Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.4.2. Bài tập về Tính độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay
1. Nếu đường cong \( \mathcal{L}\left( A,B \right) \) được cho bởi phương trình \( y=y(x),\,\,x\in \left[ a,b \right] \) (hay \( x=g(y) \)) hoặc bởi các phương trình tham số \( x=\varphi (t),\,\,y=\psi (t) \) thì vi phân độ dài cung được biểu diễn bởi công thức
\( d=\sqrt{1+{{\left( {{{{y}’}}_{x}} \right)}^{2}}}dx=\sqrt{1+{{\left( {{{{x}’}}_{y}} \right)}^{2}}}dy=\sqrt{{{{{x}’}}_{t}}+{{{{y}’}}_{t}}}dt\,\,\,\,\,\,\,(4.17) \) và độ dài của đường cong \( \mathcal{L}\left( A,B \right) \) được tính bởi công thức
\( \ell \left( A,B \right)=\int\limits_{{{x}_{A}}=a}^{{{x}_{B}}=b}{\sqrt{1+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{{y}_{B}}}^{{{y}_{B}}}{\sqrt{1+{{\left( {{{{x}’}}_{y}} \right)}^{2}}}dy}=\int\limits_{{{t}_{A}}}^{{{t}_{B}}}{\sqrt{{x}’_{t}^{2}+{y}’_{t}^{2}}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.18) \)
Nếu đường cong được cho bởi phương trình trong tọa độ cực \( \rho =\rho (\varphi ) \) thì \( d\ell =\sqrt{{{\rho }^{2}}+{{\left( {{{{\rho }’}}_{\varphi }} \right)}^{2}}}d\varphi \) và \( \ell \left( A,B \right)=\int\limits_{{{\varphi }_{A}}}^{{{\varphi }_{B}}}{\sqrt{{{\rho }^{2}}+{{\left( {{{{\rho }’}}_{\varphi }} \right)}^{2}}}d\varphi }\,\,\,\,\,\,\,\,(4.19) \)
2. Nếu mặt \( \sigma \) thu được do quay đường cong cho trên \( \left[ a,b \right] \) bởi hàm không âm \( y=f(x)\ge 0 \) xung quanh trục Ox thì vi phân diện tích mặt \( ds=2\pi \cdot \frac{y+\left( y+dy \right)}{2}d\ell =\pi \left( 2y+dy \right)d\ell \approx 2\pi yd\ell \) và diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức \( {{S}_{x}}=2\pi \int\limits_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+{{\left( {{{{f}’}}_{x}} \right)}^{2}}}dx}\,\,\,\,\,\,(4.20) \)
Nếu quay đường cong \( \mathcal{L}\left( A,B \right) \) xung quanh trục Oy thì \( ds\approx 2\pi x(y)d\el \)l và \( {{S}_{y}}=2\pi \int\limits_{{{y}_{A}}}^{{{y}_{B}}}{x(y)\sqrt{1+{{\left( {{{{x}’}}_{y}} \right)}^{2}}}dy}\,\,\,\,\,\,\,(4.21) \)
Nếu đường cong \( \mathcal{L}\left( A,B \right) \) được cho bởi phương trình tham số \( x=\varphi (t),\,\,y=\psi (t)\ge 0\,\,\left( t\in \left[ \alpha ,\beta \right] \right) \) thì
\( {{S}_{x}}=2\pi \int\limits_{\alpha }^{\beta }{\psi (t)\sqrt{{{{{\varphi }’}}^{2}}+{{{{\psi }’}}^{2}}}dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.22) \)
Tương tự, ta có: \({{S}_{y}}=2\pi \int\limits_{\alpha }^{\beta }{\varphi (t)\sqrt{{{{{\varphi }’}}^{2}}+{{{{\psi }’}}^{2}}}dt},\,\,\varphi (t)\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,(4.23)\)
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
I. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tính độ dài đường tròn bán kính R.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Ta có thể xem đường tròn đã cho có tâm tại gốc tọa độ. Phương trình đường tròn dưới dạng tham số có dạng \( x=R\cos t,\,\,y=R\sin t,\,\,t\in \left[ 0,2\pi \right] \).
Ta chỉ cần tính độ dài của một phần tư đường tròn ứng với 0\le t\le \frac{\pi }{2} là đủ.
Theo công thức (4.18), ta có: \( \ell =4\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{{{\left( -R\sin t \right)}^{2}}+{{\left( R\cos t \right)}^{2}}}dt}=\left. 4Rt \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=2\pi R \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tính độ dài của vòng thứ nhất của đường xoắn ốc Archimedes \( \rho =a\varphi \).
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa, đường xoắn ốc Archimedes là đường cong phẳng vạch nên bởi một điểm chuyển động đều theo một tia xuất phát từ gốc-cực mà tia này lại quay xung quanh gốc-cực với vận tốc góc cố định. Vòng thứ nhất của đường xoắn ốc Archimedes được tạo nên khi góc cực \( \varphi \) biến thiên từ 0 đến \( 2\p \)i . Do đó theo công thức (4.19), ta có:
\( \ell =\int\limits_{0}^{2\pi }{\sqrt{{{a}^{2}}{{\varphi }^{2}}+{{a}^{2}}}d\varphi }=a\int\limits_{0}^{2\pi }{\sqrt{{{\varphi }^{2}}+1}d\varphi } \).
Tích phân từng phần bằng cách đặt \( u=\sqrt{{{\varphi }^{2}}+1},\,\,dv=d\varph \)i , ta có:
\( \begin{align} & \ell =\left. a\left[ \varphi \sqrt{{{\varphi }^{2}}+1} \right] \right|_{0}^{2\pi }-\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{\varphi }^{2}}}{\sqrt{{{\varphi }^{2}}+1}}d\varphi }=\left. a\left[ \frac{1}{2}\varphi \sqrt{{{\varphi }^{2}}+1}+\frac{1}{2}\ln \left( \varphi +\sqrt{{{\varphi }^{2}}+1} \right) \right] \right|_{0}^{2\pi } \\ & \,\,\,\,=a\left[ \pi \sqrt{4{{\pi }^{2}}+1}+\frac{1}{2}\left( 2\pi +\sqrt{4{{\pi }^{2}}+1} \right) \right]. \\ \end{align} \)
Ví dụ 3. Tính diện tích mặt cầu bán kính R.
Hướng dẫn giải:
Có thể xem mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và thu được bởi phép quay nửa đường tròn \( y=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \) xung quanh trục Ox.
Phương trình đường tròn có dạng \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} \). Do đó, \( {y}’=-\frac{x}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}} \).
Theo công thức (4.20), ta có:
\( {{S}_{x}}=2\pi \int\limits_{-R}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\cdot \sqrt{1+\frac{{{x}^{2}}}{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=2\pi \int\limits_{-R}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}dx}=\left. 2\pi Rx \right|_{-R}^{R}=4\pi {{R}^{2}} \).
Ví dụ 4. Tính diện tích mặt tạo nên bởi phép quay đường lemniscat \( \rho =a\sqrt{\cos 2\varphi } \) xung quanh trục cực.
Hướng dẫn giải:
Biến \rho chỉ nhận giá trị thực khi \( \cos 2\varphi \ge 0 \) tức là khi \( -\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{\pi }{4} \) (nhánh bên phải) hay khi \( \frac{3\pi }{4}\le \varphi \le \frac{5\pi }{4} \) (nhánh bên trái). Vi phân cung của lemniscat bằng
\( d\ell =\sqrt{{{\rho }^{2}}+{{{{\rho }’}}^{2}}}d\varphi =\sqrt{{{a}^{2}}\cos 2\varphi +{{\left( -\frac{a\sin 2\varphi }{\sqrt{\cos 2\varphi }} \right)}^{2}}}d\varphi =\frac{ad\varphi }{\sqrt{\cos 2\varphi }} \).
Ngoài ra, \( y=\rho \sin \varphi =a\sqrt{\cos 2\varphi }\cdot \sin \varphi \) . Từ đó diện tích cần tìm bằng hai lần diện tích của mặt thu được bởi phép quay nhánh phải.
Do đó theo (4.20): \( S=2\cdot 2\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{yds}=4\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{a\sqrt{\cos 2\varphi }\cdot \sin \varphi }{\sqrt{\cos 2\varphi }}\cdot ad\varphi }=4\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{a}^{2}}\sin \varphi d\varphi }=2\pi {{a}^{2}}\left( 2-\sqrt{2} \right) \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 5. Tìm diện tích mặt tạo nên bởi phép quay cung parabol \( y=\frac{{{x}^{2}}}{2},\,\,0\le x\le \sqrt{3} \) xung quanh trục Oy.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( x=\sqrt{2y},\,\,{x}’=\frac{1}{\sqrt{2y}} \). Do đó, áp dụng công thức (4.18), ta thu được:
\( S=2\pi \int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{\sqrt{2y}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{2y}}dy}=2\pi \int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{\sqrt{2y+1}dy}=2\pi \cdot \left. \frac{{{\left( 2y+1 \right)}^{3/2}}}{3} \right|_{0}^{3/2}=\frac{14\pi }{3} \).
Ví dụ 6. Tìm diện tích mặt tạo nên bởi phép quay elip \( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=26 \) xung quanh:
a) Trục Ox.
b) Trục Oy.
Hướng dẫn giải:
Nửa trên của elip đã cho có thể xem như đồ thị của hàm \( y=\frac{1}{2}\sqrt{36-{{x}^{2}}};\,\,-6\le x\le 6 \).
Hàm này không có đạo hàm khi \( x=\pm 6 \) còn trên khoảng \( \left( -6;6 \right) \) đạo hàm không bị chặn.
Do vậy không thể tính bằng công thức (4.20) trong tọa độ Descartes được.
Để khắc phục khó khăn đó, ta dùng phép tham số m hóa đường elip:
\( x=6\cos t,\,\,y=3\sin t,\,\,0\le t\le 2\pi \) .
+ Phép quay xung quanh trục Ox. Ta xét nửa trên của elip tương ứng với 0\le t\le \pi .
Theo công thức (4.22) dưới dạng tham số ta có:
\( {{S}_{x}}=2\pi \int\limits_{0}^{\pi }{3\sin t\cdot \sqrt{36{{\sin }^{2}}t+9{{\cos }^{2}}t}dt} \).
Đặt \( \cos t=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \varphi \) ta có: \( {{S}_{x}}=24\sqrt{3}\pi \int\limits_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\cos }^{2}}\varphi d\varphi }=2\sqrt{3}\pi \left( 4\pi +3\sqrt{3} \right) \).
+ Phép quay xung quanh trục Oy. Ta xét nửa bên phải của elip (tương ứng với \( t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] \)). Tương tự như trên ta áp dụng (4.23) và thu được:
\( {{S}_{y}}=2\pi \int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{6\cos t\sqrt{36{{\sin }^{2}}t+9{{\cos }^{2}}t}dt} (Đặt \sin t=\frac{1}{\sqrt{3}}sh\varphi \) )
\( =24\sqrt{3}\pi \int\limits_{-arcsh\sqrt{3}}^{arcsh\sqrt{3}}{c{{h}^{2}}\varphi d\varphi }=24\sqrt{3}\pi \left( 2\sqrt{3}+\ln \left( 2+\sqrt{3} \right) \right) \).
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Tính độ dài cung của đường cong
1) \( y={{x}^{3/2}} \) từ \( x=0 \) đến \( x=4 \). (Đs: \( \frac{8}{27}\left( 10\sqrt{10}-1 \right) \))
2) y={{x}^{2}}-1 từ x=-1 đến x=1. (Đs: \sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln \left( 2+\sqrt{5} \right))
3) \( y=\frac{a}{2}\left( {{e}^{\frac{x}{a}}}+{{e}^{-\frac{x}{a}}} \right) \) từ \( x=0 \) đến \( x=a \). (Đs: \( \frac{a\left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2e} \))
4) \( y=\ln \cos x \) từ x=0 đến \( x=\frac{\pi }{6} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\ln 3 \))
5) \( y=\ln \sin x \) từ \( x=\frac{\pi }{3} \) đến \( x=\frac{2\pi }{3} \) (Đs: \( \ln 3 \))
6) \( x={{e}^{t}}\sin t,\,\,y={{e}^{t}}\cos t,\,\,0\le t\le \frac{\pi }{2} \). (Đs: \( \sqrt{2}\left( {{e}^{\pi /2}}-1 \right) \))
7) \( x=a\left( t-\sin t \right),\,\,y=a\left( 1-\cos t \right),\,\,0\le t\le 2\pi \) (Đs: 8a)
8) \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t,\,\,0\le t\le 2\pi \) (Đs: 6a)
Gợi ý: Vì \( \sqrt{{x}’_{t}^{2}+{y}’_{t}^{2}}=\frac{3a}{1}\left| \sin 2t \right| \) và hàm \( \left| \sin 2t \right| \) có chu kỳ \( \frac{\pi }{2} \) nên \( \ell =4\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{d\ell } \).
9) \( x={{e}^{t}}\cos t,\,\,y={{e}^{t}}\sin t \) từ \( t=0 \) đến \( t=\ln \pi \). (Đs: \( \sqrt{2}\left( \pi -1 \right) \))
10) \( x=8\sin t+6\cos t,\,\,y=6\sin t-8\cos t \) từ \( t=0 \) đến \( t=\frac{\pi }{2} \) (Đs: \( 5\pi \))
11) \( \rho =a{{e}^{k\theta }} \) (đường xoắn ốc loga) từ \( \theta =0 \) đến \( \theta =T \). (Đs: \( \frac{a}{k}\sqrt{1+{{k}^{2}}}\left( {{e}^{kT}}-1 \right) \))
12) \( \rho =a\left( 1-\cos \varphi \right),\,\,a>0,\,\,0\le \varphi \le 2\pi \) (đường hình tim). (Đs: 8a)
13) \( \rho \varphi =1 \) từ điểm \( A\left( 2;\frac{1}{2} \right) \) đến điểm \( B\left( \frac{1}{2};2 \right) \) – đường xoắn ốc hyperbol. (Đs: \( \frac{\sqrt{5}}{2}+\ln \frac{3+\sqrt{5}}{2} \)).
Tính diện tích các mặt tròn xoay thu được khi quay cung đường cong hay đường cong xung quanh cho trước.
14) Cung của đường \( y={{x}^{3}} \) từ \( x=-\frac{2}{3} \) đến \( x=\frac{2}{3} \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{2\pi }{27}\left( \frac{125}{27}-1 \right) \))
15) Đường \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{12}{5}\pi {{a}^{2}} \))
16) \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,a>b \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( 2\pi b\left( b+\frac{a}{\varepsilon }\sin \varepsilon \right),\,\,\varepsilon \) là tâm sai của elip)
Gợi ý: Đạo hàm hai vế phương trình elip rồi rút ra \( y{y}’=-\frac{b{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \), còn biểu thức dưới dấu tích phân được viết \( y\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}}dx=\sqrt{{{y}^{2}}+{{\left( y{y}’ \right)}^{2}}}dx \).
17) Cung đường tròn \( {{x}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=R \) (không cắt trục Oy) từ \( {{y}_{1}} \) đến \( {{y}_{2}} \) xung quanh trục Oy. (Đs: \( 2\pi R\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right) \)).
Gợi ý: Mặt thu được là đới cầu.
18) \( y=\sin x \) từ \( x=0 \) đến \( x=\pi \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( 2\pi \left[ \sqrt{2}+\ln \left( 1+\sqrt{2} \right) \right] \))
19) \( y=\frac{{{x}^{3}}}{3} \) từ \( x=-2 \) đến \( x=2 \) xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{34\sqrt{17}-2}{9}\pi \))
20) Cung bên trái đường thẳng \( x=2 \) của đường cong \( {{y}^{2}}=4+x \), xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{62\pi }{3} \))
21) \( y=\frac{a}{2}\left( {{e}^{x/a}}+{{e}^{-x/a}} \right) \) đến \( x=0 \) đến \( x=a\,\,\left( a>0 \right) \). (Đs: \( \frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( {{e}^{2}}+4-{{e}^{-2}} \right) \))
22) \( {{y}^{2}}=4x \) từ \( x=0 \) đến \( x=3 \), xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{56\pi }{3} \))
23) \( x={{e}^{t}}\sin t,\,\,y={{e}^{t}}\cos t \) từ \( t=0 \) đến \( t=\frac{\pi }{2} \), xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{2\pi \sqrt{2}}{5}\left( {{e}^{\pi }}-2 \right) \)).
24) \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y=a{{\sin }^{3}}t,\,\,0\le t\le 2\pi \) , quay xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{12}{5}\pi {{a}^{2}} \))
Gợi ý: Vì đường cong có trục đối xứng qua các trục tọa độ nên chỉ cần tính diện tích tạo nên bởi một phần tư đường thuộc góc I quay xung quanh trục Ox.
25) \( x=t-\sin t,\,\,y=1-\cos t \) (diện tích được tạo thành khi quay một cung); xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{64\pi }{3} \))
26) \( y=\sin 2x \) từ \( x=0 \) đến \( x=\frac{\pi }{2} \); xung quanh trục Ox. (Đs: \( \frac{\pi }{2}\left[ 2\sqrt{5}+\ln \left( \sqrt{5}+2 \right) \right] \))
27) \( 3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=12 \), xung quanh trục Oy. (Đs: \( 2\pi \left( 4+3\ln 3 \right) \))
28) \( {{x}^{2}}=y+4,\,\,y=2 \), xung quanh trục Oy. (Đs: \( \frac{62\pi }{3} \))
29) Cung của đường tròn \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\,\,\left( y>0 \right) \) giữa hai điểm có hoành độ \( x=-1 \) và \( x=1 \), xung quanh trục Ox. (Đs: \( 8\pi \))
30) Đường hình tim (cacdiod) \( \rho =a\left( 1+\cos \varphi \right) \), quay xung quanh trục cực. (Đs: \( \frac{32\pi {{a}^{2}}}{5} \))
31) Đường tròn \( \rho =2r\sin \varphi \), quay xung quanh trục cực. (Đs: \( 4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}} \))
32) Cung \( \overset\frown{AB} \) của đường xicloid \( x=a\left( t-\sin t \right),\,\,y=a\left( 1-\cos t \right) \) quay xung quanh đường thẳng \( y=a \). (Đs: \( 16\sqrt{2}\cdot \frac{\pi {{a}^{2}}}{3} \))
Gợi ý: Áp dụng công thức \(S=2\pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{3\pi }{2\left( y(t)-a \right)\sqrt{{x}’_{t}^{2}+{y}’_{t}^{2}}dt}\).
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
