Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.2.1. Bài tập về phương pháp đổi biến
4.2.1. Phép đổi biến
+ Định lí 1: Nếu \( \varphi :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C1 trên \( [\alpha ,\beta ] \), \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C0 trên \( [a,b] \) và \( \varphi ([\alpha ,\beta ])\subset [a,b] \). Khi đó: \( \int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(\varphi (t))\cdot {\varphi }'(t)dt}=\int\limits_{\varphi (\alpha )}^{\varphi (\beta )}{f(x)dx} \).
+ Định lí 2: Nếu \( \varphi :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R} \) với \( \varphi \) đơn điệu và thuộc lớp C1 trên \( [\alpha ,\beta ] \), \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) thuộc lớp C0 trên \( [a,b] \) với \( t=\varphi (x) \) mà \( f(x)dx=g(t)dt,\,\,g(t)\in {{C}^{0}} \) trên \( [\varphi (a),\varphi (b)] \). Khi đó: \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\varphi (a)}^{\varphi (b)}{g(t)dt}\).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
II. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tìm \( \int{\frac{1}{\cos x}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \int{\frac{1}{\cos x}dx=\int{\frac{\cos x}{1-{{\sin }^{2}}x}dx}} \) (Đặt \( t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx \))
\( =\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+C=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right|+C \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tính \( I=\int{\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{8}}-2}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( I=\int{\frac{\frac{1}{4}}{{{x}^{8}}-2}d\left( {{x}^{4}} \right)}=\int{\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-2\left[ 1-{{\left( \frac{{{x}^{4}}}{\sqrt{2}} \right)}^{2}} \right]}d\left( \frac{{{x}^{4}}}{\sqrt{2}} \right)} \).
Đặt \( t=\frac{{{x}^{4}}}{\sqrt{2}} \), ta thu được \( I=-\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{\sqrt{2}+{{x}^{4}}}{\sqrt{2}-{{x}^{4}}} \right|+C \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Tìm \( I=\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( x=a\tan t\Rightarrow dx=\frac{a}{{{\cos }^{2}}t}dt \).
Do đó: \( I=\int{\frac{{{a}^{3}}{{\tan }^{2}}t\cdot {{\cos }^{3}}t}{{{a}^{3}}{{\cos }^{2}}t}dt}=\int{\frac{{{\sin }^{2}}t}{\cos t}dt}=\int{\left( \frac{1}{\cos t}-\cos t \right)dx}=\ln \left| \tan \left( \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \right|-\sin t+C \).
Vì \( t=\arctan \frac{x}{a} \) nên \( I=\ln \left| \tan \left( \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{a}+\frac{\pi }{4} \right) \right|-\sin \left( \arctan \frac{x}{a} \right)+C=-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}+\ln \left| {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right|+C \).
Thật vậy, vì \( \sin \alpha =\cos \alpha \cdot \tan \alpha \) nên dễ dàng thấy rằng \( \sin \left( \arctan \frac{x}{a} \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}} \).
Tiếp theo ta có: \( \frac{\sin \left( \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{a}+\frac{\pi }{4} \right)}{\cos \left( \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{a}+\frac{\pi }{4} \right)}=\frac{1-\cos \left( \arctan \frac{x}{a}+\frac{\pi }{2} \right)}{\sin \left( \arctan \frac{x}{a}+\frac{\pi }{2} \right)}=\frac{1+\sin \left( \arctan \frac{x}{a} \right)}{-\cos \left( \arctan \frac{x}{a} \right)}=\frac{x+\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{a} \) và từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Tính
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{6}}-7{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}}dx} \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{3x+4}{\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-8}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( \begin{align} & {{I}_{1}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{6}}-7{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}}dx}=\int{\frac{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-7+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}-5}}d\left( x-\frac{1}{x} \right)},\,\,\,\,\,\left( \because t=x-\frac{1}{x} \right) \\ & \,\,\,\,\,=\int{\frac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}-5}}dt}=\ln \left| t+\sqrt{{{t}^{2}}-5} \right|+C=\ln \left| x-\frac{1}{x}+\sqrt{{{x}^{2}}-7+\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right|+C \\ \end{align} \)
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{3x+4}{\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-8}}dx} \).
Ta viết biểu thức \( \frac{3x+4}{\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-8}}=-\frac{3}{2}\cdot \frac{-2x+6}{\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-8}}+13\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x-8}} \) và thu được
\( \begin{align} & {{I}_{2}}=-\frac{3}{2}\int{{{\left( -{{x}^{2}}+6x-8 \right)}^{-\frac{1}{2}}}d\left( -{{x}^{2}}+6x-8 \right)}+13\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( x-3 \right)}^{2}}}}d(x-3)} \\ & \,\,\,\,\,=-3\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-8}+13\arcsin \left( x-3 \right)+C \\ \end{align} \)
Ví dụ 5. Tính
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{\sin x}dx} \)
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{\sin x{{\cos }^{3}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{\sin x}dx} \)
+ Cách 1: \( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{\sin x}dx}=\int{\frac{\sin x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x-1}d(\cos x)}=\frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C \).
+ Cách 2:
\( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{\sin x}dx}=\int{\frac{1}{\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}d\left( \frac{x}{2} \right)}=\int{\frac{1}{\tan \frac{x}{2}\cdot {{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}d\left( \frac{x}{2} \right)}=\int{\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\left( \tan \frac{x}{2} \right)}=\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+C \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{\sin x{{\cos }^{3}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\frac{\sin x\cos x\left[ \left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)-1 \right]}{1+{{\cos }^{2}}x}dx} \).
Đặt \( t=1+{{\cos }^{2}}x\Rightarrow dt=-2\cos x\sin xdx \).
Do đó: \( {{I}_{2}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{t-1}{t}dt}=-\frac{t}{2}+\ln \left| t \right|+C=-\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{2}+\ln \left( 1+{{\cos }^{2}}x \right)+C \).
Ví dụ 6. Tính
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2x}}+5}}dx} \)
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}dx} \).
Hướng dẫn giải:
1) \( {{I}_{1}}=\int{\frac{{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2x}}+5}}dx} \)
Đặt t={{e}^{x}}\Rightarrow {{e}^{x}}dx=dt. Khi đó:
\( {{I}_{1}}=\int{\frac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}+5}}dt}=\ln \left| t+\sqrt{{{t}^{2}}+5} \right|+C=\ln \left| {{e}^{x}}+\sqrt{{{e}^{2x}}+5} \right|+C \).
2) \( {{I}_{2}}=\int{\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}dx} \).
Đặt \( t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t} \). Khi đó:
\( \begin{align}& {{I}_{2}}=\int{\frac{t+1}{t-1}\cdot \frac{dt}{t}}=\int{\frac{2}{t-1}dt}-\int{\frac{1}{t}dt}=2\ln \left| t-1 \right|-\ln \left| t \right|+C=2\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|-\ln {{e}^{x}}+C \\ & \,\,\,\,\,=\ln {{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}-x+C. \\ \end{align} \)
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải
Tìm các nguyên hàm sau:
1) \( \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt[4]{{{e}^{x}}+1}}dx} \) (gợi ý: Đặt \( {{t}^{4}}={{e}^{x}}+1, Đs: \frac{4}{21}\left( 3{{e}^{x}}-4 \right)\sqrt[4]{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}}+C \))
2) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx} \) (Đs: \( \ln \left| \frac{\sqrt{1+{{e}^{x}}}-1}{\sqrt{1+{{e}^{x}}}+1} \right|+C \))
3) \( \int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}\sqrt{{{\left( 1+\ln x \right)}^{3}}}+C \))
4) \( \int{\frac{{{e}^{2x}}}{{{e}^{x}}-1}dx} \) (Đs: \( {{e}^{x}}+\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C \))
5) \( \int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x\ln x}dx} \) (Đs: \( 2\sqrt{1+\ln x}-\ln \left| \ln x \right|+2\ln \left| \sqrt{1+\ln x}-1 \right|+C \))
6) \( \int{\frac{1}{{{e}^{\frac{x}{2}}}+{{e}^{x}}}dx} \) (Đs: \( -x-2{{e}^{-\frac{x}{2}}}+2\ln \left( 1+{{e}^{\frac{x}{2}}} \right)+C \))
7) \( \int{\frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot \frac{dx}{1+x}} \) (Đs: \( {{\left( \arctan \sqrt{x} \right)}^{2}}+C \))
8) \( \int{\sqrt{{{e}^{3x}}+{{e}^{2x}}}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3/2}}+C \))
9) \( \int{{{e}^{2{{x}^{2}}+2x-1}}\left( 2x+1 \right)dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}{{e}^{2{{x}^{2}}+2x-1}}+C \))
10) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}dx} \) (Đs: \( 2\arctan \sqrt{{{e}^{x}}-1}+C \))
11) \( \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{4x}}+1}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\ln \left( {{e}^{2x}}+\sqrt{{{e}^{4x}}+1} \right)+C \))
12) \( \int{\frac{{{2}^{x}}}{\sqrt{1-{{4}^{x}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{\arcsin {{2}^{x}}}{\ln 2}+C \))
13) \( \int{\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( {{t}^{2}}=x+1 \). Đs: \( 2\left[ \sqrt{x+1}-\ln \left( 1+\sqrt{x+1} \right) \right]+C \))
14) \( \int{\frac{x+1}{x\sqrt{x-2}}dx} \) (Đs: \( 2\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\arctan \sqrt{\frac{x-2}{2}}+C \))
15) \( \int{\frac{1}{\sqrt{ax+b}+m}dx} \) (Đs: \( \frac{2}{a}\left[ \sqrt{ax+b}-m\ln \left| \sqrt{ax+b}+m \right| \right]+C \))
16) \( \int{\frac{1}{\sqrt[3]{x}\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)}dx} \) (Đs: \( 3\sqrt[3]{x}+3\ln \left| \sqrt[3]{x}-1 \right|+C \))
17) \( \int{\frac{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3/2}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=\sin t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \). Đs: \( \tan \left( \arcsin x \right)+C \))
18) \( \int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3/2}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \). Đs: \( \frac{1}{{{a}^{2}}}\sin \left( \arctan \frac{x}{a} \right)+C \))
19) \( \int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{3/2}}}dx} \) (Gợi ý: đặt \( x=\frac{1}{\sin t},\,\,-\frac{\pi }{2}<t<0,\,\,0<t<\frac{\pi }{2} \). Đs: \( -\frac{1}{\cos t}+C,\,\,t=\arcsin \frac{1}{x} \))
20) \( \int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=a\sin t \). Đs: \( \frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}+C \))
21) \( \int{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right|+C \))
22) \( \int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2}\left[ x\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}-{{a}^{2}}\ln \left( x+\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right) \right]+C \))
23) \(\int{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}\) (Gợi ý: \(x=\frac{1}{t}or\,\,x=a\tan t\). Đs: \(-\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C\))
24) \( \int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx} \) (Gợi ý: \( x=a\sin t \). Đs: \( \frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}-\frac{x}{a}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C \))
25) \( \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=\frac{1}{t}\,\,or\,\,x=\frac{a}{\cos t} \). Đs: \( -\frac{1}{a}\arcsin \frac{a}{x}+C \))
26) \( \int{\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{x}-\arcsin x+C \))
27) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}+C \))
28) \( \int{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-9}}dx} \) (Đs: \( \frac{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}{9x}+C \))
29) \( \int{\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{3}}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}+C \))
30) \( \int{{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{x}{4}{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{3/2}}+\frac{{{a}^{2}}}{8}x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}}{8}\arcsin \frac{x}{a}+C \))
31) \( \int{\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=a\cos 2t \). Đs: \( -\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\arcsin \frac{x}{a}+C \))
32) \( \int{\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}dx} \) (Gội ý: Đặt \( x=\frac{a}{\cos 2t} \). Đs: \( \left\{ \begin{align} & \sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}-2a\ln \left( \sqrt{x-a}+\sqrt{x+a} \right)\,\,\,khi\,\,x>a \\ & -\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+2a\ln \left( \sqrt{-x+a}+\sqrt{-x-a} \right)\,\,\,khi\,\,x<-a \\ \end{align} \right. \))
33) \( \int{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}\cdot }\frac{dx}{{{x}^{2}}}} \) (Gợi ý: Đặt \( x=\frac{1}{t} \). Đs: \( \arccos \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}+C \))
34) \( \int{\frac{1}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x={{\sin }^{2}}t \). Đs: \( 2\arcsin \sqrt{x}+C \))
35) \( \int{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}dx} \) (Đs: \( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\ln \left| \frac{1+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x} \right|+C \))
36) \( \int{\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{{{x}^{2}}}{3}\sqrt{2-{{x}^{2}}}-\frac{4}{3}\sqrt{2-{{x}^{2}}}+C \))
37) \( \int{\frac{\sqrt{{{\left( 9-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}{{{x}^{6}}}dx} \) (Đs: \( -\frac{\sqrt{{{\left( 9-{{x}^{2}} \right)}^{5}}}}{45{{x}^{5}}}+C \))
38) \(\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}dx}\) (Đs: \(\frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right|+C\))
39) \( \int{\frac{x+1}{x\left( 1+x{{e}^{x}} \right)}dx} \)(Gợi ý: Nhân tử số và mẫu số với \( {{e}^{x}} \) rồi đặt \( t=x{{e}^{x}} \). Đs: \( \ln \left| \frac{x{{e}^{x}}}{1+x{{e}^{x}}} \right|+C \))
40) \( \int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=a\tan t \). Đs: \( \frac{1}{2{{a}^{3}}}\left( \arctan \frac{x}{a}+\frac{ax}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)+C \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
