Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.2.2. Bài tập về tích phân từng phần
4.2.2. Phép tích phân từng phần
Định lí: Nếu \( u,v:[a,b]\to \mathbb{R} \) và \( u,v\in {{C}^{1}} \) trên [a,b] thì \( \int\limits_{a}^{b}{{u}'(x)\cdot v(x)dx}=\left. u(x)\cdot v(x) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{u(x)\cdot {v}'(x)dx} \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
II. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tính tích phân \( I=\int{\sqrt{x}\arctan \sqrt{x}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Tích phân đã cho thuộc nhóm I.
Ta đặt \( \left\{ \begin{align} & u=\arctan \sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}\cdot \frac{dx}{2\sqrt{x}} \\ & dv=\sqrt{x}dx\Rightarrow v=\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align} \right. \).
Do đó:
\( \begin{align} & I=\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt{x}-\frac{1}{3}\int{\frac{x}{1+x}dx}=\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt{x}-\frac{1}{3}\int{\left[ 1-\frac{1}{1+x} \right]dx} \\ & \,\,\,=\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt{x}-\frac{1}{3}\left( x-\ln \left| 1+x \right| \right)+C \\ \end{align} \)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tính \( I=\int{{{\arccos }^{2}}xdx} \).
Hướng dẫn giải:
Giả sử \( \left\{ \begin{align} & u={{\arccos }^{2}}x\Rightarrow du=-\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx \\ & dv=dx\Rightarrow v=x \\ \end{align} \right. \)
Do đó: \( I=x{{\arccos }^{2}}x+2\int{\frac{x\arccos x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx} \).
Để tính tích phân ở vế phải đẳng thức thu được ta đặt:
\( \left\{ \begin{align} & u=\arccos x\Rightarrow du=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx \\ & dv=\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\Rightarrow v=-\int{d\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}=-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \).
\( \Rightarrow \int{\frac{x\arccos x}{\sqrt{21-{{x}^{2}}}}dx}=-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\arccos x-\int{dx}=-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\arccos x-x+{{C}_{1}} \).
Vậy \( I=x{{\arccos }^{2}}x-2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\arccos x-2x+C \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tính \( I=\int{{{x}^{2}}\sin 3xdx} \).
Hướng dẫn giải:
Ta đặt: \( \left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\ & dv=\sin 3xdx\Rightarrow v=-\frac{1}{3}\cos 3x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( I=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}\cos 3x+\frac{2}{3}\int{x\cos 3xdx}=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}\cos 3x+\frac{2}{3}{{I}_{1}} \).
Ta tính \( {{I}_{1}}=\int{x\cos 3xdx} \). Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv=\cos 3xdx\Rightarrow v=\frac{1}{3}\sin 3x \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( I=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}\cos 3x+\frac{2}{3}\left[ \frac{1}{3}x\sin 3x-\frac{1}{3}\int{\sin 3xdx} \right]=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}\cos 3x+\frac{2}{9}x\sin 3x+\frac{2}{27}\cos 3x+C \).
Ví dụ 4. Tính \( I=\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx};\,\,a,b\ne 0 \).
Hướng dẫn giải:
Ta đặt \( \left\{ \begin{align} & u={{e}^{ax}}\Rightarrow du=a{{e}^{ax}}dx \\ & dv=\cos bxdx\Rightarrow v=\frac{1}{b}\sin bx \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( I=\frac{1}{b}{{e}^{ax}}\sin bx-\frac{a}{b}\int{{{e}^{ax}}\sin bxdx}=\frac{1}{b}{{e}^{ax}}\sin bx-\frac{a}{b}{{I}_{1}} \).
Tính \( {{I}_{1}}=\int{{{e}^{ax}}\sin bxdx} \). Đặt \( \left\{ \begin{align} & u={{e}^{ax}}\Rightarrow du=a{{e}^{ax}}dx \\ & dv=\sin bxdx\Rightarrow v=-\frac{1}{b}\cos bx \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( {{I}_{1}}=-\frac{1}{b}{{e}^{ax}}\cos bx+\frac{a}{b}\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx} \).
Thay I1 vào biểu thức I ta được: \( I=\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx}=\frac{1}{b}{{e}^{ax}}\sin bx+\frac{a}{{{b}^{2}}}\cos bx-\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx} \).
Suy ra: \( I=\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx}={{e}^{ax}}\cdot \frac{a\cos bx+b\sin bx}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C \).
Ví dụ 5. Tính \(I=\int{\sin \left( \ln x \right)dx}\).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=\sin \left( \ln x \right)\Rightarrow du=\frac{1}{x}\cos \left( \ln x \right)dx \\ & dv=dx\Rightarrow v=x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( I=x\sin \left( \ln x \right)-\int{\cos \left( \ln x \right)dx}=x\sin \left( \ln x \right)-{{I}_{1}} \).
Tính \( {{I}_{1}}=\int{\cos \left( \ln x \right)dx} \). Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=\cos \left( \ln x \right)\Rightarrow du=-\frac{1}{x}\sin \left( \ln x \right)dx \\ & dv=dx\Rightarrow v=x \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( {{I}_{1}}=x\cos \left( \ln x \right)+\int{\sin \left( \ln x \right)dx} \).
Thay I1 vào biểu thức I, ta được phương trình:
\( I=x\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]-I\Leftrightarrow I=\frac{x}{2}\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]+C \).
Ví dụ 6. Tính
1) \( I=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \).
2) \( {{I}_{n}}=\int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}dx},\,\,n\in \mathbb{N} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( I=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \).
Ta đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx\Rightarrow v=-\cot x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó:
\( \begin{align} & I=-x\cot x+\int{\cot xdx}=-x\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx}=-x\cot x+\int{\frac{1}{\sin x}d\left( \sin x \right)} \\ & \,\,\,=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C \\ \end{align} \)
2)
\( \begin{align}& {{I}_{n}}=\int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}dx}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\int{\frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}dx}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\left[ \int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n-1}}}dx}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}dx} \right] \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{{{a}^{2}}}{{I}_{n-1}}-\frac{1}{2{{a}^{2}}}\int{x\cdot \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}dx}. \\ \end{align} \)
Ta tính \( J=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\int{x\cdot \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}dx} \).
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv=\frac{2xdx}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}=\frac{d\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}\Rightarrow v=-\frac{1}{\left( n-1 \right){{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n-1}}} \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( J=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\int{x\cdot \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n}}}dx}=\frac{-x}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right){{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n-1}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right)}{{I}_{n-1}} \).
Từ đó suy ra:
\( {{I}_{n}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}{{I}_{n-1}}+\frac{x}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right){{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n-1}}}-\frac{1}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right)}{{I}_{n-1}}=\frac{x}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right){{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{n-1}}}+\frac{2n-3}{2{{a}^{2}}\left( n-1 \right)}{{I}_{n-1}}\,\,\,\,\,(*) \)
Khi \( n=1 \), ta có: \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C \).
Áp dụng công thức truy hồi (*) ta có thể tính I2 qua I1 rồi I3 qua I2,…
Ví dụ 7. Tính \( I=\int{x{{e}^{ax}}\cos bxdx} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={{e}^{ax}}\cos bxdx\Rightarrow v={{e}^{ax}}\cdot \frac{a\cos bx+b\sin bx}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{align} \right. \).
Khi đó:
\( \begin{align} & I=x{{e}^{ax}}\cdot \frac{a\cos bx+b\sin bx}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\int{{{e}^{ax}}\left( a\cos bx+b\sin bx \right)dx} \\ & \,\,\,=x{{e}^{ax}}\cdot \frac{a\cos bx+b\sin bx}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\int{{{e}^{ax}}\cos bxdx}-\frac{b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\int{{{e}^{ax}}\sin bxdx} \\ \end{align} \)
Ở ví dụ trước ta có \( \int{{{e}^{ax}}\sin bxdx}={{e}^{ax}}\cdot \frac{a\sin bx-b\cos bx}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \).
Ta thay các kết quả thu được vào biểu thức I ta có:
\( I=\frac{{{e}^{ax}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ \left( x-\frac{a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( a\cos bx+b\sin bx \right) \right)-\frac{b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( a\sin bx-b\cos bx \right) \right]+C \).
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( \int{x\cdot {{2}^{x}}dx} \) (Đs: \( \frac{{{2}^{x}}\left( x\ln 2-1 \right)}{{{\ln }^{2}}2}+C \))
2) \( \int{{{x}^{2}}\cdot {{e}^{-x}}dx} \) (Đs: \( -{{x}^{2}}{{e}^{-x}}-2x{{e}^{-x}}-2{{e}^{-x}}+C \))
3) \( \int{{{x}^{3}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{-{{x}^{2}}}}+C \))
4) \( \int{\left( {{x}^{3}}+x \right){{e}^{5x}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{5}{{e}^{5x}}\left( {{x}^{3}}-\frac{3}{5}{{x}^{2}}+\frac{31}{25}x-\frac{31}{125} \right)+C \))
5) \( \int{\arcsin xdx} \) (Đs: \( x\arcsin x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C \))
6) \( \int{x\arcsin xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{4}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\arcsin x+\frac{1}{4}x\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C \))
7) \( \int{{{x}^{2}}\arcsin 2xdx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{3}}}{3}\arcsin 2x+\frac{2{{x}^{2}}+1}{36}\sqrt{1-4{{x}^{2}}}+C \))
8) \( \int{\arctan xdx} \) (Đs: \( x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C \))
9) \( \int{\arctan \sqrt{x}dx} \) (Đs: \( \left( 1+x \right)\arctan \sqrt{x}-\sqrt{x}+C \))
10) \( \int{{{x}^{3}}\arctan xdx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{4}}-1}{4}\arctan x-\frac{{{x}^{3}}}{12}+\frac{x}{4}+C \))
11) \( \int{{{\left( \arctan x \right)}^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{{{x}^{2}}+1}{2}{{\left( \arctan x \right)}^{2}}-x\arctan x+\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C \))
12) \( \int{{{\left( \arcsin x \right)}^{2}}dx} \) (Đs: \( x{{\left( \arcsin x \right)}^{2}}+2\arcsin x\sqrt{1-{{x}^{2}}}-2x+C \))
13) \( \int{\frac{\arcsin x}{\sqrt{x+1}}dx} \) (Đs: \( 2\sqrt{x+1}\arcsin x+4\sqrt{1-x}+C \))
14) \( \int{\frac{\arcsin x}{{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{\arcsin x}{x}-\ln \left| \frac{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C \))
15) \( \int{\frac{x\arctan x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \sqrt{1+{{x}^{2}}}\arctan x-\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)+C \))
16) \( \int{\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx} \) (Đs: \( 2\left( \sqrt{x}-\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x} \right)+C \))
17) \( \int{\ln xdx} \) (Đs: \( x\left( \ln x-1 \right)+C \))
18) \( \int{\sqrt{x}{{\ln }^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}{{x}^{3/2}}\left( {{\ln }^{2}}x-\frac{4}{3}\ln x+\frac{8}{9} \right)+C \))
19) \( \int{\ln \left( x+\sqrt{16+{{x}^{2}}} \right)dx} \) (Đs: \( x\ln \left( x+\sqrt{16+{{x}^{2}}} \right)-\sqrt{16+{{x}^{2}}}+C \))
20) \( \int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \sqrt{1+{{x}^{2}}}\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)-x+C \))
21) \( \int{\sin x\ln \left( \tan x \right)dx} \) (Đs: \( \ln \left( \tan \frac{x}{2} \right)-\cos x\ln \left( \tan x \right)+C \))
22) \( \int{{{x}^{2}}\ln \left( 1+x \right)dx} \) (Đs: \( \frac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln \left( x+1 \right)}{3}-\frac{{{x}^{3}}}{9}+\frac{{{x}^{2}}}{6}-\frac{x}{3}+C \))
23) \( \int{{{x}^{2}}\sin 2xdx} \) (Đs: \( \frac{1-2{{x}^{2}}}{4}\cos 2x+\frac{x}{2}\sin 2x+C \))
24) \(\int{{{x}^{3}}\cos \left( 2{{x}^{2}} \right)dx}\) (Đs: \(\frac{1}{8}\left( 2{{x}^{2}}\sin 2{{x}^{2}}+\cos 2{{x}^{2}} \right)+C\))
25) \( \int{{{e}^{x}}\sin xdx} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{x}}\left( \sin x-\cos x \right)}{2}+C \))
26) \( \int{{{3}^{x}}\cos xdx} \) (Đs: \( \frac{\sin x+\left( \ln 3 \right)\cos x}{1+{{\ln }^{2}}3}\cdot {{3}^{x}}+C \))
27) \( \int{{{e}^{3x}}\left( \sin 2x-\cos 2x \right)dx} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{3x}}}{13}\left( \sin 2x-5\cos 2x \right)+C \))
28) \( \int{x{{e}^{2x}}\sin 5xdx} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{2x}}}{29}\left[ \left( 2x+\frac{21}{29} \right)\sin 5x-\left( -5x+\frac{20}{29} \right)\cos 5x \right]+C \))
29) \( \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}\sin xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left[ \left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\cos x \right]{{e}^{x}}+C \))
30) \( \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}\cos xdx} \) (Đs: \( \frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\sin x+\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cos x}{2}\cdot {{e}^{x}}+C \))
31) \( \int{{{x}^{2}}\sin \left( \ln x \right)dx} \) (Đs: \( \frac{\left[ 3\sin x\left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]{{x}^{3}}}{10}+C \))
Câu 2. Tìm công thức truy hồi đối với mỗi tích phân {{I}_{n}} được cho dưới đây:
1) \( {{I}_{n}}=\int{{{x}^{n}}{{e}^{ax}}dx},\,\,a\ne 0 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=\frac{1}{a}{{x}^{n}}{{e}^{ax}}-\frac{n}{a}{{I}_{n-1}} \))
2) \({{I}_{n}}=\int{{{\ln }^{n}}xdx}\) (Đs: \({{I}_{n}}=x{{\ln }^{n}}x-n{{I}_{n-1}}\))
3) \( {{I}_{n}}=\int{{{x}^{\alpha }}{{\ln }^{n}}xdx},\,\,\alpha \ne -1 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}{{\ln }^{n}}x}{\alpha +1}-\frac{n}{\alpha +1}{{I}_{n-1}} \))
4) \( {{I}_{n}}=\int{\frac{{{x}^{n}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx},\,\,n>2 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=\frac{{{x}^{n-1}}\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{n}-\frac{n-1}{n}a{{I}_{n-2}} \))
5) \( {{I}_{n}}=\int{{{\sin }^{n}}xdx},\,\,n>2 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=-\frac{\cos x{{\sin }^{n-1}}x}{n}+\frac{n-1}{n}{{I}_{n-2}} \))
6) \( {{I}_{n}}=\int{{{\cos }^{n}}xdx},\,\,n>2 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=\frac{\sin x{{\cos }^{n-1}}x}{n}+\frac{n-1}{n}{{I}_{n-2}} \))
7) \( {{I}_{n}}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{n}}x}dx},\,\,n>2 \) (Đs: \( {{I}_{n}}=\frac{\sin x}{\left( n-1 \right){{\cos }^{n-1}}x}+\frac{n-2}{n-1}{{I}_{n-2}} \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
