Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Định lí 1: Nếu  \( \varphi :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C¹ trên  \( [\alpha ,\beta ] \),  \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C⁰ trên  \( [a,b] \) và  \( \varphi ([\alpha ,\beta ])\subset [a,b] \). Khi đó:  \( \int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(\varphi (t))\cdot {\varphi }'(t)dt}=\int\limits_{\varphi (\alpha )}^{\varphi (\beta )}{f(x)dx} \).

+ Định lí 2: Nếu  \( \varphi :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R} \) với  \( \varphi  \) đơn điệu và thuộc lớp C¹ trên  \( [\alpha ,\beta ] \),  \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C⁰ trên  \( [a,b] \) với  \( t=\varphi (x) \) mà  \( f(x)dx=g(t)dt,\,\,g(t)\in {{C}^{0}} \) trên  \( [\varphi (a),\varphi (b)] \). Khi đó: \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{g(t)dt}\).