Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1.4. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ (nguyên lý hội tụ Bolzano-Cauchy)
Trên đây ra đã nêu hai phương pháp chứng minh sự hội tụ cảu dãy. Hai phương pháp này không áp dụng được đối với các dãy không đơn điệu được cho không bằng phương pháp giải tích mà được cho bằng phương pháp khác (chẳng hạn bằng phương pháp truy hồi) Mặt khác, trong nhiều trường hợp người ta chỉ quan tâm đến sự hội tụ hai phân kì của dãy mà thôi. Sau đây ta phát biểu một tiêu chuẩn có tính chất “nội tại” cho phép kết luận sự hội tụ của dãy chỉ dưa trên giá trị các số hạng của dãy:
Nguyên lý hội tụ. Dãy \( ({{a}_{n}}) \) có giới hạn hữu hạn khi và chi khi nó thỏa mãn điều kiện:
\(\forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{N}_{0}}={{N}_{0}}(\varepsilon )\in \mathbb{N}:\forall n>{{N}_{0}}\) và \(\forall p\in \mathbb{N}\) \( \Rightarrow \left| {{a}_{n}}-{{a}_{n+p}} \right|<\varepsilon \) .
Từ nguyên lý hội tụ rút ra: Dãy \( ({{a}_{n}}) \) không có giới hạn khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện:
\( \exists \varepsilon ,\forall N\in \mathbb{N},\,\,\exists m\ge N\Rightarrow \left| {{a}_{n}}-{{a}_{m}} \right|\ge \varepsilon \) .
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}=\frac{\cos 1}{3}+\frac{\cos 2}{{{3}^{2}}}+…+\frac{\cos n}{{{3}^{n}}},\,\,n\in \mathbb{N} \) hội tụ.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Ta ước lượng hiệu:
\( \begin{align} & \left| {{a}_{n+p}}-{{a}_{n}} \right|=\left| \frac{\cos (n+1)}{{{3}^{n+1}}}+…+\frac{\cos (n+p)}{{{3}^{n+p}}} \right|\le \frac{1}{{{3}^{n+1}}}+…+\frac{1}{{{3}^{n+p}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{{{3}^{n+1}}}\frac{1-\frac{1}{{{3}^{p}}}}{1-\frac{1}{3}}<\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{{3}^{n}}}<\frac{1}{{{3}^{n}}} \\ \end{align} \)
Giả sử \( \varepsilon \) là số dương tùy ý. Vì \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{3}^{n}}}=0 \) nên với \( \varepsilon >0 \) đó, tồn tại số \( N\in \mathbb{N} \) sao cho \( \forall n\ge N \) ta có \( \frac{1}{{{3}^{n}}}<\varepsilon \) . Nghĩa là nếu \( n\ge N \), còn p là số tự nhiên tùy ý thì \( \left| {{a}_{n+p}}-{{a}_{n}} \right|<\frac{1}{{{3}^{n}}}<\varepsilon \) .
Do đó theo tiêu chuẩn hội tụ dãy đã cho hội tụ.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy \( {{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}} \) phân kì.
Hướng dẫn giải:
Ta ước lượng hiệu \( \left| {{a}_{n}}-{{a}_{n+p}} \right|=\left| \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n+p}} \right|\ge \frac{p}{\sqrt{n+p}},\,\,\forall n,p\in \mathbb{N} \).
Đặc biệt với \( p=n \) ta có \( \left| {{a}_{n}}-{{a}_{2n}} \right|\ge \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}},\,\,\forall n\,\,\,\,\,\,(*) \)
Ta lấy \( \varepsilon =\frac{1}{\sqrt{2}} \). Khi đó \( \forall N\in \mathbb{N} \) tồn tại những giá trị \( n>N \) và \( \exists p\in \mathbb{N} \) sao cho \( \left| {{a}_{n}}-{{a}_{n+p}} \right|\ge \varepsilon \) . Thật vậy, theo bất đẳng thức (*) ta chỉ cần lấy số \( n>N \) bất kì và \( p=n \). Từ đó theo mệnh đề phủ định nguyên lý hội tụ ta có dãy đã cho phân kì.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Sử dụng tiểu chuẩn hội tụ để chứng minh sự hội tụ của dãy ({{a}_{n}}) nếu
a) \( {{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sin n\alpha }{{{2}^{n}}}},\,\,\alpha \in \mathbb{R} \).
b) \( {{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}{{q}^{k}}},\left| q \right|<1,\,\,\left| {{a}_{k}} \right|<M,\,\forall k,M>0 \).
c) \({{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{k(k+1)}}\)
d) \( {{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k}}}{k!}} \)
e) \({{a}_{n}}=0,\underbrace{77…7}_{n\text{ ch }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ so }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ }}\)
f) \( {{a}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{2}^{k}}+k}} \).
Câu 2. Chứng minh rằng các dãy sau đây phân kì:
a) \( {{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n},\,\,n\in \mathbb{N} \).
b) \( {{a}_{n}}=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+…+\frac{1}{\ln n},\,\,n=2,… \)
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
