Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1.3. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện đủ để dãy hội tụ (nguyên lý Bolzano-Weierstrass)
Dãy số \( {{a}_{n}} \) được gọi là:
i) Dãy tăng nếu \( {{a}_{n+1}}>{{a}_{n}},\,\,\forall n \).
ii) Dãy giảm nếu \( {{a}_{n+1}}<{{a}_{n}},\,\,\forall n \).
Các dãy tăng hoặc giảm còn được gọi là dãy đơn điệu. Ta lưu ý rằng dãy đơn điệu bao giờ cũng bị chặn ít nhất là một phía. Nếu dãy đơn điệutăng thì nó bị chặn dưới bởi số hạng đầu tiên của nó, dãy đơn điệu giảm thì bị chặn trên bởi số hạng đầu. Ta có định lí sau đây thường được sử dụng để tính giới hạn của dãy đơn điệu.
Định lí Bolzano-Weierstrass. Dãy đơn điệu và bị chặn là hội tụ. Định lí này khẳng định về sự tồn tại của giới hạn mà không chỉ ra được phương pháp tìm giới hạn đó. Tuy vậy, trong nhiều trường hợp khi biết giới hạn của dãy tồn tại, có thể chỉ ra phương pháp tính nó. Việc tính toán thường dựa trên đẳng thức đúng với mọi dãy hội tụ:
\( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n+1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}} \).
Khi tính giới hạn dựa trên đẳng thức vừa nêu tiện lợi hơn cả là sử dụng cách cho dãy bằng công thức truy hồi.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy: \( {{a}_{n}}=\frac{1}{5+1}+\frac{1}{{{5}^{2}}+1}+…+\frac{1}{{{5}^{n}}+1} \) hội tụ.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Dãy đã cho đơn điệu tăng. Thật vậy vì: \( {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+\frac{1}{{{5}^{n+1}}+1} \) nên \( {{a}_{n+1}}>{{a}_{n}} \)
Dãy đã cho bị chặn trên. Thật vậy:
\( \begin{align} & {{a}_{n}}=\frac{1}{5+1}+\frac{1}{{{5}^{2}}+1}+\frac{1}{{{5}^{3}}+1}+…+\frac{1}{{{5}^{n}}+1}<\frac{1}{5}+\frac{1}{{{5}^{2}}}+…+\frac{1}{{{5}^{n}}} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{\frac{1}{5}-\frac{1}{{{5}^{n+1}}}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}\left( 1-\frac{1}{{{5}^{n}}} \right)<\frac{1}{4} \\ \end{align} \)
Như vậy dãy \( {{a}_{n}} \) đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}}{n!} \) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Hướng dẫn giải:
Dãy đã cho có dạng \( \frac{2}{1},\,\,\frac{{{2}^{2}}}{2},\,\,…,\,\,\frac{{{2}^{n}}}{n!},… \)
Dãy \( {{a}_{n}} \) đơn điệu giảm. Thật vậy:
\( \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{{{2}^{n+1}}}{(n+1)!}:\frac{{{2}^{n}}}{n!}=\frac{2}{n+1}<1,\,\,\forall n>1 \).
Do đó \( {{a}_{n+1}}<{{a}_{n}} \) và dãy bị chặn trên bởi phần tử \( {{a}_{1}} \). Ngoài ra \( {{a}_{n}}>0,\,\,\forall n \) nên dãy bị chặn dưới. Do đó dãy đơn điệu giảm và bị chặn. Nó hội tụ theo định lí Weierstrass. Giả sử a là giới hạn của nó.
Ta có: \( \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{2}{n+1}\Rightarrow {{a}_{n+1}}=\frac{2}{n+1}{{a}_{n}} \).
Từ đó: \( \lim {{a}_{n+1}}=\lim \frac{2{{a}_{n}}}{n+1}=\lim \frac{2}{n+1}\lim {{a}_{n}} \) và như vậy: \( a=0\cdot a\Rightarrow a=0 \).
Vậy \( \lim \frac{{{2}^{n}}}{n!}=0 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Cho dãy \( {{a}_{n}}=\sqrt{2},\,\,{{a}_{n+1}}=\sqrt{2{{a}_{n}}} \). Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Hướng dẫn giải:
Hiển nhiên rằng: {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<…<{{a}_{n}}. Đó là dãy đơn điệu tăng và bị chặn dưới bởi số \( \sqrt{2} \). Ta chứng minh rằng nó bị chặn trên bởi số 2.
Thật vậy: \( {{a}_{1}}=\sqrt{2},\,\,{{a}_{2}}=\sqrt{2{{a}_{1}}}<\sqrt{2\cdot 2}=2 \).
Giả sử đã chứng minh được rằng \( {{a}_{n}}\le 2 \).
Khi đó: \( {{a}_{n+1}}=\sqrt{2{{a}_{n}}}\le \sqrt{2\cdot 2}=2 \).
Vậy theo tiên đề quy nạp ta có \( {{a}_{2}}\le 2,\,\,\forall n \).
Như thế dãy \( {{a}_{n}} \) đơn điệu tăng và bị chặn nên nó có giới hạn đó là a.
Ta có: \( {{a}_{n+1}}=\sqrt{2{{a}_{n}}}\Rightarrow a_{n+1}^{2}=2{{a}_{n}} \).
Do đó: \( \lim a_{n+1}^{2}=2\lim {{a}_{n}} \) hay \( {{a}^{2}}-2a=0 \) và thu được \( {{a}_{1}}=0,\,\,{{a}_{2}}=2 \).
Vì dãy đơn điệu tăng \( \forall n \) nên giới hạn \( a=2 \).
Ví dụ 4. Chứng minh tính hội tụ và tìm giới hạn của dãy
\( {{x}_{1}}=\sqrt{a};\,\,{{x}_{2}}=\sqrt{a+\sqrt{a}},…,\,{{x}_{n}}=\sqrt{a+\sqrt{a+…+\sqrt{a}}},\,\,a>0,\,n \) dấu căn.
Hướng dẫn giải:
a) Rõ ràng: \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<…<{{x}_{n}}<{{x}_{n+1}}<… \) nghĩa là dãy đã cho là dãy tăng.
b) Ta chứng minh dãy \( {{x}_{n}} \) là dãy bị chặn. Thật vậy, ta có:
\( \begin{align}& {{x}_{1}}=\sqrt{a}<\sqrt{a}+1 \\ & {{x}_{2}}=\sqrt{a+\sqrt{a}}<\sqrt{a+\sqrt{a}+1}<\sqrt{a+2\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}+1 \\ \end{align} \)
Giả sử đã chứng minh được rằng: \( {{a}_{n}}<\sqrt{a}+1 \).
Ta cần chứng minh \( {{x}_{n+1}}<\sqrt{a}+1 \). Thật vậy, ta có:
\( {{x}_{n+1}}=\sqrt{a+{{x}_{n}}}<\sqrt{a+\sqrt{a}+1}<\sqrt{a+2\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}+1 \).
Do đó nhờ phép quy nạp toán học ta đã chứng minh rằng dãy đã cho bị chặn trên bởi \( \sqrt{a}+1 \).
c) Để tìm giới hạn ta xét hệ thức \( {{x}_{n}}=\sqrt{a+{{x}_{n-1}}} \) hay \( x_{n}^{2}=a+{{x}_{n-1}} \).
Từ đó: \( \lim x_{n}^{2}=\lim (a+{{x}_{n-1}})=a+\lim {{x}_{n-1}} \) hay nếu giả thiết \( \lim {{x}_{n}}=A \) thì \( {{A}^{2}}=a+A\Rightarrow {{A}^{2}}-A-a=0 \) và
\( {{A}_{1}}=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2},\,\,{{A}_{2}}=\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2} \).
Vì \( {{A}_{2}}<0 \) nên giá trị \( {{A}_{2}} \) bị loại vì \( {{x}_{n}}>0 \).
Do đó: \( \lim {{x}_{n}}=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} \).
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Cho các dãy số:
a) \( {{a}_{n}}=\frac{5{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+3} \)
b) \( {{b}_{n}}={{(-1)}^{n}}\frac{2n}{n+1}\sin n \)
c) \( {{c}_{n}}=n\cos \pi n \).
Hãy chỉ ra dãy nào bị chặn và dãy nào không bị chặn.
(Đs: a) và b) bị chặn; c) không bị chặn)
Câu 2. Chứng minh rằng dãy: \( {{a}_{1}}=\frac{{{a}_{0}}}{a+{{a}_{0}}},\,\,{{a}_{2}}=\frac{{{a}_{1}}}{a+{{a}_{1}}},\,\,{{a}_{3}}=\frac{{{a}_{2}}}{a+{{a}_{2}}},…,{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-1}}}{a+{{a}_{n-1}}},…\,\,\,(a>1,\,{{a}_{0}}>0) \) hội tụ.
Chứng minh các dãy sau đây hội tụ:
a) \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-1}{{{n}^{2}}} \)
b) \( {{a}_{n}}=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{n!} \)
Gợi ý: Tính bị chặn được suy từ \( n!\ge {{2}^{n-1}} \) và do đó \( {{a}_{n}}\le 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+…+\frac{1}{{{2}^{n-1}}}=3-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}<3 \).
Câu 3. Chứng minh các dãy sau đây hội tụ và tìm giới hạn a của chúng
a) \( {{a}_{1}}=\sqrt[k]{5},\,\,{{a}_{n+1}}=\sqrt[k]{5{{a}_{n}}},\,\,k\in \mathbb{N} \) (Đs: \( \sqrt[k-1]{5} \))
b) \( {{a}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}}{(n+2)!} \). (Đs: \( a=0 \))
Gợi ý: \( \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{2}{n+3}<1 \)
c) \( {{a}_{n}}=\frac{E(nx)}{n} \) trong đó \( E(nx) \) là phần nguyên của \( nx \). (Đs: \( a=x \))
Gợi ý: Sử dụng hệ thức: \( nx-1<E(nx)\le nx \)
Câu 4. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}={{a}^{\frac{1}{{{2}^{n}}}}} \) hội tụ và tìm giới hạn của nó \( (a>1) \). (Đs: \( a=1 \))
Gợi ý: Chứng minh rằng \( {{a}_{n}} \) là dãy đơn điệu giảm vì \( {{a}_{n+1}}={{a}^{\frac{1}{{{2}^{n+1}}}}}={{a}^{\frac{1}{{{2}^{n}}\cdot 2}}}=\sqrt{{{a}_{n}}},\,\,{{a}_{n}}>1 \).
Câu 5. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}} \) hội tụ.
Gợi ý: Chứng tỏ rằng dãy đơn điệu tăng, tính bị chặn của nó được xác lập bằng cách sử dụng các bất đẳng thức:
\( \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n},\,\,n\ge 2 \).
Câu 6. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{{{3}^{2}}+2}+…+\frac{1}{{{3}^{n}}+n} \) có giới hạn hữu hạn.
Gợi ý: Tính bị chặn của \( {{a}_{n}} \) được xác lập bằng cách so sánh \( {{a}_{n}} \) với tổng một cấp số nhân nào đó.
Câu 7. Chứng minh rằng dãy \( \left( {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n+1}} \right) \) đơn điệu giảm và \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n+1}}=e \).
Tính \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}} \), nếu:
a) \( {{a}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n+k} \right)}^{n}},\,\,k\in \mathbb{N} \) (Đs: e)
b) \( {{a}_{n}}={{\left( \frac{n}{n+1} \right)}^{n}} \) (Đs: \( \frac{1}{e} \))
c) \( {{a}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}^{n}} \) (Đs: \( \sqrt{e} \))
d) \( {{a}_{n}}={{\left( \frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}} \right)}^{{{2}^{n}}}} \) (Đs: e)
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
