, nguyên hàm của các hàm \( {{e}^{-{{x}^{2}}}},\,\,\cos ({{x}^{2}}),\,\,\sin ({{x}^{2}}),\,\,\frac{1}{\ln x},\,\,\frac{\cos x}{x},\,\,\frac{\sin x}{x},… \) là những hàm không sơ cấp.
Định nghĩa 10.1.2. Tập hợp mọi nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng \( \left( a;b \right) \) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng \( \left( a;b \right) \) và được kí hiệu là \int{f(x)dx}.
Nếu F(x) là một trong các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng \( \left( a;b \right) \) thì theo định lí 4.1.2.
\( \int{f(x)dx}=F(x)+C,\,\,C\in \mathbb{R} \), trong đó C là hằng số tùy ý và đẳng thức cần hiểu là đẳng thức giữa hai tập hợp.
Các tính chất cơ bản của tích phân bất định:
1) \( d\left( \int{f(x)dx} \right)=f(x)dx \)
2) \( {{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}=f(x) \)
3) \( \int{df(x)}=\int{{f}'(x)dx}=f(x)+C \).
Từ định nghĩa tích phân bất định rút ra bảng các tích phân cơ bản (thường được gọi là nguyên hàm cơ bản) sau đây:
1) \( \int{0dx}=C \)
2) \( \int{1dx}=x+C \)
3) \( \int{{{x}^{\alpha }}dx}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C,\,\,\alpha \ne -1 \)
4) \( \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C,\,\,x\ne 0 \).
5) \( \int{{{a}^{x}}dx}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\,\,\left( 0<a\ne 1 \right);\,\,\int{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}+C \)
6) \( \int{\sin xdx}=-\cos x+C \)
7) \( \int{\cos xdx}=\sin x+C \)
8) \( \int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C,\,\,x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).
9) \( \int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-\cot x+C,\,\,x\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).
10) \( \int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx}=\left\{ \begin{align} & \arcsin x+C \\ & -\arccos x+C \\ \end{align} \right.,\,\,-1<x<1 \).
11) \( \int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\left\{ \begin{align} & \arctan x+C \\ & -\arccot x+C \\ \end{align} \right. \).
12) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1}}dx}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1} \right|+C \) (Trong trường hợp dấu trừ thì \( x<-1\vee x>1 \))
13) \( \int{\frac{1}{1-{{x}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right|+C,\,\,\left| x \right|\ne 1 \).
\( \oplus \) Các quy tắc tính tích phân bất định:
1) \(\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx},\,\,k\ne 0\).
2) \( \int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx} \).
3) Nếu \( \int{f(x)dx}=F(x)+C \) và \( u=\varphi (x) \) khả vi liên tục thì \( \int{f(u)du}=F(u)+C \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm \( y=signx \) có nguyên hàm trên khoảng bất kì không chứa điểm \( x=0 \) và không có nguyên hàm trên mọi khoảng chứa điểm \( x=0 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
1) Trên khoảng bất kì không chứa điểm \( x=0 \), hàm \( y=signx \) là hằng số. Chẳng hạn với mọi khoảng \( (a,b),\,\,0<a<b \) ta có \( signx=1 \) và do đó mọi nguyên hàm của nó trên \( (a,b) \) có dạng
\( F(x)=x+C,\,\,C\in \mathbb{R} \).
2) Ta xét khoảng \( (a,b) \) mà \( a<0<b \). Trên khoảng \( (a,0) \) mọi nguyên hàm của \( signx \) có dạng \( F(x)=-x+{{C}_{1}} \) còn trên khoảng \( (0,b) \) nguyên hàm có dạng \( F(x)=x+{{C}_{2}} \). Với mọi cách chọn hằng số \( {{C}_{1}} \) và \( {{C}_{2}} \) ta thu được hàm trên \( (a,b) \) không có đạo hàm tại điểm \( x=0 \). Nếu ta chọn \( C={{C}_{1}}={{C}_{2}} \) thì thu được hàm liên tục \( y=\left| x \right|+C \) nhưng không khả vi tại điểm \( x=0 \). Từ đó, theo định nghĩa 1 hàm \( signx \) không có nguyên hàm trên \( (a,b) \), \( a<0<b \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm \( f(x)={{e}^{\left| x \right|}} \) trên toàn trục số.
Hướng dẫn giải:
Với \( x\ge 0 \) ta có \( {{e}^{\left| x \right|}}={{e}^{x}} \) và do đó trong miền \( x>0 \) một trong các nguyên hàm là \( {{e}^{x}} \).
Khi \( x<0 \) ta có \( {{e}^{\left| x \right|}}={{e}^{-x}} \) và do vậy trong miền \( x<0 \) một trong các nguyên hàm là \( -{{e}^{-x}}+C \) với hằng số C bất kì.
Theo định nghĩa, nguyên hàm của hàm \( {{e}^{\left| x \right|}} \) phải liên tục nên nó phải thỏa mãn điều kiện
\( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{e}^{-x}}+C \right), tức là 1=-1+C\Rightarrow C=2 \).
Như vậy: \( F(x)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x>0 \\ & 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=0 \\ & -{{e}^{-x}}+2\,\,\,\,khi\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \) là hàm liên tục trên toàn trục số. Ta chứng minh rằng F(x) là nguyên hàm của hàm \( {{e}^{\left| x \right|}} \) trên toàn trục số. Thật vậy, với \( x>0 \) ta có \( {F}'(x)={{e}^{x}}={{e}^{\left| x \right|}} \), với \( x<0 \) thì \( {F}'(x)={{e}^{-x}}={{e}^{\left| x \right|}} \).
Ta còn cần phải chứng minh rằng \( {F}'(0)={{e}^{0}}=1 \).
Ta có:
\( \begin{align} & {{{{F}’}}_{+}}(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1,\,\, \\ & {{{{F}’}}_{-}}(0)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{e}^{-x}}+2-1}{x}=1. \\ \end{align} \)
Như vậy \( {{{F}’}_{-}}(0)={{{F}’}_{+}}(0)={F}'(0)=1={{e}^{\left| x \right|}} \). Từ đó có thể viết:
\( \int{{{e}^{\left| x \right|}}dx}=F(x)+C=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\ge 0 \\ & -{{e}^{-x}}+2+C\,\,\,\,khi\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm có đồ thị qua điểm \( (-2;2) \) đối với hàm \( f(x)=\frac{1}{x},\,\,x\in \left( -\infty ;0 \right) \).
Hướng dẫn giải:
Vì \( {{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x} \) nên \( \ln \left| x \right| \) là một trong các nguyên hàm của hàm \( f(x)=\frac{1}{x} \). Do vậy, nguyên hàm của f là hàm \( F(x)=\ln \left| x \right|+C,\,\,C\in \mathbb{R} \). Hằng số C được xác định từ điều kiện \( F(-2)=2 \), tức là \( \ln 2+C=2\Rightarrow C=2-\ln 2 \). Như vậy: \( F(x)=\ln \left| x \right|+2-\ln 2=\ln \left| \frac{x}{2} \right|+2 \).
Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau đây:
1) \( \int{\frac{{{2}^{x+1}}-{{5}^{x-1}}}{{{10}^{x}}}dx} \).
2) \( \int{\frac{2x+3}{3x+2}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) Ta có:
\(\begin{align} & I=\int{\left( 2\cdot \frac{{{2}^{x}}}{{{10}^{x}}}-\frac{{{5}^{x}}}{5\cdot {{10}^{x}}} \right)dx}=\int{\left[ 2{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}-\frac{1}{5}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}} \right]dx}=2\int{{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}dx}-\frac{1}{5}\int{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}dx} \\ & \,\,\,=2\frac{{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}}{\ln \left( \frac{1}{5} \right)}-\frac{1}{5}\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}}{\ln \frac{1}{2}}+C=-\frac{2}{{{5}^{x}}\ln 5}+\frac{1}{5\cdot {{2}^{x}}\ln 2}+C. \\ \end{align}\)
2) \( \int{\frac{2x+3}{3x+2}dx}=\int{\frac{2\left( x+\frac{3}{2} \right)}{3\left( x+\frac{2}{3} \right)}dx}=\frac{2}{3}\int{\frac{\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{5}{6}}{x+\frac{2}{3}}dx}=\frac{2}{3}\int{\left[ 1+\frac{\frac{5}{6}}{x+\frac{2}{3}} \right]dx}=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}\ln \left| x+\frac{2}{3} \right|+C \).
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm:
1) \( \int{{{\tan }^{2}}xdx} \).
2) \( \int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{1+\cos 2x}dx} \)
3) \( \int{\sqrt{1-\sin 2x}dx} \)
Hướng dẫn giải:
1) \( \int{{{\tan }^{2}}xdx}=\int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}=\tan x-x+C \).
2) \(\int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{1+\cos 2x}dx}=\int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{2{{\cos }^{2}}x}dx}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+1 \right)dx}=\frac{1}{2}\left( \tan x+x \right)+C\).
3) \(\begin{align} & \int{\sqrt{1-\sin 2x}dx}=\int{\sqrt{{{\sin }^{2}}x-2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\sqrt{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}dx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int{\left| \sin x-\cos x \right|dx}=\left( \sin x+\cos x \right)sign\left( \cos x-\sin x \right)+C. \\ \end{align}\)
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Tìm nguyên hàm (Sử dụng phép biến đổi đồng nhất):
1) \( \int{\frac{1}{{{x}^{4}}-1}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|-\frac{1}{2\arctan x}+C \))
2) \( \int{\frac{1+2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}dx} \) (Đs: \( \arctan x-\frac{1}{x}+C \))
3) \( \int{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}dx} \) (Đs: \( \arcsin x+\ln \left| x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right|+C \))
4) \( \int{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{4}}-1}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right|-\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|+C \))
5) \( \int{\frac{\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{-4}}+2}}{{{x}^{3}}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| x \right|-\frac{1}{4{{x}^{4}}}+C \))
6) \( \int{\frac{{{2}^{3x}}-1}{{{e}^{x}}-1}dx} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{2x}}}{2}+{{e}^{x}}+C \))
7) \( \int{\frac{{{2}^{2x}}-1}{\sqrt{{{2}^{x}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{\ln 2}\left[ \frac{{{2}^{\frac{3x}{2}}}}{3}+{{2}^{-\frac{x}{2}}} \right]+C \))
8) \( \int{\frac{1}{x\left( 2+{{\ln }^{2}}x \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\ln x}{\sqrt{2}} \))
9) \( \int{\frac{\sqrt[3]{{{\ln }^{2}}x}}{x}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{5}{{\ln }^{5/3}}x+C \))
10) \( \int{\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{2x}}}{1-{{e}^{x}}}dx} \) (Đs: \( -{{e}^{x}}-2\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C \))
11) \( \int{\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}dx} \) (Đs: \( \ln \left( 1+{{e}^{x}} \right)+C \))
12) \(\int{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}dx}\) (Đs: \(\frac{1}{2}x-\frac{\sin x}{2}+C\))
13) \( \int{{{\cot }^{2}}xdx} \) (Đs: \( -x-\cot x+C \))
14) \( \int{\sqrt{1+\sin 2x}dx},\,\,x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \) (Đs: \( -\cos x+\sin x+C \))
15) \( \int{{{e}^{\cos x}}\sin xdx} \) (Đs: \( -{{e}^{\cos x}}+C \))
16) \( \int{{{e}^{x}}\cos {{e}^{x}}dx} \) (Đs: \( \sin {{e}^{x}}+C \))
17) \( \int{\frac{1}{1+\cos x}dx} \) (Đs: \( \tan \frac{x}{2}+C \))
18) \( \int{\frac{1}{\sin x+\cos x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right) \right|+C \))
19) \( \int{\frac{1+\cos x}{{{\left( x+\sin x \right)}^{3}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{{{\left( x+\sin x \right)}^{2}}}+C \))
20) \( \int{\frac{\sin 2x}{\sqrt{1-4{{\sin }^{2}}x}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{2}\sqrt{1-4{{\sin }^{2}}x}+C \))
21) \( \int{\frac{\sin x}{\sqrt{2-{{\sin }^{2}}x}}dx} \) (Đs: \( -\ln \left| \cos x+\sqrt{1+{{\cos }^{2}}x} \right|+C \))
22) \( \int{\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{3-{{\sin }^{4}}x}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\arcsin \left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{\sqrt{3}} \right)+C \))
23) \( \int{\frac{\arccot 3x}{1+9{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{6}{{\arccot }^{2}}3x+C \))
24) \(\int{\frac{x+\sqrt{\arctan 2x}}{1+4{{x}^{2}}}dx}\) (Đs: \(\frac{1}{8}\ln \left( 1+4{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{3}{{\arctan }^{3/2}}2x+C\))
25) \( \int{\frac{\arcsin x-\arccos x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left( {{\arcsin }^{2}}x+{{\arccos }^{2}}x \right)+C \))
26) \( \int{\frac{x+{{\arcsin }^{3}}2x}{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{4}\sqrt{1-4{{x}^{2}}}+\frac{1}{8}{{\arcsin }^{4}}2x+C \))
27) \( \int{\frac{x+{{\arccos }^{3/2}}x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( -\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{2}{5}{{\arccos }^{5/2}}x+C \))
28) \( \int{x\left| x \right|dx} \) (Đs: \( \frac{{{\left| x \right|}^{3}}}{3}+C \))
29) \( \int{\left( 2x-3 \right)\left| x-2 \right|dx} \) (Đs: \( F(x)=\left\{ \begin{align} & -\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{7}{2}{{x}^{2}}-6x+C,\,\,x<2 \\ & \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+6x+C,\,\,x\ge 2 \\ \end{align} \right. \))
30) \( \int{f(x)dx},\,\,f(x)=\left\{ \begin{align} & 1-{{x}^{2}},\,\,\left| x \right|\le 1 \\ & 1-\left| x \right|,\,\,\left| x \right|>1 \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( F(x)=\left\{ \begin{align} & x-\frac{{{x}^{3}}}{3}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right|\le 1 \\ & x-\frac{x\left| x \right|}{2}+\frac{1}{6}signx+C\,\,\,khi\,\,\left| x \right|>1 \\ \end{align} \right. \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
