Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.3.5. Bài tập về nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng \( \int{R\left( \sin x,\cos x \right)dx}\,\,\,\,\,\,\,(4.11) \)Trong đó \( R\left( u,v \right) \) là hàm hữu tỉ của các biến u và v luôn luôn có thể hữu tỉ hóa được nhờ phép đổi biến \( t=\tan \frac{x}{2},\,\,x\in \left( -\pi ;\pi \right) \).
Từ đó: \( \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\,\,\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}},\,\,dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \).
Nhược điểm của phép hữu tỉ hóa này là nó thường đưa đến những tính toán rất phức tạp.
Vì vậy, trong nhiều trường hợp phép hữu tỉ hóa có thể thực hiện được nhờ những phép đổi biến khác.
2. Nếu \( R\left( -\sin x,\cos x \right)=-R\left( \sin x,\cos x \right) \) thì sử dụng phép đổi biến \( t=\cos x,\,\,x\in \left( 0;\pi \right) \) và lúc đó \( dx=-\frac{dt}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}} \).
3. Nếu \( R\left( \sin x,-\cos x \right)=-R\left( \sin x,\cos x \right) \) thì sử dụng phép đổi biến \( t=\sin x,\,\,dx=\frac{dt}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}},\,\,x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \).
4. Nếu \( R\left( -\sin x,-\cos x \right)=R\left( \sin x,\cos x \right) \) thì phép hữu tỉ hóa sẽ là \( t=\tan x,\,\,x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \):
\( \sin x=\frac{t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}},\,\,\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}},\,\,x=\arctan t,\,\,dx=\frac{dt}{1+{{t}^{2}}} \).
5. Trường hợp riêng của tích phân dạng (4.11) là tích phân
\( \int{{{\sin }^{m}}x{{\cos }^{n}}xdx},\,\,m,n\in \mathbb{Z}\,\,\,\,\,\,\,(4.12) \)
(i) Nếu số m lẻ thì đặt \( t=\cos x \), nếu n lẻ thì đặt \( t=\sin x \).
(ii) Nếu m và n là những số chẵn không âm thì tốt hơn hết là thay \( {{\sin }^{2}}x \) và \( {{\cos }^{2}}x \) theo các công thức:
\( {{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right),\,\,{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right) \).
(iii) Nếu m và n chẵn, trong đó có một số âm thì phép đổi biến sẽ là \( \tan x=t \) hay \( \cot x=t \).
(iv) Nếu \( m+n=-2k,\,\,k\in \mathbb{N} \) thì viết biểu thức dưới dấu tích phân bởi dạng phân thức và tách \( {{\cos }^{2}}x \) (hoặc \( {{\sin }^{2}}x \)) ra khỏi mẫu số.
Biểu thức \( \frac{dx}{{{\cos }^{2}}x} \) (hoặc \( \frac{dx}{{{\sin }^{2}}x} \)) được thay bởi \( d\left( \tan x \right) \) (hoặc \( d\left( \cot x \right) \)) và áp dụng phép đổi biến \( t=\tan x \) (hoặc \( t=\cot x \)).
6. Tích phân dạng \( \int{{{\sin }^{\alpha }}x{{\cos }^{\beta }}xdx},\,\,\alpha ,\beta \in \mathbb{Q}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4.13 \right) \)
Bằng phép đổi biến \( {{\sin }^{2}}x=t \) ta thu được \( I=\frac{1}{2}\int{{{t}^{\frac{\alpha -1}{2}}}{{\left( 1-t \right)}^{\frac{\beta -1}{2}}}dt} \) và bài toán được quy về tích phân của vi phân nhị thức.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm: \( I=\int{\frac{1}{3\sin x+4\cos x+5}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Đặt \( t=\tan \frac{x}{2},\,\,x\in \left( -\pi ;\pi \right) \). Khi đó: \(I=2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+6t+9}dt}=2\int{{{\left( t+3 \right)}^{-2}}dt}=-\frac{2}{t+3}+C=-\frac{2}{3+\tan \frac{x}{2}}+C\).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm: \( J=\int{\frac{1}{\left( 3+\cos 5x \right)\sin 5x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( t=5x\Rightarrow dx=\frac{1}{5}dt \). Ta thu được: \( J=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{\left( 3+\cos t \right)\sin t}dt} \).
Đặt \( z=\cos t\Rightarrow -dz=\sin tdt \).
Khi đó:
\(\begin{align} & J=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{\left( z+3 \right)\left( {{z}^{2}}-1 \right)}dz}=\frac{1}{5}\int{\left[ \frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z+3} \right]dz}=\frac{1}{5}\int{\left[ \frac{1}{8\left( z-1 \right)}-\frac{1}{4\left( z+1 \right)}+\frac{1}{8\left( z+3 \right)} \right]dz} \\ & \,\,\,\,=\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{8}\ln \left| z-1 \right|-\frac{1}{4}\ln \left| z+1 \right|+\frac{1}{8}\ln \left| z+3 \right| \right]+C=\frac{1}{40}\ln \left| \frac{\left( z-1 \right)\left( z+3 \right)}{{{\left( z+1 \right)}^{2}}} \right|+C=\frac{1}{40}\ln \left| \frac{{{\cos }^{2}}x+2\cos 5x-3}{{{\left( \cos 5x+1 \right)}^{2}}} \right|+C \\ \end{align}\)
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm: \( J=\int{\frac{2\sin x+3\cos x}{{{\sin }^{2}}x\cos x+9{{\cos }^{3}}x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Hàm dưới dấu tích phân có tính chất là: \( R\left( -\sin x,-\cos x \right)=R\left( \sin x,\cos x \right) \).
Do đó ta sử dụng phép đổi biến \( t=\tan x,\,\,x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \). Chia tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho \( {{\cos }^{3}}x \), ta có:
\( \begin{align} & J=\int{\frac{2\tan x+3}{{{\tan }^{2}}x+9}d\left( \tan x \right)}=\int{\frac{2t+3}{{{t}^{2}}+9}dt}=\ln \left( {{t}^{2}}+9 \right)+\arctan \left( \frac{t}{3} \right)+C \\ & \,\,\,=\ln \left( {{\tan }^{2}}x+9 \right)+\arctan \left( \frac{\tan x}{3} \right)+C. \\ \end{align} \)
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: \( J=\int{\frac{1}{{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x=\frac{1}{4}\left( 1+3{{\cos }^{2}}2x \right) \).
Đặt \( t=\tan 2x\Rightarrow \frac{1}{2}dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}2x}dx \), ta thu được:
\( J=\int{\frac{4}{1+3{{\cos }^{2}}2x}dx}=2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+4}dt}=\arctan \frac{t}{2}+C=\arctan \frac{\tan 2x}{2}+C \).
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm: \( J=\int{{{\sin }^{\frac{3}{2}}}x{{\cos }^{\frac{1}{2}}}xdx} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( z={{\sin }^{2}}x \) ta thu được: \( J=\frac{1}{2}\int{{{z}^{1/4}}{{\left( 1-z \right)}^{-1/4}}dz} \).
Đây là tích phân của vi phân nhị thức và \( \frac{m+1}{n}+p=\frac{\frac{1}{4}+1}{1}-\frac{1}{4}=1 \).
Do vậy ta thực hiện phép đổi biến: \( \frac{1}{z}-1={{t}^{4}},\,\,-\frac{dz}{{{z}^{2}}}=4{{t}^{3}}dt,\,\,{{z}^{2}}=\frac{1}{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{2}}} \).
Do đó: \( J=-2\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{2}}}dt} \). Đặt \( t=\frac{1}{y} \) ta thu được:
\( J=2\int{\frac{{{y}^{4}}}{{{\left( 1+{{y}^{4}} \right)}^{2}}}dy} \).
Thực hiện phép tích phân từng phần bằng cách đặt: \( \left\{ \begin{align} & u=y\Rightarrow du=dy \\ & dv=\frac{{{y}^{3}}}{{{\left( 1+{{y}^{4}} \right)}^{2}}}dy\Rightarrow v=-\frac{1}{4\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \\ \end{align} \right. \).
Ta thu được: \( J=2\left[ -\frac{y}{4\left( 1+{{y}^{4}} \right)}+\frac{1}{4}\int{\frac{1}{1+{{y}^{4}}}dy} \right]=-\frac{y}{2\left( 1+{{y}^{4}} \right)}+\frac{1}{2}{{J}_{1}} \).
Để tính \( {{J}_{1}} \) ta biểu diễn tử số của biểu thức dưới dấu tích phân như sau: \( 1=\frac{1}{2}\left[ \left( {{y}^{2}}+1 \right)-\left( {{y}^{2}}-1 \right) \right] \). Khi đó:
\(\begin{align} & {{J}_{1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{{{y}^{2}}+1}{{{y}^{4}}+1}dy}-\frac{1}{2}\int{\frac{{{y}^{2}}-1}{{{y}^{4}}+1}dy}=\frac{1}{2}\int{\frac{1+\frac{1}{{{y}^{2}}}}{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}dy}-\frac{1}{2}\int{\frac{1-\frac{1}{{{y}^{2}}}}{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}dx} \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{{\left( y-\frac{1}{y} \right)}^{2}}+2}d\left( y+\frac{1}{y} \right)}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}-2}d\left( y+\frac{1}{y} \right)} \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \frac{y-\frac{1}{y}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \left| \frac{y+\frac{1}{y}-\sqrt{2}}{y+\frac{1}{y}+\sqrt{2}} \right|+C. \\ \end{align}\)
Cuối cùng ta thu được: \(J=-\frac{y}{2\left( 1+{{y}^{4}} \right)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan \frac{y-\frac{1}{y}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8\sqrt{2}}\ln \left| \frac{y+\frac{1}{y}-\sqrt{2}}{y+\frac{1}{y}+\sqrt{2}} \right|+C\).
Trong đó: \(y=\frac{1}{t},\,\,t=\sqrt[4]{\frac{1}{z}-1},\,\,z={{\sin }^{2}}x\).
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Tìm các nguyên hàm bằng các sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm dưới dấu nguyên hàm.
1) \( \int{{{\sin }^{3}}xdx} \) (Đs: \( -\cos x+\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+C \))
2) \( \int{{{\cos }^{4}}xdx} \) (Đs: \( \frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C \))
3) \( \int{{{\sin }^{5}}xdx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}{{\cos }^{3}}x-\frac{{{\cos }^{5}}x}{5}-\cos x+C \))
4) \( \int{{{\cos }^{7}}xdx} \) (Đs: \( \sin x-{{\sin }^{3}}x+\frac{3{{\sin }^{5}}x}{5}-\frac{{{\sin }^{7}}x}{7}+C \))
5) \( \int{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C \))
6) \( \int{{{\sin }^{3}}x{{\cos }^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{{{\cos }^{5}}x}{5}-\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+C \))
7) \( \int{{{\cos }^{3}}x{{\sin }^{5}}xdx} \) (Đs: \( \frac{{{\sin }^{6}}x}{6}-\frac{{{\sin }^{8}}x}{8}+C \))
8) \( \int{\frac{1}{\sin 2x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\ln \left| \tan x \right|+C \))
9) \( \int{\frac{1}{\cos \frac{x}{3}}dx} \) (Đs: \( 3\ln \left| \tan \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{6} \right) \right|+C \))
10) \( \int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin 2x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left[ \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+\ln \left| \tan \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right) \right| \right]+C \))
11) \( \int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{6}}x}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( t=\tan x \). Đs: \( \frac{{{\tan }^{5}}x}{5}+\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+C \))
12) \( \int{\sin 3x\cos xdx} \) (Đs: \( -\frac{1}{8}\left( \cos 4x+2\cos 2x \right)+C \))
13) \( \int{\sin \frac{x}{3}\cos \frac{2x}{3}dx} \) (Đs: \( \frac{3}{2}\cos \frac{x}{3}-\frac{1}{2}\cos x+C \))
14) \( \int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \) (Đs: \( -\frac{1}{\sin x}-\sin x+C \))
15) \(\int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx}\) (Đs: \(\frac{1}{\cos x}+\cos x+C\))
16) \( \int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{{{\sin }^{5}}x}dx} \) (Đs: \( -\frac{{{\cot }^{4}}x}{4}+C \))
17) \( \int{\frac{{{\sin }^{5}}x}{{{\cos }^{3}}x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2{{\cos }^{2}}x}+2\ln \left| \cos x \right|-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}+C \))
18) \( \int{{{\tan }^{5}}xdx} \) (Đs: \( \frac{{{\tan }^{4}}x}{4}-\frac{{{\tan }^{2}}x}{2}-\ln \left| \cos x \right|+C \))
Câu 2. Hãy áp dụng phép đổi biến sau:
\( t=\tan \frac{x}{2},\,\,\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\,\,\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}},\,\,x=2\arctan t,\,\,dx=\frac{2}{1+{{t}^{2}}}dt \) để tìm các nguyên hàm sau:
1) \( \int{\frac{1}{3+5\cos x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{4}\ln \left| \frac{2+\tan \frac{x}{2}}{2-\tan \frac{x}{2}} \right|+C \))
2) \( \int{\frac{1}{\sin x+\cos x}dx} \) (Đs: \( \frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{8} \right) \right|+C \))
3) \( \int{\frac{3\sin x+2\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{3}\left( 12x-5\ln \left| 2\tan x+3 \right|-5\ln \left| \cos x \right| \right)+C \))
4) \( \int{\frac{1}{1+\sin x+\cos x}dx} \) (Đs: \( \ln \left| 1+\tan \frac{x}{2} \right|+C \))
5) \( \int{\frac{1}{\left( 2-\sin x \right)\left( 3-\sin x \right)}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2\tan \frac{x}{2}-1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{3\tan \frac{x}{2}-1}{2\sqrt{2}}+C \))
Câu 3. Tìm các nguyên hàm dạng \( \int{{{\sin }^{m}}x{{\cos }^{n}}xdx}\,\,\,\left( m,n\in \mathbb{N} \right) \).
1) \( \int{{{\sin }^{3}}x{{\cos }^{5}}xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{8}{{\cos }^{8}}x-\frac{1}{6}{{\cos }^{6}}x+C \))
2) \( \int{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{4}}xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{16}\left( x-\frac{1}{4}\sin 4x+\frac{1}{3}{{\sin }^{2}}2x \right)+C \))
3) \( \int{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{6}}xdx} \) (Đs \( : \frac{1}{{{2}^{11}}}\sin 8x-\frac{1}{{{2}^{8}}}\sin 4x+\frac{1}{5\cdot {{2}^{6}}}{{\sin }^{5}}2x+\frac{3}{{{2}^{8}}}x+C \))
4) \( \int{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{2}}xdx} \) (Đs: \( \frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}-\frac{{{\sin }^{2}}2x}{48}+C \))
5) \( \int{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{5}}xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{5}{{\sin }^{5}}x-\frac{2}{7}{{\sin }^{7}}x+\frac{1}{9}{{\sin }^{9}}x+C \))
6) \( \int{{{\sin }^{6}}x{{\cos }^{3}}xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{7}{{\sin }^{7}}x-\frac{1}{9}{{\sin }^{9}}x+C \))
Câu 4. Tìm các nguyên hàm dạng \( \int{{{\sin }^{\alpha }}x{{\cos }^{\beta }}xdx}\,\,\,\,\,\left( \alpha ,\beta \in \mathbb{Q} \right) \).
1) \(\int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{\cos x\sqrt[3]{\cos x}}dx}\) (Gợi ý: Đặt \(t=\cos x\). Đs: \(\frac{3}{5}\cos x\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}+\frac{3}{\sqrt[3]{\cos x}}+C\))
2) \(\int{\frac{1}{\sqrt[3]{{{\sin }^{11}}x\cos x}}dx}\) (Gợi ý: Đặt \(t=\tan x\). Đs: \(-\frac{3\left( 1+4{{\tan }^{2}}x \right)}{8{{\tan }^{2}}x\cdot \sqrt[3]{{{\tan }^{2}}x}}+C\))
3) \( \int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx} \) (Đs: \( 3\sqrt[3]{\cos x}\left( \frac{1}{7}{{\cos }^{2}}x-1 \right)+C \))
4) \( \int{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}{{\sin }^{3}}xdx} \) (Đs: \( -\frac{3}{5}{{\cos }^{5/3}}x+\frac{3}{11}{{\cos }^{\frac{11}{3}}}x+C \))
5) \( \int{\frac{1}{\sqrt[4]{{{\sin }^{3}}x{{\cos }^{5}}x}}dx} \) (Đs: \( 4\sqrt[4]{\tan x}+C \))
6) \( \int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{\sqrt[5]{\cos x}}dx} \) (Đs: \( \frac{5}{14}{{\cos }^{\frac{14}{5}}}x-\frac{5}{4}{{\cos }^{\frac{4}{5}}}x+C \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
