Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.3.3. Bài tập về tích phân các hàm hữu tỉ
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính \( I=\int{\frac{x}{\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx} \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \frac{x}{\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).
Từ đó suy ra: \( x=A{{\left( x+1 \right)}^{2}}+B\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+C\left( x-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \).
+ Cách 1: \( x=\left( A+B \right){{x}^{2}}+\left( 2A+C \right)x+\left( A-B-C \right) \)
Cân bằng các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ta thu được: \( \left\{ \begin{align} & A+B=0 \\ & 2A+C=1 \\ & A-B-C=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow A=\frac{1}{4},\,\,B=-\frac{1}{4},\,\,C=\frac{1}{2} \).
+ Cách 2:
– Thay \( x=1 \) vào (*), ta thu được: \( 1=A\cdot 4\Rightarrow A=\frac{1}{4} \).
– Thay \( x=-1 \) vào (*), ta thu được: \( -1=-C\cdot 2\Rightarrow C=-\frac{1}{2} \).
– Thay \( x=0 \) vào (*), ta thu được: \( 0=A-B-C\Leftrightarrow B=A-C=-\frac{1}{4} \).
+ Do đó: \( I=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}=-\frac{1}{2\left( x+1 \right)}+\frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tính \( I=\int{\frac{3x+1}{x{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Khai triển hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức cơ bản:
\( \frac{3x+1}{x{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+{{x}^{2}}}+\frac{Dx+F}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}} \)
Từ đó: \( 3x+1=\left( A+B \right){{x}^{4}}+C{{x}^{3}}+\left( 2A+B+D \right){{x}^{2}}+\left( C+F \right)x+A \).
Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta thu được:
\( \left\{ \begin{align} & A+B=0 \\ & C=0 \\ & 2A+B+D=0 \\ & C+F=3 \\ & A=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A=1,\,\,B=-1,\,\,C=0,\,\,D=-1,\,\,F=3 \).
Từ đó suy ra:
\( \begin{align} & I=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{x}{1+{{x}^{2}}}dx}-\int{\frac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}+3\int{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx} \\ & \,\,\,=\ln \left| x \right|-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-\int{\frac{1}{2}\left( 1+{{x}^{2}} \right)d\left( 1+{{x}^{2}} \right)+3\int{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}} \\ & \,\,\,=\ln \left| x \right|-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+3{{I}_{2}}. \\ \end{align} \)
Ta tính \( {{I}_{2}}=\int{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx} \) bằng công thức truy hồi thu được:
\( {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+{{x}^{2}}}+\frac{1}{2}{{I}_{1}}=\frac{x}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\frac{x}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+\frac{1}{2}\arctan x+C \).
Cuối cùng ta ta thu được:
\( I=\ln \left| x \right|-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+\frac{3x+1}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+3\arctan x+C \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
II. Bài tập tự luyện về tích phân hữu tỉ - Có hướng dẫn giải
Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( \int{\frac{x}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{4}\ln \left| x+1 \right|-\frac{2}{5}\ln \left| x+2 \right|+\frac{3}{20}\ln \left| x-3 \right|+C \))
2) \( \int{\frac{2{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-2}{2{{x}^{3}}-x-1}dx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x-1 \right|+\ln \left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)+\arctan \left( 2x+1 \right)+C \))
3) \( \int{\frac{2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+5x+1}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}+\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C \))
4) \( \int{\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}{x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{4}\ln \left| x \right|+\frac{21}{8}\ln \left| x-2 \right|+\frac{21}{8}\ln \left| x+2 \right|+C \))
5) \( \int{\frac{1}{x\left( x-1 \right){{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| \frac{x-1}{x} \right|-\frac{10}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x+1}+C \))
6) \( \int{\frac{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{10}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+\frac{7}{20}\arctan \frac{x}{2}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+C \))
7) \( \int{\frac{3{{x}^{2}}+5x+12}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx} \) (Đs: \( -\frac{5}{4}\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{5}{4}\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+\frac{9}{2}\arctan x+C \))
8) \( \int{\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| x \right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln \left| x-1 \right|-\frac{1}{2}\ln \left| x+1 \right|+\frac{1}{x+1}+C \))
9) \( \int{\frac{{{x}^{3}}+x+1}{{{x}^{4}}-1}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{4}\ln \left| x-1 \right|+\frac{1}{4}\ln \left| x+1 \right|-\frac{1}{2}\arctan x+C \))
10) \( \int{\frac{{{x}^{4}}}{1-{{x}^{4}}}dx} \) (Đs: \( -x+\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right|+\frac{1}{2}\arctan x+C \))
11) \( \int{\frac{3x+5}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \frac{2x-1}{2\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}+\arctan \left( x+1 \right)+C \))
12) \( \int{\frac{{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{2}}}dx} \) (Đs: \( x+\frac{3-x}{{{x}^{2}}-2x+2}+2\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\arctan \left( x-1 \right)+C \))
13) \( \int{\frac{{{x}^{2}}+2x+7}{\left( x-2 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{5}\ln \left| {{x}^{2}}-2 \right|-\frac{3}{10}\ln \left| {{x}^{2}}+1 \right|+\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1}-\frac{11}{5}\arctan x+C \))
14) \( \int{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{4}{x+2}+\ln \left| x+1 \right|+C \))
15) \( \int{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x+3 \right)}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{4{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{3}{8\left( x-1 \right)}+\frac{5}{32}\ln \left| \frac{x-1}{x+3} \right|+C \))
16) \(\int{\frac{1}{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}dx}\) (Đs: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{6}\ln \frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C\))
17) \( \int{\frac{3{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x}dx} \) (Đs: \( 2\ln \left| x \right|+\ln \left| x+2 \right|+\frac{10}{x+2}+C \))
18) \( \int{\frac{2{{x}^{5}}+6{{x}^{3}}+1}{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( {{x}^{2}}-\frac{1}{3x}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}+C \))
19) \( \int{\frac{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{4}}+x}dx} \) (Đs: \( \ln \frac{\left| x \right|\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C \))
20) \( \int{\frac{{{x}^{3}}-3}{{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+25}dx} \) (Gợi ý: \( {{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+25={{\left( {{x}^{2}}+5 \right)}^{2}} \). Đs: \( \frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+5 \right)+\frac{25-3x}{10\left( {{x}^{2}}+5 \right)}-\frac{3}{10\sqrt{5}}\arctan \frac{x}{\sqrt{5}}+C \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
