Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1.1. Các bài toán liên quan tới định nghĩa giới hạn
Hàm số xác định trên tập hợp \( \mathbb{N} \) được gọi là dãy số vô hạn. Dãy số thường được viết dưới dạng:
\( {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}},…\,\,\,\,\,\,\,\,(2.1) \) hoặc \( \{{{a}_{n}}\} \), trong đó \( {{a}_{n}}=f(n),\,n\in \mathbb{N} \) được gọi là số hạng tổng quát của dãy, n là số hiệu của số hạng trong dãy.
Ta cần lưu ý các khái niệm sau đây:
i) Dãy (2.1) được gọi là bị chặn nếu \( \exists M\in {{\mathbb{R}}^{+}}:\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow \left| {{a}_{n}} \right|\le M \); và gọi là không bị chặn nếu: \( \forall M\in {{\mathbb{R}}^{+}}:\exists n\in \mathbb{N}\Rightarrow \left| {{a}_{n}} \right|>M \).
ii) Số a được gọi là giới hạn của dãy (2.1) nếu: \( \forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon ):\forall n\ge N\Rightarrow \left| {{a}_{n}}-a \right|<\varepsilon \,\,\,\,\,\,(2.2) \)
iii) Số a không phải là giới hạn của dãy (2.1) nếu: \( \exists \varepsilon >0,\forall N:\exists n\ge N\Rightarrow \left| {{a}_{n}}-a \right|\ge \varepsilon \,\,\,\,\,(2.3) \)
iv) Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, trong trường hợp ngược lại dãy (2.1) gọi là dãy phân kì.
v) Dãy (2.1) gọi là dãy vô cùng bé nếu \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0 \) và gọi là dãy vô cùng lớn nếu \( \forall A>0,\exists N \) sao cho \( \forall n>N\Rightarrow \left| {{a}_{n}} \right|>A \) và viết \( \lim {{a}_{n}}=\infty \) .
vi) Điều kiện cần để dãy hội tụ là dãy đó phải bị chặn.
Chú ý:
+ Hệ thức (2.2) tương đương với: \( -\varepsilon <{{a}_{n}}-a<\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon <{{a}_{n}}<a+\varepsilon \,\,\,\,\,\,\,(2.4) \)
Hệ thức (2.4) chứng tỏ rằng mọi số hạng với chỉ số \( n>N \) của dãy hội tụ đều nằm trong khoảng \( (a-\varepsilon ;a+\varepsilon ) \), khoảng này gọi là \( \varepsilon \) – lân cận của điểm a.
Như vậy, nếu dãy (2.1) hội tụ đến số a thì mọi số hạng của nó trừ ra một số hữu hạn số hạng đều nằm trong \( \varepsilon \) – lân cận bất kì bé bao nhiêu tùy ý của điểm a.
+ Ta lưu ý rằng dãy số vô cùng lớn không hội tụ và kí hiệu \( \lim {{a}_{n}}=\infty \,\,(-\infty ) \) chỉ có nghĩa là dãy \( {{a}_{n}} \) là vô cùng lớn và kí hiệu đó hoàn toàn không có nghĩa là dãy có giới hạn.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Các bài toán liên quan tới định nghĩa giới hạn
Để chứng minh \( \lim {{a}_{n}}=a \) bằng cách sử dụng định nghĩa, ta cần tiến hành theo các bước sau đây:
+ Lập biểu thức \( \left| {{a}_{n}}-a \right| \).
+ Chọn dãy \( {{b}_{n}} \) (nếu điều đó có lợi) sao cho \( \left| {{a}_{n}}-a \right|\le {{b}_{n}},\,\,\forall n \) và với \( \varepsilon \) đủ bé bất kì bất phương trình đối với n: \( {{b}_{n}}<\varepsilon \,\,\,\,\,(2.5) \)
Có thể giải một cách dễ dàng. Giả sử (2.5) có nghiệm là \( n>f(\varepsilon ),\,\,f(\varepsilon )>0 \). Khi đó ta có thể lấy n là \( [f(\varepsilon )] \), trong đó \( [f(\varepsilon )] \) là phần nguyên của \( [f(\varepsilon )] \).
Ví dụ 1. Giả sử \( {{a}_{n}}={{n}^{{{(-1)}^{n}}}} \). Chứng minh rằng:
a) Dãy \( {{a}_{n}} \) không bị chặn.
b) Dãy \( {{a}_{n}} \) không phải là vô cùng lớn.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
a) Ta chứng minh rằng \( {{a}_{n}} \) thỏa mãn định nghĩa dãy không bị chặn. Thật vậy, \( \forall M>0 \) số hạng với số hiệu n=2\left( [M]+1 \right) bằng n và lớn hơn M. Điều đó có nghĩa là dãy {{a}_{n}} không bị chặn.
b) Ta chứng minh rằng an không phải là vô cùng lớn, Thật vậy, ta xét khoảng \( (-2,\,\,2) \). Hiển nhiên mọi số hạng của dãy với số hiệu lẻ đều thuộc khoảng \( (-2,\,\,2) \) vì khi n lẻ thì ta có:
\( {{n}^{{{(-1)}^{n}}}}={{n}^{-1}}=\frac{1}{n}\in (-2,\,\,2) \).
Như vậy trong khoảng \( (-2,\,\,2) \) có vô số số hạng của dãy. Từ đó, theo định nghĩa suy ra an không phải là vô cùng lớn.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa giới hạn dãy số để chứng minh rằng:
a) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}=0 \)
b) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+1}=1 \).
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh dãy an có giới hạn là a, ta cần chứng minh rằng đối với mỗi số \( \varepsilon >0 \) cho trước có thể tìm được số N (N phụ thuộc \( \varepsilon \) ) sao cho khi \( n>N \) thì suy ra \( \left| {{a}_{n}}-a \right|<\varepsilon \) . Thông thường ta có thể chỉ ra công thức tường minh biểu diễn N qua \( \varepsilon \) .
a) Ta có: \( \left| {{a}_{n}}-0 \right|=\left| \frac{{{(-1)}^{n-1}}}{n} \right|=\frac{1}{n} \).
Giả sử \( \varepsilon \) là số dương cho trước tùy ý. Khi đó: \( \frac{1}{n}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon } \).
Vì thế ta có thể lấy N là số tự nhiên nào đó thỏa mãn điều kiện: \( N>\frac{1}{\varepsilon }\Rightarrow \frac{1}{N}<\varepsilon \) .
(Chẳng hạn, ta có thể lấy \( N=\left[ \frac{1}{\varepsilon } \right] \), trong đó \( \left[ \frac{1}{\varepsilon } \right] \) là phần nguyên của \( \frac{1}{\varepsilon } \)).
Khi đó \(\forall n\ge N\) thì: \( \left| {{a}_{n}}-0 \right|=\frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\varepsilon \) .
Điều đó có nghĩa là \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(-1)}^{n}}}{n}=0 \).
b) Ta lấy số \( \varepsilon >0 \) bất kì và tìm số tự nhiên \( N(\varepsilon ) \) sao cho \( \forall n>N(\varepsilon ) \) thì: \( \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|<\varepsilon \) .
Bất đẳng thức \( \left| {{a}_{n}}-1 \right|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }-1 \).
Do đó ta có thể lấy số \( N(\varepsilon ) \) là phần nguyên của \( \frac{1}{\varepsilon }-1 \), tức là: \( N(\varepsilon )=E\left( \frac{1}{\varepsilon }-1 \right) \).
Khi đó với mọi \( n\ge N \) ta có: \( \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|=\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{N+1}<\varepsilon \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+1}=1 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các dãy sau đây phân kì:
a) \( {{a}_{n}}=n,\,\,n\in \mathbb{N}\,\,\,\,(2.6) \)
b) \( {{a}_{n}}={{(-1)}^{n}},\,\,n\in \mathbb{N}\,\,\,\,(2.7) \)
c) \( {{a}_{n}}={{(-1)}^{n}}+\frac{1}{n}\,\,\,\,\,\,\,(2.8) \)
Hướng dẫn giải:
a) Giả sử dãy (2.6) hội tụ và có giới hạn là a. Ta lấy \( \varepsilon =1 \). Khi đó theo định nghĩa giới hạn tồn tại số hiệu N sao cho \( \forall n>N \) thì ta có \( \left| {{a}_{n}}-a \right|<1 \) nghĩa là \( \left| n-a \right|<1,\,\,\forall n>N \). Từ đó \( -1<n-a<1,\,\,\forall n>N\Leftrightarrow a-1<n<a+1,\,\,\forall n>N \).
Nhưng bất đẳng thức \( n<a+1,\,\,\forall n>N \) là vô lí vì tập hợp các số tự nhiên không bị chặn.
b) Cách 1: Giả sử dãy an hội tụ và có giới hạn là a. Ta lấy lân cận \( \left( a-\frac{1}{2},\,\,a+\frac{1}{2} \right) \) của điểm a. Ta viết dãy đã cho dưới dạng: \( \{{{a}_{n}}\}=-1,\,\,1,\,\,-1,\,\,1,….\,\,\,\,\,(2.9) \)
Vì độ dài của khoảng \( \left( a-\frac{1}{2},\,\,a+\frac{1}{2} \right) \) là bằng 1 nên hai điểm -1 và +1 không thể đồng thời thuộc lân cận \( \left( a-\frac{1}{2},\,\,a+\frac{1}{2} \right) \) của điểm a, vì khoảng cách giữa -1 và +1 bằng 2. Điều đó có nghĩa là ở ngoài lân cận \( \left( a-\frac{1}{2},\,\,a+\frac{1}{2} \right) \) có vô số số hạng của dãy và vì thế (xem chú ý ở trên) số a không thể là đạo hàm của dãy.
Cách 2: Giả sử \( {{a}_{n}}\to a \). Khi đó \( \forall \varepsilon >0 \) (lấy \( \varepsilon =\frac{1}{2} \)) ta có
\( \left| {{a}_{n}}-a \right|<\frac{1}{2},\,\,\forall n\ge N \).
Vì \( {{a}_{n}}=\pm 1 \) nên \( \left| 1-a \right|<\frac{1}{2},\,\,\left| -1-a \right|<\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow 2=\left| (1-a)+(1+a) \right|\le \left| 1-a \right|+\left| a+1 \right|\le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow 2<1 \) (vô lý).
c) Lưu ý rằng với \( n=2m\Rightarrow {{a}_{2m}}=1+\frac{1}{2m} \). Số hạng kề với nó có số hiệu lẻ \( 2m+1 \) (hay \( 2m-1 \)) và
\( {{a}_{2m+1}}=-1+\frac{1}{2m+1}<0 \) (hay \( {{a}_{2m-1}}=-1+\frac{1}{2m-1}\le 0 \))
Từ đó suy ra rằng \( \left| {{a}_{n}}-{{a}_{n-1}} \right|>1 \).
Nếu số a nào đó là giới hạn của dãy \( ({{a}_{n}}) \) thì bắt đầu từ số hiệu nào đó \( ({{a}_{n}}) \) thỏa mãn bất đẳng thức \( \left| {{a}_{n}}-a \right|<\frac{1}{2} \). Khi đó: \( \left| {{a}_{n}}-{{a}_{n+1}} \right|\le \left| {{a}_{n}}-a \right|+\left| {{a}_{n+1}}-a \right|<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \).
Nhưng hiệu giữa hai số hạng kề nhau bất kì của dãy đã cho luôn luôn lớn hơn 1. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng không một số thực nào có thể là giới hạn của dãy đã cho.
Bài tập tự luyện
Câu 1. Hãy sử dụng định nghĩa giới hạn để chứng minh rằng:
a) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=1 \) nếu \( {{a}_{n}}=\frac{2n-1}{2n+2} \).
b) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\frac{3}{5} \) nếu \( {{a}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}+1}{5{{n}^{2}}-1} \).
Bắt đầu từ số hiệu N nào thì: \( \left| {{a}_{n}}-\frac{3}{5} \right|<0,01 \) (Đs: \( N=5 \))
c) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=1 \) nếu \( {{a}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}+1}{{{3}^{n}}} \).
d) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos n}{n}=0 \).
e) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{n}}+5\cdot {{6}^{n}}}{{{3}^{n}}+{{6}^{n}}}=5 \).
f) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}\sin {{n}^{2}}}{n+1}=0 \).
Câu 2. Chứng minh rằng \( a=0 \) không phải là giới hạn của dãy \( {{a}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-2}{2{{n}^{2}}-9} \).
Câu 3. Chứng minh rằng \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}+2n+1+\sin n}{{{n}^{2}}+n+1}=1 \).
Câu 4. Chứng minh rằng dãy: \( {{a}_{n}}={{(-1)}^{n}}+\frac{1}{n} \) phân kì.
Câu 5. Chứng minh rằng dãy: \(0,2;\,\,0,22;\,\,0,222;….;\,\,0,\underbrace{22…2}_{n};\,\,…\)
Gợi ý: Biểu diễn \( {{a}_{n}} \) dưới dạng
\({{a}_{n}}=0,22…2=\frac{2}{10}+\frac{{{2}^{2}}}{10}+…+\frac{2}{{{10}^{n}}}\) (Đs: \(\lim {{a}_{n}}=\frac{2}{9}\))
Câu 6. Tìm giới hạn của dãy số: \( 0,2;\,\,0,23;\,\,0,233;\,\,0,2333;\,….;\,\,0,2\underbrace{33…3}_{n};… \)
Gợi ý: Biểu diễn \( {{a}_{n}} \) dưới dạng:
\( {{a}_{n}}=\frac{2}{10}+\left( \frac{3}{{{10}^{2}}}+\frac{3}{{{10}^{3}}}+….+\frac{3}{{{10}^{n}}} \right) \) (Đs: \( \frac{7}{30} \))
Câu 7. Chứng minh rằng nếu dãy \( {{a}_{n}} \) hội tụ đến a, còn dãy \( {{b}_{n}} \) dần đến \( \infty \) thì dãy \( \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}} \) dần đến 0.
Câu 8. Chứng minh rằng:
a) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{2}^{n}}}=0 \)
b) \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{a}^{n}}}=0\,\,\,(a>1) \)
Gợi ý:
a) Sử dụng hệ thức:
\( {{2}^{n}}={{(1+1)}^{n}}=1+n+\frac{n(n-1)}{2}+…+1>n+\frac{n(n-1)}{2}>\frac{{{n}^{2}}}{2} \) và ước lượng \( \left| {{a}_{n}}-0 \right| \).
b) Tương tự như ý a). Sử dụng hệ thức:
\( {{a}^{n}}={{[1+(a-1)]}^{n}}>\frac{n(n-1)}{2}(a-1) \).
Câu 9. Chứng minh rằng \( \lim {{a}_{n}}=2{{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{{2}^{n}}} \).
Gợi ý: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân để tính \( {{a}_{n}} \) rồi ước lượng \( \left| {{a}_{n}}-2 \right| \).
Câu 10. Biết rằng dãy \( {{a}_{n}} \) có giới hạn, còn dãy \( {{b}_{n}} \) không có giới hạn. Có thể nói gì về giới hạn của dãy:
a) \( \{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}\} \).
b) \( \{{{a}_{n}}{{b}_{n}}\} \).
Gợi ý:
a) \( \lim \{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}\} \) không tồn tại. Hãy chứng minh.
b) Có thể gặp cả hai trường hợp có giới hạn và không có giới hạn, ví dụ: \( {{a}_{n}}=\frac{n-1}{n},\,\,{{b}_{n}}={{(-1)}^{n}};\,\,{{a}_{n}}=\frac{1}{n},\,\,{{b}_{n}}={{(-1)}^{n}} \).
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
