Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.4.1. Bài tập về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể
I. Diện tích hình phẳng
1. Diện tích hình thang cong D giới hạn bởi đường cong \( \mathcal{L} \) có phương trình \( y=f(x),\,\,f(x)\ge 0,\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \) và các đường thẳng \( x=a,\,\,x=b \) và trục Ox được tính theo công thức: \( {{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.6) \)
Nếu \( f(x)\le 0,\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \) thì \( {{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\,\,\,\,\,(4.6*) \).
Nếu đáy hình thang cong nằm trên trục Oy thì \( {{S}_{D}}=\int\limits_{c}^{d}{g(y)dy},\,\,x=g(y),\,\,y\in \left[ c;d \right] \).
2. Nếu đường cong \( \mathcal{L} \)được cho bởi phương trình tham số \( x=\varphi (t),\,\,y=\psi (t),\,\,t\in \left[ \alpha ;\beta \right] \) thì \( {{S}_{D}}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\psi (t){\varphi }'(t)dt}\,\,\,\,\,(4.7) \)
3. Diện tích của hình quạt giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tọa độ cực \( \rho =f(\varphi ) \) và các tia \( \varphi ={{\varphi }_{0}} \) và \( \varphi ={{\varphi }_{1}} \) được tính theo công thức: \( {{S}_{Q}}=\frac{1}{2}\int\limits_{{{\varphi }_{0}}}^{{{\varphi }_{1}}}{{{\left[ f(\varphi ) \right]}^{2}}d\varphi }\,\,\,\,\,\,(4.8) \).
4. Nếu miền \( D=\left\{ \left( x,y \right):a\le x\le b;\,\,{{f}_{1}}(x)\le y\le {{f}_{2}}(x) \right\} \) thì \( {{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}_{2}}(x)-{{f}_{1}}(x) \right]dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.9) \)
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
II. Thể tích vật thể
1. Nếu biết được diện tích S(x) của thiết diện tạo nên bởi vật thể và mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì khi x thay đổi một đại lượng bằng dx thì vi phân của thể tích bằng \( dv=S(x)dx \) và thể tích toàn vật thể được tính theo công thức \( V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.10) \), trong đó \( \left[ a;b \right] \) là hình chiếu vuông góc của vật thể lên trục Ox.
2. Nếu vật thể được tạo nên do phép quay hình thang cong giới hạn bởi đường cong \( y=f(x),\,\,f(x)\ge 0,\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \), trục Ox và các đường thẳng \( x=a,\,\,x=b \) xung quanh trục Ox thì diện tích vật thể tròn xoay đó được tính theo công thức: \( {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left[ f(x) \right]}^{2}}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.11) \).
Nếu quay hình thang cong xung quanh trục Oy thì vật tròn xoay thu được có thể tích \( {{V}_{y}}=\pi \int\limits_{c}^{d}{{{\left[ x(y) \right]}^{2}}dy},\,\,x=x(y),\,\,\left[ a;d \right]=p{{r}_{Oy}}V\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4;12) \)
3. Nếu hàm \( y=f(x) \) được cho bởi các phương trình tham số \( \left\{ \begin{align} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ \end{align} \right.,\,\,\,t\in \left[ \alpha ,\beta \right] \) thõa mãn những điều kiện nào đó thì thể tích vật thể tạo nên bởi phép quay hình thang cong xung quanh trục Ox bằng
\( {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{\alpha }^{\beta }{{{y}^{2}}(t){x}'(t)dt}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.13) \)
4. Nếu hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong \( 0\le {{y}_{1}}(x)\le {{y}_{2}}(x),\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \), trong đó \( {{y}_{1}}(x) \) và \( {{y}_{2}}(x) \) liên tục trên \( \left[ a;b \right] \) thì thể tích vật thể tạo nên do phép quay hình thang đó xung quanh trục Ox bằng
\( {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{\left( {{y}_{2}}(x) \right)}^{2}}-{{\left( {{y}_{1}}(x) \right)}^{2}} \right]dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.14) \)
5. Đối với vật thể thu được bởi phép quay hình thang cong xung quanh trục Oy và thỏa mãn một số điều kiện tương tự ta có:
\({{V}_{y}}=\pi \int\limits_{\alpha }^{\beta }{{{x}^{2}}(t){y}'(t)dx}\,\,\,\,\,\,(4.15)\)
\( {{V}_{y}}=\pi \int\limits_{c}^{d}{\left[ {{\left( {{x}_{2}}(y) \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{1}}(y) \right)}^{2}} \right]dy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.16) \)
III. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi dường astroid \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức (4.7). Vì đường astroid đối xứng qua các trục tọa độ (hãy mua sách để được xem đầy đủ hình vẽ) nên
\( \begin{align} & S=4{{S}_{1}}=4\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{0}{a{{\sin }^{3}}t\cdot 3a{{\cos }^{2}}t\left( -\sin t \right)dt}=12{{a}^{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{4}}t{{\cos }^{2}}tdt}\\ & \,\,\,\,=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 1-\cos 2t \right)\left( 1-{{\cos }^{2}}2t \right)dt}=\frac{3\pi {{a}^{3}}}{8}. \\ \end{align} \)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Trên hyperbol \( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{a}^{2}} \) cho điểm \( M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right),\,\,{{x}_{0}}>,{{y}_{0}}>0 \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hypebol và tia OM.
Hướng dẫn giải:
Ta chuyển sang tọa độ cực theo công thức \( x=r\cos \varphi ,\,\,y=r\sin \varphi \). Khi đó phương trình hypebol có dạng
\( {{r}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{\cos }^{2}}\varphi -{{\sin }^{2}}\varphi }=\frac{{{a}^{2}}}{\cos 2\varphi } \).
Đặt \( \tan \alpha =\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}} và lưu ý rằng x_{0}^{2}-y_{0}^{2}={{a}^{2}} \) ta thu được
\( S=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\alpha }{{{r}^{2}}d\varphi }=\frac{{{a}^{2}}}{2}\int\limits_{0}^{\alpha }{\frac{1}{\cos 2\varphi }d\varphi }=\frac{{{a}^{2}}}{4}\ln \frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{{{a}^{2}}}{4}\ln \frac{{{\left( {{x}_{0}}+{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \frac{{{x}_{0}}+{{y}_{0}}}{a} \).
Ở đây ta đã sử dụng công thức: \( \int{\frac{1}{\cos t}dt}=\ln \left| \tan \left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right|+C \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bởi các đường có phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2y,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4x,\,\,y=x \) và \( y=-x \).
Hướng dẫn giải:
Đưa phương trình đường tròn về dạng chính tắc ta có: \( {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1 \) và \( {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 \). Đó là hai đường tròn tiếp xúc trong tại tiếp diêm O(0;0). Từ đó miềm phẳng D giới hạn bởi các đường đã cho đối xứng qua trục Oy.
Lời giải sẽ được đơn giản hơn nếu ta chuyển sang tọa độ cực (với trục cực trùng với hướng dương trục hoành):
\( \left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2y\Rightarrow r=2\sin \varphi \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4y\Rightarrow r=4\sin \varphi \\ \end{align} \right. \) và \( D=\left\{ \left( r,\varphi \right):\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{3\pi }{4};\,\,2\sin \varphi \le r\le 4\sin \varphi \right\} \).
Kí hiệu S* là diện tích phần hình tròn giới hạn bởi đường tròn \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4y \) (tức là \( r=4\sin \varphi \)) và hai tia \( \varphi =\frac{\pi }{4} \) và \( \varphi =\frac{3\pi }{4} \); S là diện tích phân hình tròn giới hạn bởi \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2y \) (tức là \( r=2\sin \varphi \) ) và hai tia đã nêu.
Khi đó: \( {{S}_{D}}=S*-S=2\left[ \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( 4\sin \varphi \right)}^{2}}d\varphi }-\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( 2\sin \varphi \right)}^{2}}d\varphi } \right]=12\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\varphi d\varphi }=\frac{3\pi }{2}+3 \).
Ví dụ 4. Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên do phép quay hình thang cong giới hạn bởi các đường \( y=\pm b,\,\,\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \) xung quanh trục Oy.
Hướng dẫn giải:
Do trục đối xứng của vật tròn xoay đối với mặt phẳng xOz (hãy mua sách để được xem đầy đủ hình vẽ) ta chỉ cần tính nửa bên phải mặt phẳng xOz là đủ.
Ta có: \( V=2{{V}_{1}}=2\pi \int\limits_{0}^{b}{{{x}^{2}}dy}=2\pi {{a}^{2}}\int\limits_{0}^{b}{\left( 1+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)dy}=2\pi {{a}^{2}}\left. \left( y+\frac{{{y}^{3}}}{3{{b}^{2}}} \right) \right|_{0}^{b}=\frac{8}{3}\pi {{a}^{2}}b \).
Ví dụ 5. Tính thể tích vật thể lập nên do quay astroid \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t,\,\,0\le t\le 2\pi \) xung quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải:
Đường astroid đối xứng với các trục Ox và Oy. Do đó:
\( {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{-a}^{a}{{{y}^{2}}dx}=2\pi \int\limits_{0}^{a}{{{y}^{2}}dx} \).
\( {{y}^{2}}={{a}^{2}}{{\sin }^{6}}t,\,\,dx=-3a{{\cos }^{2}}t\sin tdt \)
Đổi cận:
\( \begin{matrix} x & 0 & {} & a \\ t & \frac{\pi }{2} & {} & 0 \\\end{matrix} \)
Do đó:
\( \begin{align} & V=2\pi \int\limits_{0}^{a}{{{y}^{2}}dx}=-6{{a}^{3}}\pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{0}{{{\sin }^{6}}t{{\cos }^{2}}tdt}=6{{a}^{3}}\pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{0}{{{\left( 1-{{\cos }^{2}}t \right)}^{3}}{{\cos }^{2}}t\left( -\sin tdt \right)} \\ & \,\,\,\,\,=6{{a}^{3}}\pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{0}{\left( {{\cos }^{2}}t-3{{\cos }^{4}}t+3{{\cos }^{6}}t-{{\cos }^{8}}t \right)d\left( \cos t \right)}=…=\frac{32}{105}\pi {{a}^{3}}. \\ \end{align} \)
Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hyperboloid một tầng \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1 \) và các mặt phẳng \( z=0,\,\,z=h\,\,\left( h>0 \right) \).
Hướng dẫn giải:
Ta sẽ áp dụng công thức (4.10), trong đó ta xét các thiết diện tạo nên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Khi đó (4.10) có dạng \( V=\int\limits_{0}^{h}{S(z)dz} \), trong đó \( S(z) \) là diện tích của thiết diện phụ thuộc vào z. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng z=const ta thu được elip với phương trình:
\( \left. \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \\ & z=const \\ \end{align} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=1 \\ & z=const \\ \end{align} \right. \).
Từ đó suy ra: \( {{a}_{1}}=\sqrt{{{a}^{2}}\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)},\,\,{{b}_{1}}=\sqrt{{{b}^{2}}\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \) là các bán trục của elip. Nhưng ta biết rằng diện tích hình elip với bán trục \( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \) là \( \pi {{a}_{1}}{{b}_{1}} \) (có thể tính bằng công thức (4.7) đối với elip có phương trình tham số \( x={{a}_{1}}\cos t,\,\,y={{b}_{1}}\sin t,\,\,t\in \left[ 0;2\pi \right] \)).
Như vậy: \( S(z)=\pi ab\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right),\,\,z\in \left[ 0;h \right] \).
Từ đó theo công thức (4.10), ta có: \( V=\int\limits_{0}^{h}{\pi ab\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)dz}=\pi abh\left( 1+\frac{{{h}^{2}}}{3{{c}^{2}}} \right) \).
IV. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Câu 1. Hãy tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho dưới đây:
1) \( y=6x-{{x}^{2}}-7,\,\,y=x-3 \) (Đs: \( \frac{9}{2} \))
2) \( y=6x-{{x}^{2}},\,\,y=0 \) (Đs: 36)
3) \( 4y=8x-{{x}^{2}},\,\,4y=x+6 \) (Đs: \( \frac{125}{24} \))
4 \( y=4-{{x}^{2}},\,\,y={{x}^{2}}-2x \) (Đs: 9)
5) \( 6x={{y}^{3}}-16y,\,\,24x={{y}^{3}}-16y \) (Đs: 16)
6) \( y=1-{{e}^{x}},\,\,x=2,\,\,y=0 \) (Đs: \( {{e}^{2}}-3 \))
7) \( y={{x}^{2}}-6x+10,\,\,y=6x-{{x}^{2}},\,\,x=-1 \) (Đs: \( \frac{64}{3} \))
8) \( y=\arcsin x,\,\,y=\pm \frac{\pi }{2},\,\,x=0 \) (Đs: 2)
9) \( y={{e}^{x}},\,\,y={{e}^{-x}},\,\,x=1 \) (Đs: \( \frac{{{\left( e-1 \right)}^{2}}}{e} \))
10) \( {{y}^{2}}=2px,\,\,{{x}^{2}}=2py \) (Đs: \( \frac{4}{3{{p}^{2}}} \))
11) \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-2y+8=0,\,\,y={{x}^{2}}+6x+10 \) (Đs: \( {{S}_{1}}=\frac{3\pi +2}{6},\,\,{{S}_{2}}=\frac{9\pi -2}{6} \))
12) \( x=a\left( t-\sin t \right),\,\,y=a\left( 1-\cos t \right),\,\,t\in \left[ 0;2\pi \right] \) (Đây là phương trình tham số của dường xycloid. Đs: \( 3\pi {{a}^{2}} \))
13) \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t,\,\,t\in \left[ 0;2\pi \right] \) (Đs: \( \frac{3\pi {{a}^{2}}}{8} \))
14) \( x=a\cos t,\,\,y=b\sin t,\,\,t\in \left[ 0;2\pi \right] \) (Đs: \( \pi ab \))
15) Đường lemniscate Bernoulli \( {{\rho }^{2}}={{a}^{2}}\cos 2\varphi \) (Đs: \( {{a}^{2}} \))
16) Đường hình tim (Cacdioid) \( \rho =a\left( 1+\cos \varphi \right) \) (Đs: \( \frac{3\pi {{a}^{2}}}{2} \))
17) Các đường tròn \( \rho =2\sqrt{3}a\cos \varphi ,\,\,\rho =2a\sin \varphi \) (Đs: \( {{a}^{2}}\left( \frac{5}{6}\pi -\sqrt{3} \right) \))
Câu 2. Hãy tính thể tích vật thể theo diện tích các thiết diện song song.
1) Thể tích hình elipxoid: \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1 \) (Đs: \( \frac{4}{3}\pi abc \))
2) Thể tích vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}},\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{a}^{2}} \) (Đs: \( \frac{16}{3}{{a}^{3}} \))
(Gợi ý: Do trục đối xứng, chỉ cần tính thể tích một phần tám vật thể với \( x>0,\,\,y>0,\,\,z>0 \) là đủ. Có thể lấy các thiết diện song song với mặt phẳng xOy. Đó là các hình vuông).
3) Thể tích vật thể hình nón với bán kính đáy R và chiều cao h. (Đs: \( \frac{\pi {{R}^{2}}h}{3} \))
(Gợi ý: Dịch chuyển hình nón về vị trí với đỉnh tại gốc tọa độ và trục đối xứng là Ox. Thiết diện cần tìm là hình tròn với bán kính \( r(x)=\frac{R}{x} \)).
4) Thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt nón \( {{\left( z-2 \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{3}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \) và mặt phẳng \( z=0 \). (Đs: \( \frac{8\pi \sqrt{6}}{3} \))
5) Thể tích vật thể giới hạn bởi mặt trụ partabolic x=4-{{y}^{2}}, các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng x=a. (Đs: \( \frac{16a}{3} \))
Câu 3. Hãy tính thể tích vật tròn xoay thu được bởi phép quay hình phẳng D giới hạn bởi đường (các đường) cho trước xung quanh cho trước.
1) \( D:{{y}^{2}}=2px,\,\,x=a \); xung quanh trục Ox. (Đs: \( \pi p{{a}^{2}} \))
2) \( D:\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}\le 1\,\,\left( b>a \right) \) xung quanh trục Oy. (Đs: \( \frac{4\pi }{3}{{a}^{2}}b \))
3) \( D:\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}\le 1\,\,\left( b<a \right) \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{4\pi }{3}a{{b}^{2}} \))
4) \( D:2y={{x}^{2}};\,\,2x+2y-3=0 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{272\pi }{15} \))
5) \( D:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,\,\,x+y=1 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{\pi }{3} \)).
6) \( D:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4,\,\,x=-1,\,\,x=1,\,\,y>0 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( 8\pi \) )
7) \( D:y=\sin x,\,\,0\le x\le \pi ,\,\,y=0 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{{{\pi }^{2}}}{2} \))
8) \( D:\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,y=0,\,\,y=b \) xung quanh trục Oy. (Đs: \( \frac{4}{3}\pi {{a}^{2}}b \))
9) \( D:{{y}^{2}}+x-4=0,\,x=0 \) xung quanh trục Oy. (Đs: \( \frac{512}{15}\pi \))
10) \( D:xy=4,\,\,y=0,\,\,x=1,\,\,x=4 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( 12\pi \) )
11) \( D:{{x}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}\,\,\left( 0<R\le b \right) \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( 2{{\pi }^{2}}b{{R}^{2}} \))
(Gợi ý: Hình tròn D có thể xem như hiệu của hai thang cong \( {{D}_{1}}=\left\{ \left( x,y \right):-R\le x\le R,\,-\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\le y\le 0 \right\} \) và \( {{D}_{2}}=\left\{ \left( x,y \right):-R\le x\le R,\,\,0\le y\le +\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \right\} \))
12) \(D:\left\{ \left( x,y \right):0\le y\le \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \right\}\) xung quanh đường thẳng \(y=R\). (Đs: \( \frac{3\pi -4}{3}\pi {{R}^{3}} \))
(Gợi ý: Chuyển gốc tọa độ về điểm \( \left( 0,R \right) \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
