Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.3. Hàm liên tục
I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động
Định nghĩa 2.3.1. Hàm f(x) xác định trong lân cận của điểm \( {{x}_{0}} \) được gọi là liên tục tại điểm đó nếu \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}}) \).
Định nghĩa 2.3.1 tương đương với
Định nghĩa 2.3.1*. Hàm f(x) xác định trong lân cận của điểm \( {{x}_{0}} \) được gọi là liên tục tại điểm \( {{x}_{0}} \) nếu
\( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists \delta >0,\,\,\forall x\in {{D}_{f}}:\left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta \Rightarrow \left| f(x)-f({{x}_{0}}) \right|<\varepsilon \) .
Hiệu \( x-{{x}_{0}}=\Delta x \) được gọi là số gia của đối số, còn hiệu \( f(x)-f({{x}_{0}})=\Delta f \) được gọi là số gia của hàm số tại \( {{x}_{0}} \) tương ứng với số gia \ \( Delta x, tức là \Delta x=x-{{x}_{0}},\,\,\Delta f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}}) \).
Với ngôn ngữ số gia định nghĩa 2.3.1 có dạng
Định nghĩa 2.3.1**. Hàm f(x) xác định trong lân cận của điểm \( {{x}_{0}} \) được gọi là liên tục tại \( {{x}_{0}} \) nếu \( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\Delta f=0 \).
Bằng “ngôn ngữ dãy” ta có định nghĩa tương đương
Định nghĩa 2.3.1***. Hàm f(x) xác định trong lân cận điểm \( {{x}_{0}}\in {{D}_{f}} \) được gọi là liên tục tại điểm {{x}_{0}} nếu
\(\forall ({{x}_{n}})\in {{D}_{f}}:{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})=f({{x}_{0}})\).
Định lí 2.3.1. Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) liên tục tại điểm \( {{x}_{0}} \) là hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện sau đây:
- i) Hàm phải xác định tại một lân cận nào đó của điểm \( {{x}_{0}} \).
- ii) Hàm có các giới hạn một phía như nhau: \( \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \).
iii) \( \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}}) \).
Giả sử hàm f(x) xác định trong nửa lân cận bên phải (bên trái) của điểm {{x}_{0}}, nghĩa là trên nửa khoảng \left[ {{x}_{0}},{{x}_{0}}+\delta \right) (tương ứng: trên \left( {{x}_{0}}-\delta ;{{x}_{0}} \right]) nào đó.
Hàm f(x) được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại điểm \( {{x}_{0}} \) nếu \( f(x_{0}^{+})=f({{x}_{0}}) \) (tương ứng: \( f(x_{0}^{-})=f({{x}_{0}}) \)).
Định lí 2.3.2. Hàm f(x) liên tục tại điểm \( {{x}_{0}}\in {{D}_{f}} \) khi và chỉ khi nó liên tục bên phải và bên trái tại điểm \( {{x}_{0}} \).
Hàm liên tục tại một điểm có các tính chất sau:
I) Nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục tại điểm \( {{x}_{0}} \) thì \( f(x)\pm g(x), f(x)\cdot g(x) \) liên tục tại \( {{x}_{0}} \), và \( \frac{f(x)}{g(x)} \) liên tục tại \( {{x}_{0}} nếu g({{x}_{0}})\ne 0 \).
II) Giả sử hàm \( y=\varphi (x) \) liên tục tại \( {{x}_{0}} \), còn hàm \( u=f(y) \) liên tục tại \( {{y}_{0}}=\varphi ({{x}_{0}}) \). Khi đó hàm hợp \( u=f\left[ \varphi (x) \right] \) liên tục tại \( {{x}_{0}} \).
Từ đó suy ra rằng \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left[ \varphi (x) \right]=f\left[ \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x) \right] \).
Hàm f(x) gọi là gián đoạn tại điểm \( {{x}_{0}} \) nếu nó xác định tại những điểm gần \( {{x}_{0}} \) bao nhiêu tùy ý nhưng tại chính \( {{x}_{0}} \) hàm không thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện liên tục ở trên.
Điểm \( {{x}_{0}} \) được gọi là
1) Điểm gián đoạn khử được của hàm f(x) nếu tồn tại \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=b \) nhưng hoặc f(x) không xác định tại điểm \( {{x}_{0}} hoặc f({{x}_{0}})\ne b \). Nếu bổ sung giá trị \( f({{x}_{0}})=b \) thì hàm f(x) trở nên liên tục tại \( {{x}_{0}} \), tức là gián đoạn có thể khử được.
2) Điểm gián đoạn kiểu I của hàm f(x) nếu \( \exists f(x_{0}^{+}) \) và \( \exists f(x_{0}^{-}) \) nhưng \( \(f(x_{0}^{+})\ne f(x_{0}^{-})\) \).
3) Điểm gián đoạn kiểu II của hàm f(x) nếu tại điểm \( {{x}_{0}} \) một trong các giới hạn \( \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \) hoặc \( \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \) không tồn tại.
Hàm f(x) được gọi là hàm sơ cấp nếu nó được cho bởi một biểu thức giải tích lập nên nhờ một số hữu hạn phép tính số học và các phép hợp hàm thực hiện trên các hàm sơ cấp cơ bản.
Mọi hàm sơ cấp xác định trong lân cận của một điểm nào đó là liên tục tại điểm đó.
Lưu ý rằng hàm không sơ cấp có thể gián đoạn tại những điểm nó không xác định cũng như tại những điểm mà nó xác định. Đặc biệt là nếu hàm được cho bởi nhiều biểu thức giải tích khác nhau trên các khoảng khác nhau thì nó có thể có gián đoạn tại những điểm thay đổi biểu thức giải thích.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm \( f(x)=\sin \left( 2x-3 \right) \) liên tục \( \forall x\in \mathbb{R} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Ta lấy điểm \( {{x}_{0}}\in \mathbb{R} \) tùy ý. Xét hiệu \( \sin \left( 2x-3 \right)-\sin \left( 2{{x}_{0}}-3 \right)=2\cos \left( x+{{x}_{0}}-3 \right)\sin \left( x-{{x}_{0}} \right)=\alpha (x) \).
Vì \( \left| \cos \left( x+{{x}_{0}}-3 \right) \right|\le 1 \) và \( \left| \sin \left( x-{{x}_{0}} \right) \right|<\left| x-{{x}_{0}} \right| \) nên khi \( x\to {{x}_{0}} \) hàm \( \sin \left( x-{{x}_{0}} \right) \) là hàm vô cùng bé. Từ đó suy rằng \( \alpha (x) \) là tích của hàm bị chặn với vô cùng bé và \( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sin \left( 2x-3 \right)=\sin \left( 2{{x}_{0}}-3 \right) \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm \( f(x)=\sqrt{x+4} \) liên tục tại điểm \( {{x}_{0}}=5 \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( f(5)=3 \). Cho trước số \( \varepsilon >0 \). Theo định nghĩa 1* ta lập hiệu \( f(x)-f(5)=\sqrt{x+4}-3 \) và ước lượng môđun của nó.
Ta có: \( \left| \sqrt{x+4}-3 \right|=\frac{\left| x-5 \right|}{\left| \sqrt{x+4}+3 \right|}<\frac{\left| x-5 \right|}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Nếu ta chọn \( \delta =3\varepsilon \) thì với những giá trị x mà \( \left| x-5 \right|<\delta =3\varepsilon \) ta sẽ có \( \left| \sqrt{x+4}-3 \right|<\varepsilon \) . Từ đó suy rằng hàm f(x) liên tục tại điểm \( {{x}_{0}}=5 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm \( f(x)=\sqrt{x} \) liên tục bên phải tại điểm \( {{x}_{0}}=0 \).
Hướng dẫn giải:
Giả sử cho trước số \( \varepsilon >0 \) tùy ý. Bất đẳng thức \( \left| \sqrt{x}-0 \right|<\varepsilon \) tương đương với bất đẳng thức \( 0\le x<{{\varepsilon }^{2}} \). Ta lấy \( \delta ={{\varepsilon }^{2}} \). Khi đó từ bất đẳng thức \( 0\le x<\delta \) suy rằng \( \sqrt{x}<\varepsilon \) . Điều đó có nghĩa rằng \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x}=0 \).
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm \( y={{x}^{2}} \) liên tục trên toàn trục số.
Hướng dẫn giải:
Giả sử \( {{x}_{0}}\in \mathbb{R} \) là điểm tùy ý trên trục số và \( \varepsilon >0 \) là số cho trước tùy ý. Ta xét hiệu \( \left| {{x}^{2}}-x_{0}^{2} \right|=\left| x+{{x}_{0}} \right|\left| x-{{x}_{0}} \right| \) và cần ước lượng nó. Vì \( \left| x+{{x}_{0}} \right| \) không bị chặn trên \( \mathbb{R} \) nên để ước lượng hiệu trên ta xét một lân cận nào đó của \( {{x}_{0}} \), chẳng hạn \(\mathcal{U}\left( {{x}_{0}};1 \right)=\left( {{x}_{0}}-1;{{x}_{0}}+1 \right)\). Với \(x\in \mathcal{U}\left( {{x}_{0}};1 \right)\) ta có:
\( \left| x+{{x}_{0}} \right|=\left| x-{{x}_{0}}+2{{x}_{0}} \right|\le \left| x-{{x}_{0}} \right|+2\left| {{x}_{0}} \right|<1+2\left| {{x}_{0}} \right| \) và do đó \( \left| {{x}^{2}}-x_{0}^{2} \right|<\left( 1+2\left| {{x}_{0}} \right| \right)\left| x-{{x}_{0}} \right| \).
Vì \( \delta \) – lân cận của điểm \( {{x}_{0}} \) cần phải nằm trong \(\mathcal{U}\left( {{x}_{0}};1 \right)\) nên ta lấy \( \delta =\min \left( \frac{\varepsilon }{1+2\left| {{x}_{0}} \right|};1 \right) \) và với \( \left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta =\min \left( \frac{\delta }{1+2\left| {{x}_{0}} \right|};1 \right) \) ta sẽ có \( \left| {{x}^{2}}-x_{0}^{2} \right|<\varepsilon \) .
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Khảo sát tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm
1) \( f(x)=\frac{\left| 2x-3 \right|}{2x-3} \) (Đs: Hàm xác định và liên tục \( \forall x\ne \frac{3}{2} \); tại \( {{x}_{0}}=\frac{3}{2} \) hàm có gián đoạn kiểu I).
2) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}\,\,\,\,\,khi\,\,x\ne 0 \\ & 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=0 \\ \end{align} \right. \) (Đs: Hàm liên tục \( \forall x\in \mathbb{R} \)).
Câu 2. Có tồn tại hay không giá trị a để hàm f(x) liên tục tại \( {{x}_{0}} \) nếu:
1) \( f(x)=\left\{ \begin{align}& 4\cdot {{3}^{x}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x<0 \\ & 2a+x\,\,\,\,khi\,\,x\ge 0 \\\end{align} \right. \)
(Đs: Hàm f liên tục \( \forall x\in \mathbb{R} \) nếu \( a=2 \)).
2) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & x\sin \frac{1}{x}\,\,\,khi\,\,x\ne 0 \\ & a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=0 \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( a=0 \))
3) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{1+x}{1+{{x}^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\ne -1 \\ & a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=-1,\,\,{{x}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( a=\frac{1}{3} \)).
4) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\le 0 \\ & a\left( x-1 \right)\,\,\,khi\,\,x>0,\,\,{{x}_{0}}=0 \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( a=-1 \)).
5) \( f(x)=\frac{\left| \sin x \right|}{\sin x} \) (Đs: Hàm có gián đoạn tại \( x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \) vì \( f(x)=\left\{ \begin{align} & 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\sin x>0 \\ & -1\,\,\,khi\,\,\sin x<0 \\ \end{align} \right. \))
6) \( f(x)=E(x)-E(-x) \). (Đs: Hàm có gián đoạn khử được tại \( x=n,\,\,x\in \mathbb{Z} \) vì \( f(x)=\left\{ \begin{align} & -1\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=n \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\ne n \\ \end{align} \right. \)).
7) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{\frac{1}{x}}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\ne 0 \\ & 0\,\,\,khi\,\,x=0 \\ \end{align} \right. \) (Đs: Tại điểm \( x=0 \) hàm có gián đoạn kiểu II; \( f({{0}^{-}})=0,\,\,f({{0}^{+}})=\infty \))
Câu 3. Tìm điểm gián đoạn và tính bước nhảy của các hàm:
1) \( f(x)=x+\frac{x+2}{\left| x+2 \right|} \) (Đs: \( x=-2 \) là điểm gián đoạn kiểu I, \( \delta (-2)=2 \)).
2) \( f(x)=\frac{2\left| x-1 \right|}{{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \) (Đs: \( x=0 \) là điểm gián đoạn kiểu II, \( x=1 \) là điểm gián đoạn kiểu I, \( \delta (1)=-4 \)).
Câu 4. Hãy bổ sung các hàm sau đây tại điểm \( x=0 \) để chúng trở thành liên tục
1) \( f(x)=\frac{\tan x}{x} \) (Đs: \( f(0)=1 \)).
2) \( f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \) (Đs: \( f(0)=\frac{1}{2} \))
3) \( f(x)=\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-\cos x} \) (Đs: \( f(0)=2 \))
Câu 5. Hiệu của các giới hạn một phía của hàm f(x): \( d=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)-\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \) được gọi là bước nhảy của hàm f(x) tại điểm \( {{x}_{0}} \). Tìm điểm gián đoạn và bước nhảy của hàm f(x) nếu:
1) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}\,\,\,\,\,khi\,\,x\le 2 \\ & x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x>2 \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( {{x}_{0}}=2 \) là điểm gián đoạn kiểu I, \( d=4 \)).
2) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0\le x\le 1 \\ & 4-2x\,\,\,\,\,khi\,\,\,1<x\le 2,5 \\ & 2x-7\,\,\,\,\,khi\,\,2,5\le x<+\infty \\ \end{align} \right. \). (Đs: \( {{x}_{0}}=2,5 \) là điểm gián đoạn kiểu I, \( d=-1 \))
3) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & 2x+5\,\,\,\,khi\,\,-\infty <x<-1 \\ & \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,-1\le x<+\infty \\ \end{align} \right. \) (Đs: \( {{x}_{0}}=0 \) là điểm gián đoạn kiểu II; kiểu \( {{x}_{0}}=-1 \) là điểm gián đoạn kiểu I, \( d=-4 \)).
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
