Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.5.2. Bài tập về tích phân suy rộng của hàm không bị chặn
1. Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng \( \left[ a,b \right) \) và khả tích trên mọi đoạn \( \left[ a,\xi \right],\,\,\xi <b \). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \( \underset{\xi \to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{\xi }{f(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,(4.32) \) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm \( f(x) \) trên \( \left[ a,b \right) \) và kí hiệu là \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.33) \).
Trong trường hợp này tích phân suy rộng (4.33) được gọi là tích phân hội tụ. Nếu giới hạn (4.32) không tồn tại thì tích phân suy rộng (4.33) phân kì.
Định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f(x) xác định trên khoảng \( \left[ a,b \right) \) được phát biểu tương tự.
Nếu hàm f(x) khả tích theo nghĩa suy rộng trên các khoảng \( \left[ a,c \right) \) và \( \left[ c,b \right) \) thì hàm được gọi là hàm khả tích theo nghĩa suy rộng trên đoạn \( \left[ a,b \right] \) và trong trường hợp này tích phân suy rộng được xác định bởi đẳng thức: \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx} \).
2. Các công thức cơ bản
a) Nếu các tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) hội tụ thì \(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) ta có tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{\left[ \alpha f(x)+\beta g(x) \right]dx} \) hội tụ và
\( \int\limits_{a}^{b}{\left[ \alpha f(x)+\beta g(x) \right]dx}=\alpha \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}+\beta \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).
b) Công thức Newton-Leibnitz. Nếu hàm \( f(x),\,\,x\in \left[ a,b \right) \) liên tục và F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x) trên \( \left[ a,b \right) \) thì \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\left. F(x) \right|_{a}^{{{b}^{-}}}=F({{b}^{-}})-F(a),\,\,\,F({{b}^{-}})=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,F(x) \).
c) Công thức đổi biến. Giả sử f(x) liên tục trên \( \left[ a,b \right) \) còn \( \varphi (t),\,\,t\in \left[ \alpha ,\beta \right) \) khả vi liên tục và \( a=\varphi (\alpha )\le \varphi (t)<\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi (t)=b \). Khi đó: \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left[ \varphi (t) \right]{\varphi }'(t)dt} \).
d) Công thức tích phân từng phần. Giả sử \( u(x),\,\,x\in \left[ a,b \right) \) và \( v(x),\,\,x\in \left[ a,b \right) \) là những hàm khả vi liên tục và \( \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(uv) \) tồn tại. Khi đó, \( \int\limits_{a}^{b}{udv}=\left. uv \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}\Rightarrow \left. uv \right|_{a}^{b}=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(uv)-u(a)v(a) \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
3. Các điều kiện hội tụ
a) Tiêu chuẩn Cauchy. Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng \( \left[ a,b \right) \), khả tích theo nghĩa thông thường trên mọi đoạn \( \left[ a,\xi \right],\,\,\xi <b \) và không bị chặn trong lân cận bên trái của điểm \( x=b \). Khi đó tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ khi và chỉ khi \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists \eta \in \left[ a,b \right) \) sao cho \( \forall {{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}\in \left( \eta ,b \right) \) thì \(\left| \int\limits_{{{\eta }_{1}}}^{{{\eta }_{2}}}{f(x)dx} \right|<\varepsilon \).
b) Dấu hiệu so sánh I. Giả sử \( g(x)\ge f(x)\ge 0 \) trên khoảng \( \left[ a,b \right) \) và khả tích trên mỗi đoạn con \( \left[ a,\xi \right],\,\,\xi <b \). Khi đó:
(i) Nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) hội tụ thì tích \( phân \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ.
(ii) Nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) phân kì thì tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) phân kì.
c) Dấu hiệu so sánh II. Giả sử \( f(x)\ge 0,\,\,g(x)>0,\,\,x\in \left[ a,b \right) \) và \( \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda \).
Khi đó:
(i) Nếu \( 0<\lambda <+\infty \) thì các tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kì.
(ii) Nếu \( \lambda =0 \) và tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) hội tụ thì tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ.
(iii) Nếu \( \lambda =+\infty \) và tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ thì tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \) hội tụ.
Để so sánh ta thường sử dụng tích phân: \( \int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{{{\left( x-b \right)}^{\alpha }}}dx}\left\langle \begin{align} & \text{ho }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ i tu }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha <1 \\ & \text{pha }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ n k }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha \ge 1 \\ \end{align} \right. \)
hoặc \( \int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{{{\left( b-x \right)}^{\alpha }}}dx}\left\langle \begin{align} & \text{ho }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ i tu }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha <1 \\ & \text{pha }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ n k }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha \ge 1 \\ \end{align} \right. \).
Định nghĩa. Tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx} \) hội tụ và được gọi là hội tụ có điều kiện nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ nhưng \( \int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx} \) phân kì.
d) Tương tự như 4.5.3 ta có:
Dấu hiệu thực hành. Nếu khi \( x\to {{b}^{-}} \) hàm \( f(x)\ge 0 \) xác định và liên tục trong \( \left[ a,b \right) \) là vô cùng lớn cấp \( \alpha \) so với \( \frac{1}{b-x} \) thì
(i) Tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hội tụ khi \( \alpha <1 \).
(ii) Tích phân \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) phân kì khi \( \alpha \ge 1 \).
I. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1. Xét tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Hàm \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \) liên tục và do đó nó khả tích trên mọi đoạn \( \left[ 0,1-\varepsilon \right],\,\,\varepsilon >0 \), nhưng khi \( x\to {{1}^{-}} \) thì \( f(x)\to +\infty \) .
Ta có: \( \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{1-\varepsilon }{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx}=\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\arcsin \left( 1-\varepsilon \right)=\arcsin 1=\frac{\pi }{2} \).
Như vậy tích phân đã cho hội tụ.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}dx}\).
Hướng dẫn giải:
Hàm dưới dấu tích phân có gián đoạn vô cùng tại điểm \( x=1 \). Ta có: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}\le \frac{1}{\sqrt{1-x}},\,\,\forall x\in \left[ 0,1 \right) \).
Nhưng tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}dx}\) hội tụ, nên theo dấu hiệu so sánh I tích phân đã cho hội tụ.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{e}^{x}}-\cos x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Ở đây hàm dưới dấu tích phân có gián đoạn vô cùng tại điểm \( x=0 \). Khi \(x\in \left( 0;1 \right]\) ta có:
\( \frac{1}{{{e}^{x}}-\cos x}\ge \frac{1}{xe} \) vì rằng \( xe\ge {{e}^{x}}-\cos x \) (tại sao?). Nhưng tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{xe}dx} \) phân kì nên tích phân đã cho phân kì.
Ví dụ 4. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}dx},\,\,\alpha \ge 0 \).
Hướng dẫn giải:
Ta chia khoảng lấy tích phân làm hai sao cho khoảng thứ nhất hàm có bất thường tại điểm \( x=0 \). Chẳng hạn ta chia thành hai nửa khoảng \( \left( 0;1 \right] \) và \( \left[ 1;+\infty \right) \). Khi đó ta có:
\( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}dx}+\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.34) \)
Đầu tiên xét tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}dx} \).
Ta có: \(f(x)=\frac{\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}\underset{\left( x\to 0 \right)}{\mathop{\sim }}\,\frac{x}{{{x}^{\alpha }}}=\frac{1}{{{x}^{\alpha -1}}}=\varphi (x)\).
Tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\varphi (x)dx} \) hội tụ khi \( \alpha -1<1\Rightarrow \alpha <2 \). Do đó tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) cũng hội tụ khi \( \alpha <2 \) theo dấu hiệu so sánh II.
Xét tích phân \( \int\limits_{1}^{\infty }{f(x)dx} \). Áp dụng dấu hiệu so sánh II trong \( 1{}^\circ \) ta đặt \( \varphi (x)=\frac{1}{{{x}^{\alpha }}} \) và có:
\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\alpha }}\arctan x}{{{x}^{\alpha }}}=\frac{\pi }{2} \).
Vì tích phân \( \int\limits_{0}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx} \) hội tụ khi \( \alpha >1 \) nên với \( \alpha >1 \) tích phân được xét hội tụ. Như vậy cả hai tích phân ở vế phải (4.34) chỉ hội tụ khi \( 1<\alpha <2 \).
Đó chính là điều kiện hội tụ của tích phân đã cho.
Ví dụ 5. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{x}\sin \sqrt{x}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn trong lân cận phải của điểm \( x=0 \). Khi \( x\to {{0}^{+}} \), ta có:
\( \frac{\ln \left( 1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{x}\sin \sqrt{x}}\underset{\left( x\to {{0}^{+}} \right)}{\mathop{\sim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\varphi (x) \).
Ví tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx} \) hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh II, tích phân đã cho hội tụ.
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Tính các tích phân suy rộng sau:
1) \( \int\limits_{2}^{6}{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 4-x \right)}^{2}}}}dx} \). (Đs: \( 6\sqrt[3]{2} \))
2) \( \int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}dx} \). (Đs: 6)
3) \( \int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{x\ln x}dx} \) (Đs: phân kì)
4) \( \int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}-4x+3}dx} \) (Đs: Phân kì)
5) \( \int\limits_{0}^{2}{x\ln xdx} \) (Đs: \( -\frac{1}{4} \))
6) \( \int\limits_{2}^{3}{\frac{x}{\sqrt[4]{{{x}^{2}}-4}}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}\sqrt[4]{125} \))
7) \( \int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx} \) (Đs: Phân kì)
8) \( \int\limits_{-2}^{2}{\frac{x}{{{x}^{2}}-1}dx} \) (Đs: Phân kì)
9) \( \int\limits_{0}^{2}{\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=2\sin t \). Đs: \( \frac{16}{3} \))
10) \( \int\limits_{-1}^{0}{\frac{{{e}^{1/x}}}{{{x}^{3}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{2}{e} \))
11) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{1/x}}}{{{x}^{3}}}dx} \) (Đs: Phân kì)
12) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x\left( 1-x \right)}}dx} \) (Đs: \( \pi \))
13) \( \int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{\left( x-a \right)\left( b-x \right)}}dx;\,\,}a<b \) (Đs: \( \pi \))
14) \( \int\limits_{0}^{1}{x{{\ln }^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{4} \))
Câu 2. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau đây:
1) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{\cos }^{2}}x}{\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
2) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+\sqrt[3]{x} \right)}{{{e}^{\sin x}}-1}dx} \) (Đs: Hội tụ)
3) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{e}^{\sqrt{x}}}-1}dx} \) (Đs: Hội tụ)
4) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x}}{{{e}^{\sin x}}-1}dx} \) (Đs: Hội tụ)
5) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{5}}}}dx} \) (Đs: Phân kì)
6) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{5}}}}dx} \) (Đs: Phân kì)
7) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{e}^{x}}-\cos x}dx} \) (Đs: Phân kì)
8) \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\ln \left( \sin 2x \right)}{\sqrt[5]{x}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
9) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
Gợi ý: Sử dụng hệ thức \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\alpha }}\ln x=0,\,\,\forall \alpha >0\Rightarrow \)Có thể lấy \( \alpha =\frac{1}{4} \) chẳng hạn \( \Rightarrow \frac{\left| \ln x \right|}{\sqrt{x}}<\frac{1}{{{x}^{3/4}}} \).
10) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: Phân kì)
11) \( \int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{\sqrt{x-{{x}^{3}}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
12) \( \int\limits_{1}^{2}{\frac{x-2}{{{x}^{2}}-3x+4}dx} \) (Đs: Phân kì)
13) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
14) \( \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{\frac{16+{{x}^{4}}}{16-{{x}^{4}}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
15) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}{\sin x}dx} \) (Đs: Hội tụ)
16) \( \int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt[3]{\ln \left( 1+x \right)}}{1-\cos x}dx} \) (Đs: Phân kì)
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
