Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.2. Giới hạn hàm một biến
I. Các khái niệm và định lí cơ bản về giới hạn
Định nghĩa giới hạn của các hàm đối với năm trường hợp: \( x\to a,\,\,x\to a\pm 0,\,\,x\to \pm \infty \) được phát biểu như sau:
1) Số A được gọi là giới hạn của hàm f(x) tại điểm a (khi \( x\to a \)) nếu \( \forall \varepsilon >0 \) bé bao nhiêu tùy ý tìm được số \( \delta =\delta (\varepsilon )>0\,\,\left( \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0 \right) \) sao cho \( \forall x \) mà \( x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:0<\left| x-a \right|<\delta (\varepsilon ) \right\} \) thì \( \left| f(x)-A \right|<\varepsilon \) .
Kí hiệu: \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A \).
2) Số A được gọi là giới hạn bên phải (bên trái) của hàm f(x) tại điểm \( x=a \) nếu \(\forall \varepsilon >0,\,\,\exists \varepsilon >0,\,\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\) sao cho với mọi x thỏa mãn điều kiện \( x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:a<x<a+\delta \right\}\,\,\,\left( x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:a-\delta <x<a \right\} \right) thì \left| f(x)-A \right|<\varepsilon \).
Kí hiệu: \(\underset{x\to a+0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a+0)\) và \(\underset{x\to a-0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a-0)\).
3) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\,\,\exists \Delta >0:\forall x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:x>\Delta \right\}\Rightarrow \left| f(x)-A \right|<\varepsilon \) .
Định nghĩa giới hạn khi \( x\to -\infty \) được phát biểu tương tự.
4) Nếu \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=A \) thì người ta viết \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=A \).
Trường hợp đặc biệt nếu \( A=0 \) thì hàm f(x) được gọi là hàm vô cùng bé khi \( x\to a\,\,\left( x\to a\pm 0,\,\,x\to \pm \infty \right) \).
Khái niệm hàm vô cùng lớn tại điểm a cũng được phát biểu đối với cả năm trường hợp.
Chẳng hạn, hàm f(x) được gọi là hàm vô cùng lớn tại điểm a nếu \( \forall M>0,\,\,\exists \delta =\delta (M)>0:\,\,\forall x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:0<\left| x-a \right|<\delta \right\}\Rightarrow \left| f(x) \right|>M \).
Ngoài ra, nếu \( f(x)>0\,\,\left( f(x)<0 \right),\,\,\forall x\in {{D}_{f}}\cap \left\{ x:0<\left| x-a \right|<\delta \right\} \) thì ta viết \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\,\,\,\,\,\left( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \right) \).
Ta lưu ý rằng các kí hiệu vừa nếu chỉ chứng tỏ f(x) là vô cùng lớn chứ hoàn toàn không có nghĩa rằng f có giới hạn.
Khi tính giới hạn ta thường sử dụng các điều khẳng định sau đây.
Định lí 2.2.1. Nếu các giới hạn \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x),\,\,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x) \) tồn tại hữu hạn thì
1) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x) \).
2) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}_{1}}(x)\cdot {{f}_{2}}(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x) \).
3) Nếu \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x)\ne 0 \) thì \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}_{1}}(x)}{{{f}_{2}}(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)}{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x)} \).
4) Nếu trong lân cận \( \mathcal{U}\left( a;\delta \right)=\left\{ x:0<\left| x-a \right|<\delta \right\} \) ta có \( {{f}_{1}}(x)\le f(x)\le {{f}_{2}}(x) \) và \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x)=A \) thì \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A \) (nguyên lí bị chặn hai phía).
Định nghĩa giới hạn hàm số có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ dãy như sau.
Định lí 2.2.2. Giả sử \(D\subset \mathbb{R},\,\,a\in \overline{\mathbb{R}}\) là điểm tụ của nó; \(A\in \overline{\mathbb{R}}\), \( f:D\to \mathbb{R} \). Khi đó: \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A \) khi và chỉ khi \( \forall ({{a}_{n}}),\,\,{{a}_{n}}\in D\backslash \{a\},\,\,{{a}_{n}}\to a \).
\( f({{a}_{n}})\to A \).
Từ đó để chứng minh một hàm nào đó không có giới hạn khi \( x\to a \), ta chỉ cần chứng minh rằng \( \exists ({{a}_{n}}),\,\,\exists ({{{a}’}_{n}}) \) đều hội tụ đến a nhưng \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f({{a}_{n}})\ne \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{f}'({{a}_{n}}) \).
Các định lí cơ bản về giới hạn đã phát biểu trên đây không áp dụng được đối với các giới hạn sau đây khi \(x\to a,\,\,a\in \overline{\mathbb{R}}\).
1) \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right];\,\,f,g là các vô cùng lớn (vô định dạng “\infty \pm \infty ”).
2) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)};\,\,f,g \) hoặc đồng thời là hai vô cùng bé, hoặc đồng thời là hai vô cùng lớn (vô định dạng \( \frac{0}{0} \) hoặc \( \frac{\infty }{\infty } \)).
3) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)\cdot g(x);\,\,f \) là vô cùng bé, còn g là vô cùng lớn hoặc ngược lại (vô định dạng \( 0\cdot \infty \) ).
4) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{g(x)}} \):
a) Khi \( f(x)\to 1,\,\,g(x)\to \infty \) (vô định dạng \( {{1}^{\infty }} \)).
b) Khi \( f(x)\to 0,\,\,g(x)\to 0 \) (vô định dạng \( {{0}^{0}} \)).
c) Khi \( f(x)\to \infty ,\,\,g(x)\to 0 \) (vô định dạng \( {{\infty }^{0}} \))
Việc tính giới hạn trong các trường hợp này thường được gọi là khử dạng vô định. Trong nhiều trường hợp khi tính giới hạn ta thường sử dụng các giới hạn quan trọng sau đây:
\( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\,\,\,\,\,\,\,\,(2.12) \)
\( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{x}}}=e\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.13) \)
Và các hệ quả của (2.13)
\( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=e\,\,\,\,\,\,\,(2.14) \)
\( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }_{a}}\left( 1+x \right)}{x}=\frac{1}{\ln a},\,\,\,0<a\ne 1\,\,\,\,\,\,\,\,(2.15) \)
\( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\ln a,\,\,\,\,\,0<a\ne 1\,\,\,\,\,\,(2.16) \)
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
II. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1. Sử dụng \( \left( \varepsilon -\delta \right) \) – định nghĩa giới hạn để chứng minh rằng \( \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=9 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Ta cần chứng minh rằng \forall \varepsilon >0,\,\,\exists \delta >0 sao cho với \left| x+3 \right|<\delta thì ta có \left| {{x}^{2}}-9 \right|<\varepsilon .
Ta cần ước lượng hiệu \( \left| {{x}^{2}}-9 \right| \). Ta có: \( \left| {{x}^{2}}-9 \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| x+3 \right| \).
Do thừa số \( \left| x-3 \right| \) không bị chặn trên toàn trục số nên để ước lượng tích đơn giản hơn ta trích ra 1 – lân cận của điểm \( a=-3 \) tức là khoảng \( \left( -4;-2 \right) \). Với mọi \( x\in \left( -4;-2 \right) \) ta có \( \left| x-3 \right|<7 \) và do đó: \( \left| {{x}^{2}}-9 \right|<7\left| x+3 \right| \).
Vì \( \delta \) – lân cận điểm \( a=-3 \)(tức là khoảng \( \left( -3-\delta ;-3+\delta \right) \)) không vượt ra khỏi ranh giới của 1 – lân cận nên ta lấy \( \delta =\min \left( 1;\frac{\varepsilon }{7} \right) \). Khi đó với \( 0<\left| x+3 \right|<\delta \Rightarrow \left| {{x}^{2}}-9 \right|<\varepsilon \) . Do vậy \( \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=9 \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{11-x}=3 \).
Hướng dẫn giải:
Giả sử \( \varepsilon >0 \) là số dương cho trước bé bao nhiêu tùy ý. Ta xét bất phương trình:
\( \left| \sqrt{11-x}-3 \right|<\varepsilon \,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.17) \)
Ta có: \( (2.17)\Leftrightarrow -\varepsilon <\sqrt{11-x}-3<\varepsilon \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sqrt{11-x}-3>-\varepsilon \\ & \sqrt{11-x}-3<\varepsilon \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-11<-{{(3-\varepsilon )}^{2}} \\ & x-11>-{{(3+\varepsilon )}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-2<6\varepsilon -{{\varepsilon }^{3}} \\ & x-2>-(6\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}) \\ \end{align} \right. \).
Vì \( 6\varepsilon -{{\varepsilon }^{2}}<\left| -{{(6\varepsilon +\varepsilon )}^{2}} \right|=6\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}} \) nên ta có thể lấy \( \delta (\varepsilon ) \) là số \( \delta \le 6\varepsilon -{{\varepsilon }^{2}} \). Với số \( \delta \) đó ta thấy rằng khi x thỏa mãn bất đẳng thức \( 0<\left| x-2 \right|<\delta \) thì \( \left| \sqrt{11-x}-3 \right|<\varepsilon \) và \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{11-x}=3 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tính các giới hạn:
1) \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}-{{x}^{2}}}{x-2} \) (vô định dạng \( \frac{0}{0} \));
2) \( \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\cot 2x\cdot \cot \left( \frac{\pi }{4}-x \right) \) (vô định dạng \( 0\cdot \infty \) );
3) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{1}{x} \right)}^{x}} \) (vô định dạng \( {{1}^{\infty }} \)).
Hướng dẫn giải:
1) Ta có: \( \frac{{{2}^{x}}-{{x}^{2}}}{x-2}=\frac{{{2}^{x}}-{{2}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-{{2}^{2}} \right)}{x-2}=4\cdot \frac{{{2}^{x-2}}-1}{x-2}-\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2} \).
Từ đó suy rằng: \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}-{{x}^{2}}}{x-2}=4\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x-2}}-1}{x-2}-\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=4\ln 2-4 \).
2) Đặt \( y=\frac{\pi }{4}-x \). Khi đó:
\( \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\cot 2x\cdot \cot \left( \frac{\pi }{4}-x \right)=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\cot \left( \frac{\pi }{2}-2y \right)\cot y=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2y}{\sin y}\cdot \frac{\cos y}{\cos 2y}=2 \).
3) Đặt \( y=\frac{1}{x} \). Khi đó:
\( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{y}}+y \right)}^{\frac{1}{y}}}={{e}^{\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{lm\left( {{e}^{y}}+y \right)}{y}}} \).
\(\begin{align} & \underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( {{e}^{y}}+y \right)}{y}=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left[ 1+\left( {{e}^{y}}+y-1 \right) \right]}{{{e}^{y}}+y-1}\cdot \frac{{{e}^{y}}+y-1}{y} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+t \right)}{t}\cdot \underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{e}^{y}}-1}{y} \right)=2. \\ \end{align}\)
Từ đó suy rằng: \(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{y}}+y \right)}^{\frac{1}{y}}}={{e}^{2}}\).
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm \( f(x)=\sin \frac{1}{x} \) không có giới hạn khi \( x\to 0 \).
Hướng dẫn giải:
+ Ta lưu ý mệnh đề phủ định đối với định nghĩa giới hạn:
\( \begin{align} & \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne A\Leftrightarrow \exists {{\varepsilon }_{0}}>0,\,\,\exists {{x}_{\delta }}\,\,\,\,\left( 0<\left| {{x}_{\delta }}-a \right|<\delta \right) \\ & \Rightarrow \left| f({{x}_{0}})-A \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}. \\ \end{align} \)
+ Nếu \( A=0 \) ta lấy \( {{\varepsilon }_{0}}=\frac{1}{2} \) và \( {{x}_{k}}=\frac{2}{\frac{\pi }{2}+k2\pi } \). Khi đó \( \forall \delta >0,\,\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\,0<{{x}_{k}}<\delta \) và
\( \left| f({{x}_{k}})-0 \right|=\left| f({{x}_{k}}) \right|=1>{{\varepsilon }_{0}} \) và như vậy \( A=0 \) không phải là giới hạn của hàm đã chi khi \( x\to 0 \).
+ Nếu \( A\ne 0 \) thì ta lấy \( {{\varepsilon }_{0}}=\frac{\left| A \right|}{2} \) và \( {{x}_{k}}=\frac{1}{k2\pi } \). Khi đó \( \forall \delta >0,\,\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\,0<{{x}_{k}}<\delta \) thì \( \left| f({{x}_{k}})-A \right|=\left| A \right|>\varepsilon \) .
Như vậy mọi số \( A\ne 0 \) đều không là giới hạn của hàm \( \sin \frac{1}{x} \) khi \( x\to 0 \).
III. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số để chứng minh các đẳng thức sau đây:
1) \( \underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=\frac{1}{2} \).
2) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=1 \).
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x\sin \frac{1}{x}=0 \).
4) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\arctan x=\frac{\pi }{2}\).
(Gợi ý: dùng hệ thức \( \frac{\pi }{2}-\arctan x<\tan \left( \frac{\pi }{2}-\arctan x \right)=\frac{1}{x} \))
5) \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{3x+2}=\frac{1}{3}\).
6) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=+\infty \) .
7) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)=0 \).
8) \( \underset{x\to -5}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x-15}{x+5}=-8 \).
9) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 5{{x}^{2}}-7x+6 \right)=4 \).
10) \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}+x-6}=\frac{1}{5} \).
11) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sin x}{{{x}^{2}}-100x+3000}=0 \).
Câu 2. Chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại:
1) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\sin \frac{1}{x-1} \)
2) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sin x \)
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{1}{x}}} \).
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}} \).
5) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\cos x \).
Câu 3. Nếu tử số và mẫu số của phân thức hữu tỉ đều triệt tiêu tại điểm \( x=a \) thì có thể giản ước phân thức cho \( x-a\,\,\left( \ne 0 \right) \) một hoặc một số lần. Sử dụng phương pháp giản ước đó, hãy tính các giới hạn sau đây.
1) \( \underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-11x-21}{{{x}^{2}}-9x+14} \) (Đs: \( \frac{17}{5} \))
2) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1} \) (Đs: 2)
3) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}-3x+2} \) (Đs: \( -8 \))
4) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{m}}-1}{{{x}^{n}}-1};\,\,m,n\in \mathbb{Z} \) (Đs: \( \frac{m}{n} \))
5) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-{{x}^{3}}} \right) \) (Đs: \( -1 \))
6) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-{{x}^{a}}}-\frac{b}{1-{{x}^{b}}} \right);\,\,a,b\in \mathbb{N} \) (Đs: \( \frac{a-b}{2} \))
7) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{n}}-1 \right)\left( {{x}^{n-1}}-1 \right)\cdot \cdot \cdot \left( {{x}^{n-k+1}}-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cdot \cdot \cdot \left( {{x}^{k}}-1 \right)} \) (Đs: \( C_{n}^{k} \))
8) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{n}}-{{a}^{n}} \right)-n{{a}^{n-1}}\left( x-a \right)}{{{\left( x-a \right)}^{2}}},\,\,n\in \mathbb{N} \) (Đs: \( \frac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{n-1}} \), gợi ý: Đổi biến \( x-a=t \)).
Câu 4. Các bài toán sau đây có thể đưa về dạng nhờ phép đổi biến.
1) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\frac{p}{q}}}-1}{{{x}^{\frac{r}{s}}}-1} \) (Đs: \( \frac{ps}{qr} \))
2) \( \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[5]{x}} \) (Đs: \( \frac{5}{3} \))
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sqrt[3]{1+x}-4\sqrt[4]{1+x}+1}{2-2\sqrt{1+x}+x} \) (Đs: \( \frac{1}{6} \))
4) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\) (Đs: \(\frac{1}{n}\))
Câu 5. Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải các bài toán giới hạn sau:
1) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x+{{x}^{2}}}-1}{x} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
2) \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3+x+{{x}^{2}}}-\sqrt{9-2x+{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-3x+2} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}} \) (Đs: \( \frac{15}{2} \))
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt[3]{1-2x}}{x+{{x}^{2}}} \) (Đs: 2)
5) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right) \) (Đs: 0)
6) \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{1-{{x}^{3}}}+x \right)\) (Đs: 0)
7) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x}+x \right) \) (Đs: \( +\infty \) )
8) \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x}+x \right) \) (Đs: \( -\frac{5}{2} \))
9) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x}-x \right)\) (Đs: 1)
10) \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x}-x \right) \) (Đs: \( +\infty \))
11) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( x+1 \right)}^{\frac{2}{3}}}-{{\left( x-1 \right)}^{\frac{2}{3}}} \right] \) (Đs: 0)
12) \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( x+{{a}_{n}} \right)}-x \right] \) (Đs: \( \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}{n} \))
Câu 6. Sử dụng hệ thức \( \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+t \right)}^{\alpha }}-1}{t}=\alpha \) để giải các bài toán giới hạn sau:
1) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[5]{1+3{{x}^{4}}}-\sqrt{1-2x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}\) (Đs: \( -6 \))
2) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a-x}}{x},\,\,n\in \mathbb{N} \) (Đs: \( \frac{2}{n}{{a}^{\frac{1}{n}-1}} \))
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[5]{1+x}-\sqrt[7]{1+x}}{\sqrt[4]{1+2x}+x-\sqrt[6]{1+x}} \) (Đs: \( \frac{313}{280} \))
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}+ax+{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{a}^{2}}-ax+{{x}^{2}}}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} \) (Đs: \( \frac{3}{2}{{a}^{\frac{1}{6}}} \))
5) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)}^{n}}-{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right)}^{n}}}{x} \) (Đs: 2n)
6) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a-x}}{x},\,\,n\in \mathbb{N},\,\,a>0 \) (Đs: \( \frac{2\sqrt[n]{a}}{na} \))
7) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+ax}-\sqrt[k]{1+bx}}{x},\,\,n\in \mathbb{N},\,\,a>0 \) (Đs: \( \frac{ak-bn}{nk} \))
8) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[n]{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 2+{{x}^{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( n+{{x}^{2}} \right)}-{{x}^{2}} \right) \) (Đs: \( \frac{n+1}{2} \))
Câu 7. Khi tính giới hạn các biểu thức lượng giác ta thường sử dụng công thức cơ bản: \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1 \) cùng với sự kết hợp các phương pháp tìm giới hạn đã nêu ở trên để tìm các giới hạn sau:
1) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \frac{\pi x}{2}}{x} \) (Đs: 0)
2) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{arc\tan x}{2x} \) (Đs: 0)
3) \( \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{\arctan \left( x+2 \right)} \) (Đs: \( -4 \))
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan x-\sin x}{{{x}^{3}}} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
5) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x\cot 5x \) (Đs: \( \frac{1}{5} \))
6) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-x \right)\tan \frac{\pi x}{2} \) (Đs: \( \frac{2}{\pi } \))
7) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{x}^{2}}}{\sin \pi x} \) (Đs: \( \frac{2}{\pi } \))
8) \( \underset{x\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}} \) (Đs: \( \frac{1}{2\pi } \))
9) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos mx-\cos nx}{{{x}^{2}}} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left( {{n}^{2}}-{{m}^{2}} \right) \))
10) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left[ \cos \frac{1}{x}-\cos \frac{3}{x} \right] \) (Đs: 4)
11) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( a+x \right)+\sin \left( a-x \right)-2\sin a}{{{x}^{2}}} \) (Đs: \( -\sin a \))
12) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( a+x \right)+\cos \left( a-x \right)-2\cos a}{1-\cos x} \) (Đs: \( -2\cos a \))
13) \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sin \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sin \sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\) (Đs: 0)
14) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\cos x}-1}{{{x}^{2}}} \) (Đs: \( -\frac{1}{4} \))
15) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos x} \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \))
16) \( \underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)}{1-2\cos x} \) (Đs: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \))
17) \( \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\cos x-1}{1-{{\tan }^{2}}x} \) (Đs: \( \frac{1}{4} \))
18) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x} \) (Đs: 1)
19) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{\cos \alpha x}-\sqrt[m]{\cos \beta x}}{{{x}^{2}}} \) (Đs: \( \frac{{{\beta }^{2}}-{{\alpha }^{2}}}{2m} \))
20) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}{{{\sin }^{2}}x} \) (Đs: \( -\frac{1}{3} \))
21) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}}{\tan {{x}^{2}}} \) (Đs: \( \frac{3}{2} \))
22) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}} \) (Đs: 4)
Câu 8. Để tính giới hạn \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{\varphi (x)}} \), trong đó \( f(x)\to 1,\,\,\varphi (x)\to \infty \) khi \( x\to a \) ta có thể biến đổi biểu thức \( {{\left[ f(x) \right]}^{\varphi (x)}} \) như sau: \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{\varphi (x)}}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left\{ \left[ 1+{{\left( f(x)-1 \right)}^{\frac{1}{f(x)-1}}} \right] \right\}}^{\varphi (x)\cdot \left( f(x)-1 \right)}}={{e}^{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)\cdot \left[ f(x)-1 \right]}} \) ở đây \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)\cdot \left[ f(x)-1 \right] \) được tính theo các phương pháp đã nêu trên đây. Nếu \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)\cdot \left[ f(x)-1 \right]=A \) thì \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{\varphi (x)}}={{e}^{A}} \)
1) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)}^{x+1}} \) (Đs: e)
2) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)}^{{{x}^{4}}}} \) (Đs: 0)
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\tan x \right)}^{\cot x}} \) (Đs: e)
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+3{{\tan }^{2}}x \right)}^{{{\cot }^{2}}x}} \) (Đs: \( {{e}^{3}} \))
5) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{\cos x}{\cos 2x} \right)}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \) (Đs: \( {{e}^{\frac{3}{2}}} \))
6) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \sin x \right)}^{\frac{1}{\cot x}}} \) (Đs: \( -1 \))
7) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ \tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right) \right]}^{\cot 2x}} \) (Đs: \( e \))
8) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x \right)}^{\tan 2x}} \) (Đs: \( {{e}^{-1}} \))
9) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cos x \right)}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \) (Đs: \( {{e}^{-\frac{1}{2}}} \))
10) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cos 3x \right)}^{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}} \) (Đs: \( {{e}^{-\frac{9}{2}}} \))
11) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right)}^{\frac{1}{\sin x}}} \) (Đs: 1)
12) \( \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \sin 2x \right)}^{{{\tan }^{2}}2x}} \) (Đs: \( {{e}^{-\frac{1}{2}}} \))
Câu 9. Khi tính giới hạn các biểu thức có chứa hàm logarit và hàm mũ ta thường sử dụng các công thức (2.15) và (2.16) và các phương pháp tính giới hạn đã nêu ở trên.
1) \( \underset{x\to e}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x-1}{x-e} \) (Đs: \( {{e}^{-1}} \))
2) \( \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\frac{\lg x-1}{x-1} \) (Đs: \( \frac{1}{10\ln 10} \))
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}{\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x-1}} \) (Đs: 2)
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}-\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \) (Đs: \( \frac{3}{2} \))
5) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\alpha x}}-{{e}^{\beta x}}}{\sin \alpha x-\sin \beta x} \) (Đs: 1)
6) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sin 5x}}-{{e}^{\sin x}}}{\ln \left( 1+2x \right)} \) (Đs: 2)
7) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{{{x}^{2}}}}-{{b}^{{{x}^{2}}}}}{\ln \cos 2x},\,\,a>0,\,\,b>0 \) (Đs: \( -\frac{1}{2}\ln \frac{a}{b} \))
8) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ \frac{{{a}^{\sin x}}+{{b}^{\sin x}}}{2} \right]}^{\frac{1}{x}}},\,\,a>0,\,\,b>0 \) (Đs: \( \sqrt{ab} \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
