Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1.2. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên các định lí về giới hạn
Để tính giới hạn của dãy số, người ta thường sử dụng các định lí và khái niệm sau đây:
Giả sử \( \lim {{a}_{n}},\,\,\lim {{b}_{n}}=b \).
a) \( \lim ({{a}_{n}}\pm {{b}_{n}})=\lim {{a}_{n}}\pm \lim {{b}_{n}}=a\pm b \).
b) \( \lim {{a}_{n}}{{b}_{n}}=\lim {{a}_{n}}\cdot \lim {{b}_{n}}=a\cdot b \).
c) Nếu \( b\ne 0 \) thì bắt đầu từ một số hiệu nào đó dãy \( \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}} \) xác định (nghãi là \( \exists N:\,\forall n\ge N\Rightarrow {{b}_{n}}\ne 0 \)) và :
\( \lim \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{\lim {{a}_{n}}}{\lim {{b}_{n}}}=\frac{a}{b} \).
d) Nếu \lim {{a}_{n}}=a,\,\,\lim {{b}_{n}}=a và bắt đầu từ một số hiệu nào đó {{a}_{n}}\le {{z}_{n}}\le {{b}_{n}} thì \lim {{z}_{n}}=a (Nguyên lý bị chặn hai phía),
e) Tích của dãy vô cùng bé với dãy bị chặn là dãy vô cùng bé.
f) Nếu \( ({{a}_{n}}) \) là dãy vô cùng lớn và \( {{a}_{n}}\ne 0 \) thì dãy \( \left( \frac{1}{{{a}_{n}}} \right) \) là dãy vô cùng bé; ngược lại, nếu \( {{\alpha }_{n}} \) là dãy vô cùng bé và \( {{\alpha }_{n}}\ne 0 \) thì dãy \( \left( \frac{1}{{{\alpha }_{n}}} \right) \) là vô cùng lớn.
Nhận xét: Để áp dụng đúng đắn các định lí trên ta cần lưu ý một số nhận xét sau đây:
+ Định lí c) về giới hạn của thương sẽ không áp dụng được nếu tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn hoặc mẫu số có giới hạn bằng 0. Trong những trường hợp đó nên biên độ sơ bộ dãy thương, chẳng hạn bằng cách chia hoặc nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức.
+ Đối với định lí a) và b) cũng cần phải thận trọng khi áp dụng. Trong trường hợp này ta cần phải biên độ các biểu thức \( {{a}_{n}}\pm {{b}_{n}} \) và \( {{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}} \) trước khi tính giới hạn.
+ Nếu \( {{a}_{n}}=a\equiv const,\forall n \) thì \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=a \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm \( \lim {{a}_{n}} \) nếu:
a) \( {{a}_{n}}=\frac{1+{{7}^{n+2}}}{3-{{7}^{n}}} \)
b) \( {{a}_{n}}=\frac{2+4+6+…+2n}{1+3+5+…+(2n+1)} \)
c) \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}} \)
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Để giải các bài toán này ta dùng lý thuyết cấp số
a) Nhân tử số và mãu số phân thức với \( {{7}^{-n}} \) ta có:
\( {{a}_{n}}=\frac{1+{{7}^{n+2}}}{3-{{7}^{n}}}=\frac{{{7}^{-n}}+{{7}^{2}}}{3\cdot {{7}^{-n}}-1} \).
Do đó \( \lim {{a}_{n}}=\lim \frac{{{7}^{-n}}+{{7}^{2}}}{3\cdot {{7}^{-n}}-1}=-49 \) vì \( \lim {{7}^{-n}}=0,\,\,n\to \infty \) .
b) Tử số và mẫu số đều là cấp số cộng nên ta có:
\( 2+4+6+…+2n=\frac{2+2n}{2}\cdot n \)
\( 1+3+5+…+(2n+1)=\frac{1+(2n+2)}{2}(n+1) \).
Do đó \( {{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow \lim {{a}_{n}}=1 \).
c) Như ta biết:
\( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Và đó đó: \( \lim {{a}_{n}}=\lim \frac{6{{n}^{3}}}{n(n+1)(2n+1)}=\lim \frac{6}{\left( 1+\frac{1}{n} \right)\left( 2+\frac{1}{n} \right)}=3 \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tìm giới hạn \( \lim \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2}^{n}}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…+\frac{1}{{{3}^{n}}}} \).
Hướng dẫn giải:
Tử số và mẫu số đều là cấp số nhân nên
\( 1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{{2}^{n}}}=\frac{2({{2}^{n}}-1)}{{{2}^{n}}} \),
\( 1+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{3}^{n}}}=\frac{3({{3}^{n}}-1)}{2\cdot {{3}^{n}}} \)
Và do đó:
\( \begin{align} & \lim {{a}_{n}}=\lim \frac{2({{2}^{n}}-1)}{{{2}^{n}}}\cdot \frac{2\cdot {{3}^{n}}}{3({{3}^{n}}-1)}=2\lim \frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}}\cdot \frac{2}{3}\lim \frac{{{3}^{n}}}{{{3}^{n}}-1} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2\lim \left[ 1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \right]\cdot \frac{2}{3}\lim \frac{1}{1-{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=2\cdot 1\cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{4}{3} \\ \end{align} \)
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tìm \( \lim {{a}_{n}} \) nếu:
a) \( {{a}_{n}}=\sqrt{{{n}^{2}}+n}-n \)
b) \( {{a}_{n}}=\sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n} \)
c) \( {{a}_{n}}=\sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}+n \)
Hướng dẫn giải:
a) Ta biến đổi \( {{a}_{n}} \) bằng cách nhau và chia cho đại lượng liên hợp
\( {{a}_{n}}=\frac{\left( \sqrt{{{n}^{2}}+n}-n \right)\left( \sqrt{{{n}^{2}}+n}+n \right)}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \).
Do đó: \( \lim {{a}_{n}}=\frac{1}{\lim \left( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 \right)}=\frac{1}{2} \).
b) Biến đổi an tương tự như ý a) ta có:
\( {{a}_{n}}=\frac{{{\left( \sqrt[3]{n+2} \right)}^{3}}-{{\left( \sqrt[3]{n} \right)}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{n+2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{n+2}\cdot \sqrt[3]{n}+{{\left( \sqrt[3]{n} \right)}^{2}}}=\frac{2}{{{\left( \sqrt[3]{n+2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{n+2}\cdot \sqrt[3]{n}+{{\left( \sqrt[3]{n} \right)}^{2}}} \).
Biểu thức mẫu số bằng: \( {{n}^{\frac{2}{3}}}\left[ {{\left( \sqrt[3]{1+\frac{2}{n}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{2}}+1 \right]\to \infty khi và do đó \lim {{a}_{n}}=0 \).
c) Ta có thể viết \( n=\sqrt[3]{{{n}^{3}}} \) và áp dụng công thức:
\( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}) \)
Suy ra:
\( \begin{align} & {{a}_{n}}=\frac{\left( \sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}+n \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}} \right)}^{2}}-n\sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}+{{n}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}} \right)}^{2}}-n\sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}+{{n}^{2}}}=\frac{{{n}^{2}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}} \right)}^{2}}-n\sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}+{{n}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{n}-1 \right)}^{3/2}}-{{\left( \frac{1}{n}-1 \right)}^{1/3}}+1} \\ \end{align} \)
Suy ra \( \lim {{a}_{n}}=\frac{1}{3} \).
Ví dụ 4. Tìm giới hạn của các dãy sau:
\( {{a}_{n}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}},\,\,{{b}_{n}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}},\,\,{{c}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}} \).
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên ta chứng minh \( \lim {{a}_{n}}=1 \). Thật vậy:
\( \lim {{a}_{n}}=\lim =\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1 \).
Tương tự \( \lim {{b}_{n}}=1 \).
Để tìm giới hạn của cn ta sẽ áp dụng Nguyên lý bị chặn hai phía.
Một mặt ta có: \( {{c}_{n}}<\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}+….+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}={{b}_{n}} \)
Mặt khác: \( {{c}_{n}}>\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+….+\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}={{a}_{n}} \).
Như vậy \( {{a}_{n}}<{{c}_{n}}<{{b}_{n}} \) và \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=1 \). Từ đó suy ra \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{c}_{n}}=1 \).
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Tìm giới hạn \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}} \) nếu
a) \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-n}{n-\sqrt{n}} \) (Đs: \( \infty \) )
b) \( {{a}_{n}}={{n}^{2}}\left( n-\sqrt{{{n}^{2}}+1} \right) \) (Đs: \( -\infty \))
c) \( {{a}_{n}}=\frac{1+2+3+…+n}{\sqrt{9{{n}^{4}}+1}} \) (Đs: \( \frac{1}{6} \))
d) \( {{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n}\cos n}{n+1} \) (Đs: 0)
e) \( {{a}_{n}}=\frac{5n}{n+1}+\frac{\sin n}{n} \) (Đs: 5)
f) \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}}{{{n}^{2}}+1}-\frac{3{{n}^{2}}}{3n+1} \) (Đs: \( \frac{1}{3} \))
g) \( {{a}_{n}}=\frac{n}{n+11}-\frac{\cos n}{10n} \) (Đs: 1)
h) \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}+1}{{{n}^{3}}-1} \) (Đs: \( \infty \) )
i) \( {{a}_{n}}=\frac{\cos {{n}^{3}}}{n}-\frac{3n}{6n+1} \) (Đs: \( -\frac{1}{2} \))
j) \( {{a}_{n}}=\frac{{{(-1)}^{n}}}{5\sqrt{n}+1} \) (Đs: 0)
k) \( {{a}_{n}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt[3]{{{n}^{3}}+n}-\sqrt{n}} \) (Đs: \( +\infty \))
l) \( {{a}_{n}}=\sqrt[3]{1-{{n}^{3}}}+n \) (Đs: 0)
m) \( {{a}_{n}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+4n}}{\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}}} \) (Đs: 1)
n) \( {{a}_{n}}=\frac{(n+3)!}{2(n+1)!-(n+2)!} \) (Đs: \( -\infty \) )
o) \( {{a}_{n}}=\frac{2+4+…+2n}{n+2}-2 \) (Đs: \( -1 \))
p) \( {{a}_{n}}=n-\sqrt[3]{{{n}^{3}}-{{n}^{2}}} \) (Đs: \( \frac{1}{3} \))
q) \( {{a}_{n}}=\frac{1-2+3-4+5-…-2n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}+\sqrt{4{{n}^{2}}+1}} \) (Đs: \( -\frac{1}{3} \))
r) \( {{a}_{n}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+…+\frac{1}{n(n+1)} \). (Đs: 1)
Gợi ý: Áp dụng \( \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \)
s) \( {{a}_{n}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+…+\frac{{{(-1)}^{n-1}}}{{{3}^{n-1}}} \) (Đs: \( \frac{3}{4} \))
t) \( {{a}_{n}}=\frac{{{2}^{n+1}}+{{3}^{n+1}}}{{{2}^{n}}+{{3}^{n}}} \) (Đs: 3)
u) \( {{a}_{n}}=\frac{n+{{(-1)}^{n}}}{n-{{(-1)}^{n}}} \) (Đs: 1)
v) \( {{a}_{n}}\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}} \right) \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \))
Gợi ý: Trục căn thức ở mẫu số các biểu thức trong dấu ngoặc.
w) \( {{a}_{n}}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+…+\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \). (Đs: \( \frac{1}{4} \))
Gợi ý: Trước hết ta chứng minh rằng
\( \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right] \)
x) \( {{a}_{n}}=\frac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+…+\frac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}} \) (Đs: \( \frac{1}{{{a}_{1}}d} \))
trong đó \( \{{{a}_{n}}\} \) là cuộn sơ cấp với công sai \( d\ne 0,\,\,{{a}_{n}}\ne 0 \).
y) \( {{a}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{4} \right)\left( 1-\frac{1}{9} \right)\cdot \cdot \cdot \left( 1-\frac{1}{{{(n+1)}^{2}}} \right) \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
Gợi ý: Bằng quy nạp toán học chứng tỏ rằng \( {{a}_{n}}=\frac{n+2}{2n+2} \).
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
