Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.3.4. Bài tập về nguyên hàm – tích phân vô tỉ
Một số nguyên hàm hàm vô tỉ thường gặp có thể tính được bằng phương pháp hữu tỷ hóa hàm dưới dấu nguyên hàm. Nội dung của phương pháp này là tìm một phép biến đổi đưa nguyên hàm đã cho của hàm vô tỉ về nguyên hàm hữu tỉ. Trong nội dung này ta trình bày những phép đổi biến cho phép hữu tỉ hóa đối với một số lớp hàm vô tỉ quan trọng nhất. Ta quy ước kí hiệu \( R\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},… \right) \) hay \( r\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},… \right) \) là hàm hữu tỉ đối với mỗi biến \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}} \).
1) Nguyên hàm các hàm vô tỉ phân tuyến tính. Nguyên hàm dạng \( \int{R\left( x,{{\left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)}^{{{p}_{1}}}},…,{{\left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)}^{{{p}_{n}}}} \right)dx}\,\,\,\,\,(4.8) \)
Trong đó \( n\in \mathbb{N};\,\,{{p}_{1}},…,{{p}_{n}}\in \mathbb{Q};\,\,a,b,c\in \mathbb{R};\,\,ad-bc\ne 0 \) được hữu tỉ hóa nhờ phép đổi biến
\( {{t}^{m}}=\frac{ax+b}{cx+d} \), ở đây m là mẫu số chung của các số hữu tỉ \( {{p}_{1}},…,{{p}_{n}} \).
2) Nguyên hàm dạng \( \int{R\left( x,\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c} \right)dx},\,\,a\ne 0,\,\,{{b}^{2}}-4ac\ne 0\,\,\,\,\,\,\,(4.9) \) có thể hữu tỉ hóa nhờ phép thề Euler:
(i) \( \sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\pm \sqrt{a}x\pm t \), nếu \( a>0 \).
(ii) \( \sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\pm xt\pm \sqrt{x} \), nếu \( c>0 \).
(iii) \( \sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\pm \left( x-{{x}_{1}} \right)t;\,\,\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\pm \left( x-{{x}_{2}} \right)t \), trong đó \( {{x}_{1}} \) và \( {{x}_{2}} \) là các nghiệm thực khác nhau của tam thức bậc hai \( a{{x}^{2}}+nbx+c \). (Dấu ở các vế phải của đẳng thức có thể lấy theo tổ hợp tùy ý).
3) Nguyên hàm của vi phân nhị thức. Đó là những nguyên hàm dạng \( \int{{{x}^{m}}{{\left( a{{x}^{n}}+b \right)}^{p}}dx}\,\,\,\,\,\,(4.10) \), trong đó \( a,b\in \mathbb{R};\,\,m,n,p\in \mathbb{Q} \) và \( a\ne 0,\,\,b\ne 0,\,\,n\ne 0,\,\,p\ne 0 \); biểu thức \( {{x}^{m}}{{\left( z{{x}^{n}}+b \right)}^{p}} \) được gọi là vi phân nhị thức.
(i) p là số nguyên.
(ii) \( \frac{m+1}{n} \) là số nguyên.
(iii) \( \frac{m+1}{n}+p \) là số nguyên.
Định lí (Chebyshev). Tích phân vi phân nhị thức (4.10) biểu diễn được dưới dạng hữu hạn nhờ các hàm sơ cấp (tức là đưa được về tích phân hàm hữu tỉ hay hữu tỉ hóa được) khi và chỉ khi ít nhất một ba số \( p,\,\,\frac{m+1}{n},\,\,\frac{m+1}{n}+p \) là số nguyên.
(I) Nếu p là số nguyên thì phép hữu tỉ hóa sẽ là \( x={{t}^{N}} \), trong đó N là mẫu số chung của các phân thức m và n.
(II) Nếu \( \frac{m+1}{n} \) là số nguyên thì đặt \( a{{x}^{n}}+b={{t}^{M}} \) trong đó M là mẫu số của p.
(III) Nếu \( \frac{m+1}{n}+p \) là số nguyên thì đặt \( a+b{{x}^{-n}}={{t}^{M}} \), trong đó M là mẫu số của p.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
II. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{x+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[6]{x}}{x\left( 1+\sqrt[3]{x} \right)}dx} \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{1}{\sqrt[3]{\left( 2+x \right){{\left( 2-x \right)}^{5}}}}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{x+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[6]{x}}{x\left( 1+\sqrt[3]{x} \right)}dx} \).
Ta đặt \( x={{t}^{6}}\Rightarrow dx=6{{t}^{5}}dt \).
Khi đó: \({{I}_{1}}=6\int{\frac{{{t}^{6}}+{{t}^{4}}+t}{{{t}^{6}}\left( 1+{{t}^{2}} \right)}\cdot {{t}^{5}}dx}=6\int{\frac{{{t}^{5}}+{{t}^{3}}+1}{1+{{t}^{2}}}dx}=6\int{{{t}^{3}}dt}+6\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+6\arctan \sqrt[6]{x}+C\).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{1}{\sqrt[3]{\left( 2+x \right){{\left( 2-x \right)}^{5}}}}dx}=\int{\sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x}}\cdot \frac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx} \).
Đặt \( {{t}^{3}}=\frac{2-x}{2+x}\Rightarrow x=2\cdot \frac{1-{{t}^{3}}}{1+{{t}^{3}}}\Rightarrow dx=-12\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( 1+{{t}^{3}} \right)}^{2}}}dt \).
Từ đó: \( {{I}_{2}}=-12\int{\frac{{{t}^{3}}{{\left( {{t}^{3}}+1 \right)}^{2}}}{16{{t}^{6}}{{\left( {{t}^{3}}+1 \right)}^{2}}}dt}=-\frac{3}{4}\int{\frac{1}{{{t}^{3}}}dt}=\frac{3}{8}\sqrt[3]{{{\left( \frac{2+x}{2-x} \right)}^{2}}}+C \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx} \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{1}{\left( x-2 \right)\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}}dx} \)
3) \( {{I}_{3}}=\int{\frac{1}{\left( x+1 \right)\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx} \).
Ta sử dụng phép thế Euler (i): \(\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=x+t\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1={{x}^{2}}+2tx+{{t}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-1}{1-2t}\)
\(\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=x+t=\frac{-{{t}^{2}}+t-1}{1-2t}\Rightarrow dx=\frac{2\left( -{{t}^{2}}+t-1 \right)}{{{\left( 1-2t \right)}^{2}}}dt\).
Từ đó: \( {{I}_{1}}=2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}-1}dt}=\ln \left| \frac{1-t}{1+t} \right|+C=\ln \left| \frac{1+x-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{1-x+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right|+C \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{1}{\left( x-2 \right)\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}}dx} \)
Ta có: \( -{{x}^{2}}+4x-3=-\left( x-1 \right)\left( x-3 \right) \). Do đó ta sử dụng phép thế Euler (iii):
\( \sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}=t\left( x-1 \right) \).
Khi đó: \( -\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)={{t}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\left( x-3 \right)={{t}^{2}}\left( x-1 \right)\Rightarrow t=\sqrt{\frac{3-x}{x-1}} \).
\( \begin{align} & x=\frac{{{t}^{2}}+3}{{{t}^{2}}+1},\,\,\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}=t\left( x-1 \right)=\frac{2t}{{{t}^{2}}+1} \\ & \Rightarrow dx=\frac{-4tdt}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align} \)
Do đó, ta thu được: \({{I}_{2}}=2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}-1}dt}=\ln \left| \frac{1-t}{1+t} \right|+C=\ln \left| \frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}} \right|+C\).
3) \( {{I}_{3}}=\int{\frac{1}{\left( x+1 \right)\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}dx} \).
Ta sử dụng phép thế Euler (ii):
\( \begin{align} & \sqrt{1+x-{{x}^{2}}}=tx-1\Leftrightarrow 1+x-{{x}^{2}}={{t}^{2}}{{x}^{2}}-2tx+1\Leftrightarrow x=\frac{2t+1}{{{t}^{2}}+1}\Rightarrow dx=\frac{-2\left( {{t}^{2}}+t-1 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dt \\ & \Rightarrow \sqrt{1+x-{{x}^{2}}}=tx-1=\frac{{{t}^{2}}+t-1}{{{t}^{2}}+1} \\ & \Rightarrow t=\frac{1+\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}{x} \\ \end{align} \)
Do đó:
\( \begin{align} & {{I}_{3}}=-2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+2t+2}dt}=-2\int{\frac{1}{1+{{\left( t+1 \right)}^{2}}}d\left( t+1 \right)}=-2\arctan \left( t+1 \right)+C \\ & \,\,\,\,\,=-2\arctan \frac{1+x+\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}{x}+C. \\ \end{align} \)
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{\sqrt{x}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{x} \right)}^{2}}}dx},\,\,x\ge 0 \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\sqrt{x}\left( \sqrt[4]{1-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}} \right)dx} \).
3) \( {{I}_{3}}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{5}}}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{\sqrt{x}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{x} \right)}^{2}}}dx},\,\,x\ge 0 \).
Đặt \( x={{t}^{6}}\Rightarrow dx=6{{t}^{5}}dt \).
\({{I}_{1}}=6\int{\frac{{{t}^{8}}}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}dt}=6\int{\left( {{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+3-\frac{4{{t}^{2}}+3}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}} \right)dt}=\frac{6}{5}{{t}^{5}}-4{{t}^{3}}+18t-18\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt}-6\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}dt}\)
Vì \( \int{\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}dt}=-\frac{1}{2}\int{td\left( \frac{1}{1+{{t}^{2}}} \right)}=-\frac{t}{2\left( 1+{{t}^{2}} \right)}+\frac{1}{2}\arctan t+{{C}_{1}} \) nên cuối cùng ta thu được:
\( {{I}_{1}}=\frac{6}{5}{{x}^{5/6}}-4{{x}^{1/2}}+18{{x}^{1/6}}+\frac{3{{x}^{1/6}}}{1+{{x}^{1/3}}}-21\arctan {{x}^{1/6}}+C \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\sqrt{x}\left( \sqrt[4]{1-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}} \right)dx} \).
Ta đặt \( {{t}^{4}}=1-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}} \). Khi đó \( x={{\left( 1-{{t}^{4}} \right)}^{-2/3}}\Rightarrow dx=\frac{8}{3}{{\left( 1-{{t}^{4}} \right)}^{-5/3}}{{t}^{3}}dt \) và do vậy:
\( \begin{align} & {{I}_{2}}=\frac{8}{3}\int{\frac{{{t}^{4}}}{{{\left( 1-{{t}^{4}} \right)}^{2}}}dt}=\frac{2}{3}\int{td\left( \frac{1}{1-{{t}^{4}}} \right)}=\frac{2}{3}\left[ \frac{t}{1-{{t}^{4}}}-\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt} \right] \\ & \,\,\,\,=\frac{2t}{3\left( 1-{{t}^{4}} \right)}-\frac{1}{3}\int{\left( \frac{1}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1}{1+{{t}^{2}}} \right)dt}=\frac{2t}{3\left( 1-{{t}^{4}} \right)}-\frac{1}{6}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|-\frac{1}{3}\arctan t+C \\ \end{align} \)
Với \( t={{\left( 1-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{1/4}} \).
3) \( {{I}_{3}}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{5}}}}dx}=\int{{{x}^{-2}}{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{-5/3}}dx} \).
Ở đây \( m=-2,\,\,n=3,\,\,p=-\frac{5}{3} \) và \( \frac{m+1}{n}+p=-2 \) là số nguyên.
Do vậy ta có trường hợp thứ ba. Đặt \( {{t}^{3}}=1+{{x}^{-3}}\Rightarrow 1+{{x}^{3}}={{t}^{3}}{{x}^{3}} \).
Từ đó: \( {{x}^{3}}=\frac{1}{{{t}^{3}}-1}\Rightarrow 1+{{x}^{3}}=\frac{{{t}^{3}}}{{{t}^{3}}-1}\Rightarrow x={{\left( {{t}^{3}}-1 \right)}^{-1/3}}\Rightarrow dx=-{{t}^{2}}{{\left( {{t}^{3}}-1 \right)}^{-4/3}}dt,\,\,{{x}^{-2}}={{\left( {{t}^{3}}-1 \right)}^{2/3}} \).
Do vậy:
\( \begin{align} & {{I}_{3}}=-\int{{{\left( {{t}^{3}}-1 \right)}^{2/3}}{{\left( \frac{{{t}^{3}}}{{{t}^{3}}-1} \right)}^{-5/3}}{{t}^{2}}{{\left( {{t}^{3}}-1 \right)}^{-4/3}}dt}=\int{\frac{1-{{t}^{3}}}{{{t}^{3}}}dt}=\int{{{t}^{-3}}dt}-\int{dt}=\frac{{{t}^{-2}}}{-2}-t+C \\ & \,\,\,\,=-\frac{1+2{{t}^{3}}}{2{{t}^{3}}}+C=-\frac{2+3{{x}^{3}}}{2x\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{2}}}}+C \\ \end{align} \)
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( \int{\frac{1}{\sqrt{2x-1}-\sqrt[3]{2x-1}}dx} \) (Đặt \( {{u}^{6}}=2x-1 \). Đs: \( {{u}^{3}}+\frac{3}{2}{{u}^{2}}+3u+3\ln \left| u-1 \right|+C \))
2) \( \int{\frac{x}{\left( 3x-1 \right)\sqrt{3x-1}}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{9}\cdot \frac{3x-2}{\sqrt{3x-1}}+C \))
3) \( \int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot \frac{1}{x}dx} \) (Đs: \( \frac{1-\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{x}-\arcsin x+C \))
4) \( \int{\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{x+1}dx} \) (Đặt \( t=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} \). Đs: \( -\frac{1}{2}\ln \frac{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}{1+t+{{t}^{2}}}+\sqrt{3}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C \))
5) \( \int{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-x\sqrt{{{x}^{2}}-1}+\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right| \right)+C \))
6) \( \int{\frac{x}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}dx} \) (Đặt \( {{u}^{6}}=x+1 \). Đs: \( 6\left[ \frac{1}{9}{{u}^{9}}+\frac{1}{8}{{u}^{8}}+\frac{1}{6}{{u}^{6}}+\frac{1}{5}{{u}^{5}}+\frac{1}{4}{{u}^{4}} \right]+C \))
7) \( \int{\left( x-2 \right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx} \) (Đs: \( \left( 1-\frac{1}{2}x \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{3}{2}\arcsin x+C \))
8) \( \int{\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{16}\sqrt[3]{{{\left( \frac{x+1}{x-1} \right)}^{4}}}-\frac{3}{28}\sqrt[3]{{{\left( \frac{x+1}{x-1} \right)}^{3}}}+C \))
9) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-2 \right)}}dx} \) (Gợi ý: viết \(\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-2 \right)}=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}\), đặt \(t=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}\). Đs: \( 2\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}+C \))
10) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}}dx} \) (Đặt \( {{u}^{3}}=\frac{x+1}{x-1} \). Đs: \( \frac{1}{2}\ln \frac{{{u}^{2}}+u+1}{{{u}^{2}}-2u+1}-\sqrt{3}\arctan \frac{2u+1}{\sqrt{3}} \))
11) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{4}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1+x}{x-1}}+C \))
12) \( \int{\frac{1}{\sqrt[4]{{{\left( x-1 \right)}^{3}}{{\left( x+2 \right)}^{5}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}+C \))
13) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{7}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{16}\cdot \frac{3x-5}{x-1}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C \))
14) \( \int{\frac{1}{\sqrt[6]{{{\left( x-7 \right)}^{7}}{{\left( x-5 \right)}^{5}}}}dx} \) (Đs: \( -3\sqrt[6]{\frac{x-5}{x-7}}+C \))
15) \( \int{\frac{1}{\sqrt[n]{{{\left( x-a \right)}^{n+1}}{{\left( x-b \right)}^{n-1}}}}dx},\,\,a\ne b \) (Đs: \( \frac{n}{b-a}\sqrt[n]{\frac{x-b}{x-a}}+C \))
16) \( \int{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{2}}}{3}-\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{2}+\frac{1}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right|+C \))
Câu 2. Sử dụng các phép thế Euler để tính các nguyên hàm sau đây:
1) \( \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| \frac{1+x-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{1-x+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right|+C \))
2) \( \int{\frac{1}{\left( x-2 \right)\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| \frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}} \right|+C \))
3) \( \int{\frac{1}{\left( x+1 \right)\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( -2\arctan \frac{1+x+\sqrt{1+x-{{x}^{2}}}}{x}+C \))
4) \( \int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx} \) (Đs: \( \frac{\sqrt{3}}{3}\ln \left| \frac{x-1}{3+3x+2\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}} \right|+C \))
5) \( \int{\frac{x-1}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx} \) (Đs: \( \frac{1+2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}+C \))
6) \( \int{\frac{5x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}}dx} \) (Gợi ý: Có thể đổi biến \( t=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right)}^{\prime }}=x+1 \). Đs: \( 5\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}-\ln \left| x+1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5} \right|+C \))
Câu 3. Tìm các nguyên hàm của vi phân nhị thức
1) \( \int{{{x}^{-\frac{1}{3}}}{{\left( 1-{{x}^{1/6}} \right)}^{-1}}dx} \) (Đs: \( 6{{x}^{\frac{1}{6}}}+3{{x}^{\frac{1}{3}}}+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+6\ln \left| {{x}^{\frac{1}{6}}}-1 \right|+C \))
2) \( \int{{{x}^{-\frac{2}{3}}}{{\left( 1+{{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-3}}dx} \) (Đs: \( -\frac{2}{3}{{\left( 1+{{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-2}}+C \))
3) \( \int{{{x}^{-\frac{1}{2}}}{{\left( 1+{{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{-10}}dx} \) (Đs: \( \frac{4}{9}{{\left( 1+{{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{-9}}-\frac{1}{2}{{\left( 1+{{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{-8}}+C \))
4) \( \int{\frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}dx} \) (Đặt \( t=\sqrt{1+{{x}^{2/3}}} \). Đs: \( 3\left( \frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{2}{3}{{t}^{3}}+t \right)+C \))
5) \( \int{{{x}^{3}}{{\left( 1+2{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{2}{3}}}dx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{2}}+1}{2\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}+C \))
6) \( \int{\frac{1}{{{x}^{4}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{3}{{x}^{-3}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C \))
7) \( \int{\frac{1}{{{x}^{2}}{{\left( 1+{{x}^{3}} \right)}^{\frac{5}{3}}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{8}{{x}^{-1}}\left( 3x+4 \right){{\left( 2+{{x}^{3}} \right)}^{-\frac{2}{3}}}+C \))
8) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}\cdot \sqrt[3]{1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}}}}dx} \) (Đs: \( -2\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{-\frac{3}{4}}}+1 \right)}^{2}}}+C \))
9) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{x}+1 \right)}^{3}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{3}{2{{\left( \sqrt[3]{x}+1 \right)}^{2}}}+C \))
10) \(\int{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{\sqrt[3]{x}+1}}dx}\) (Đặt \({{u}^{2}}=\sqrt[3]{x}+16\). Đs: \(\left( \frac{{{u}^{7}}}{7}-\frac{3}{5}{{u}^{5}}+{{u}^{3}}-{{u}^{2}} \right)+C\))
11) \( \int{\frac{1}{{{x}^{6}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx} \) (Đặt \( u=\sqrt{1-{{x}^{-2}}} \). Đs: \( \frac{{{u}^{5}}}{5}-\frac{2{{u}^{3}}}{3}+u+C \))
12) \( \int{\frac{1}{x\sqrt[3]{1+{{x}^{5}}}}dx} \). (Đặt \( {{u}^{3}}=1+{{x}^{5}} \). Đs: \( \frac{1}{10}\ln \left| \frac{{{u}^{2}}-2u+1}{{{u}^{2}}+u+1} \right|+\frac{\sqrt{3}}{5}\arctan \frac{2u+1}{\sqrt{3}}+C \))
13) \( \int{{{x}^{7}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}dx} \) (Đặt: \( u=\sqrt{1+{{x}^{2}}} \). Đs: \( \frac{{{u}^{9}}}{9}-\frac{3{{u}^{7}}}{7}+\frac{3{{u}^{5}}}{5}-\frac{{{u}^{3}}}{3}+C \))
14) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx} \) (Đặt: \( {{u}^{3}}=1+{{x}^{-3}} \). Đs: \( \frac{1}{6}\ln \left| \frac{{{u}^{2}}+u+1}{{{u}^{2}}-2u+1} \right|-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2u+1}{\sqrt{3}}+C \))
15) \(\int{\frac{1}{\sqrt[4]{1+{{x}^{4}}}}dx}\) (Đặt \({{u}^{4}}=1+{{x}^{-4}}\). Đs: \( \frac{1}{4}\ln \left| \frac{u+1}{u-1} \right|-\frac{1}{2}\arctan u+C \))
16) \( \int{\sqrt[3]{x-{{x}^{3}}}dx} (Đặt {{u}^{3}}={{x}^{-2}}-1 \). Đs: \( \frac{u}{2\left( {{u}^{3}}+1 \right)}-\frac{1}{12}\ln \frac{{{u}^{2}}+2u+1}{{{u}^{2}}-u+1}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan \frac{2u-1}{\sqrt{3}}+C \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
