Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.1. Khái niệm về tích phân xác định
4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định
Cho \( f:[a,b]\to \mathbb{R},\,\,a<b \).
(1) Ta gọi một họ hữu hạn các điểm \( ({{x}_{i}}),\,\,i=\overline{0,n} \) sao cho \( a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<…<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b \) là một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [a,b] và gọi \( \lambda =\underset{0\le i\le n-1}{\mathop{max}}\,\Delta {{x}_{i}} \), trong đó \( \Delta {{x}_{i}}={{x}_{i+1}}-{{x}_{i}},\,\,i=\overline{0,n-1} \) là bước của phân hoạch đã chọn. Tập phân hoạch là \( ({{\wp }_{n}}) \).
(2) Ta gọi một cách chọn ứng với phân hoạch là một cách lấy n điểm \( {{\xi }_{i}} \), sao cho \( {{\xi }_{i}}\in [{{x}_{i}},{{x}_{i+1}}],\,\,i=\overline{0,n-1} \).
(3) Ta gọi số thực \( \sigma =\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f({{\xi }_{i}})\Delta {{x}_{i}}} \) là tổng Riemann của hàm f ứng với một phân hoạch và một cách chọn. Rõ ràng với \( f\in {{\mathbb{R}}^{[a,b]}} \) sẽ có dãy vô hạn tổng Riemann \( \sigma \) . Kí hiệu là \( ({{\sigma }_{n}}) \).
(4) Nếu \( \lambda \to 0 \) mà \( {{\sigma }_{n}}\to I \) hữu hạn (không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm \( {{\xi }_{i}} \) ứng với cách chia đó) thì I gọi là tích phân xác định của f trên [a,b], kí hiệu là \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \), khi đó nói rằng f khả tích trên [a,b]. Như vậy \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\underset{\lambda \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f({{\xi }_{i}})\Delta {{x}_{i}}} \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
4.1.2. Điều kiện tồn tại
+ Điều kiện cần
Định lí: Nếu f khả tích trên [a,b] thì f bị chặn trên [a,b].
+ Các tổng Darboux
Cho \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) và phân hoạch \( ({{x}_{i}}) \) xác định \( (i=\overline{0,n}) \).
Đặt \( {{m}_{i}}=\underset{[{{x}_{i}},{{x}_{i+1}}]}{\mathop{\inf }}\,f,\,\,{{M}_{i}}=\underset{[{{x}_{i}},{{x}_{i+1}}]}{\mathop{Sup}}\,f,\,\,i=\overline{0,n-1} \).
Ta gọi \( s=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{m}_{i}}\Delta {{x}_{i}}},\,\,S=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{M}_{i}}\Delta {{x}_{i}}} \) là các tổng Darboux dưới và trên, hay tổng tích phân dưới và tổng tích phân trên của f ứng với một phân hoạch xác định.
Vì rằng \( {{m}_{i}}\le f({{\xi }_{i}})\le {{M}_{i}},\,\,\forall {{\xi }_{i}}\in [{{x}_{i}},{{x}_{i+1}}] \) nên \( s\le \sigma \le S \).
Một phân hoạch đã định thì s,S là hằng số, tổng Riemann phụ thuộc vào \( {{\xi }_{i}}\in [{{x}_{i}},{{x}_{i+1}}],\,\,i=\overline{0,n-1} \). Chứng tỏ các tổng Darboux là cận dưới đúng và cận trên đúng của \( \sigma \).
Hệ quả 1: Nếu thêm vào điểm chia mới thì s tăng và S giảm.
Hệ quả 2: Mọi tổng Darboux dưới không vượt quá một tổng Darboux trên.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích
Định lí: Để cho hàm f khả tích trên [a,b] điều kiện cần và đủ là \( \underset{\lambda \to 0}{\mathop{\lim }}\,(S-s)=0 \).
4.1.3. Lớp các hàm khả tích
+ Định lí 1: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó.
+ Định lí 2: Nếu f(x) đợn điệu và bị chặn trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó.
+ Hệ quả: Nếu f(x) liên tục từng khúc trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó.
Dưới đây ta đưa ra các định lí và sẽ không chứng minh, về một lớp hàm khả tích, lớp hàm này chứa tất cả các lớp hàm đã xét ở trên.
+ Định lí 3: Nếu f(x) bị chặn trên [a,b] và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn thì f(x) khả tích trên [a,b].
+ Định lí 4: Nếu f(x) khả tích trên [a,b] thì \( \left| f(x) \right|,\,\,k\cdot f(x)\,\,(k=const) \) cũng khả tích trên [a,b].
+ Định lí 5: Nếu f,g khả tích trên [a,b] thì tổng, hiệu, tích của chúng cũng khả tích trên [a,b].
+ Định lí 6: Nếu f khả tích trên [a,b] thì khả tích trên mọi đoạn \( [\alpha ,\beta ]\subset [a,b] \). Ngược lại nếu [a,b] được tách ra thành một số đoạn và trên mỗi đoạn đó hàm khả tích thì f khả tích trên [a,b].
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
4.1.4. Các tính chất của tích phân xác định
+ Tính chất:
Cho f, g khả tích trên [a,b] và \( a<b,\,\,\lambda \) là hằng số.
(1) \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx} \) với \( c\in (a,b) \).
(2) \( \int\limits_{a}^{b}{\lambda f(x)dx}=\lambda \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \).
(3) \( \int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)+g(x) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}+\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).
(4) Nếu \( f(x)\ge 0 \) trên \( [a,b] \) thì \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\ge 0\).
(5) Nếu \( f(x)\ge g(x),\,\,\forall x\in [a,b] \) thì \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\ge \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).
(6) Nếu \( f(x)\ge 0 \) trên [a,b], f(x) liên tục tại \( {{x}_{0}}\in [a,b] \) và \( f({{x}_{0}})>0 \) thì \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}>0 \).
(7) \( \left| \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \right|\le \int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx} \).
(8) Nếu \( m\le f(x)\le M,\,\,\forall x\in [a,b] \) thì \( m(b-a)\le \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\le M(b-a) \).
+ Định lí tổng quát về giá trị trung bình
Định lí: Cho \( f(x),g(x) \) khả tích trên [a,b], \( a<b,\,\,g(x)\ge 0 \) hoặc \( g(x)\le 0 \) trên [a,b] và \( m\le f(x)\le M \). Khi đó tồn tại \( \mu \in [m,M] \) để cho \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)\cdot g(x)dx}=\mu \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).
Nếu thêm điều kiện f(x) liên tục thì tồn tại \( c\in [a,b] \) sao cho \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)\cdot g(x)dx}=c\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).
+ Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đối với tích phân
Định lí: Nếu \( f(x),g(x) \) liên tục từng khúc trên [a,b] thì khi đó \( {{\left( \int\limits_{a}^{b}{f(x)\cdot g(x)dx} \right)}^{2}}\le \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}\cdot \int\limits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx} \).
4.1.5. Công thức Newton - Leibnitz
+ Hàm tích phân của cận trên
Cho f(x) khả tích trên [a,b]. Lấy \( {{x}_{0}} \) cố định, \( {{x}_{0}}\in [a,b] \). Cho \( x\in [a,b] \) khi đó theo định lí 6 thì hàm f(x) khả tích trên \( [{{x}_{0}},x] \) với x tùy ý trong [a,b]. Hàm số \( \phi (x)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{f(t)dt} \) gọi là hàm tích phân của cận trên hay tích phân của hàm f(x) theo cận trên.
Định lí 1: \( \phi (x) \) là hàm liên tục trên [a,b].
Định lí 2: Nếu f(x) liên tục [a,b] thì \( \phi (x) \) khả vi trên [a,b] và có \( {\phi }'(x)=f(x),\,\,\forall x\in [a,b] \).
Hệ quả: Nếu \( \alpha (x),\beta (x) \) khả vi trên X, f(x) liên tục trên X và \( [\alpha (x),\beta (x)]\subset X,\,\,\forall x\in X \) thì \(G(x)=\int\limits_{\alpha (x)}^{\beta (x)}{f(t)dt}\) khả vi trên X và \( {G}'(x)=f(\beta (x))\cdot {\beta }'(x)-f(\alpha (x))\cdot {\alpha }'(x) \).
+ Nguyên hàm của hàm số và tích phân bất định
Cho \( f(x),F(x):X\to \mathbb{R} \). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên X nếu F(x) khả vi trên X và ta có \( {F}'(x)=f(x),\,\,\forall x\in X \).
Định lí: Nếu f(x) liên tục trên X thì sẽ có nguyên hàm trên X và nếu F(x) là một nguyên hàm thì tập hợp các nguyên hàm của f(x) là \( \left\{ F(x)+C,C\in \mathbb{R} \right\} \).
+ Công thức Newton – Leibnitz
Định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] có một nguyên hàm là F(x) trên [a,b] thì \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a) \).
Đại lượng \( F(b)-F(a) \) được kí hiệu \( \left. F(x) \right|_{a}^{b} \) gọi là biến phân từ a đến b của F(x).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
