Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định
4.4.1. Tính diện tích hình phẳng
+ Miền phẳng đạo hàm bởi các đường cong trong tọa độ Descartes
Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường: \( x=a,\,\,x=b,\,\,(a<b),\,\,y=f(x),\,\,y=g(x) \), trong đó \( f(x),g(x) \) liên tục từng khúc trên [a,b]. Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, nhân được công thức tính S như sau: \( S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|dx} \).
Tương tự, nếu D giới hạn bởi các đường: \( y=c,\,\,y=d,\,\,(c<d),\,\,x=f(y),\,\,x=g(y) \), trong đó \( f(y),g(y) \) liên tục từng khúc trên [c,d] thì: \( S=\int\limits_{c}^{d}{\left| f(y)-g(y) \right|dy} \).
+ Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số: \( \left\{ \begin{align} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{0}}\le t\le {{t}_{1}} \).
Khi đó: \( S=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\left| y(t)\cdot {x}'(t) \right|dt} \).
+ Nếu miền phẳng D đạo hàm bởi đường cong có phương trình cho dưới dạng tọa độ cực.
\( r=r(\varphi ),\,\,\alpha \le \varphi \le \beta \).
Liên hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ cực là: \( \left\{ \begin{align} & x=r(\varphi )\cos \varphi \\ & y=r(\varphi )\sin \varphi \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( S=\frac{1}{2}\int{{{r}^{2}}(\varphi )d\varphi } \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
4.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng
+ Phương trình cho hệ tọa độ Descartes vuông góc
Giả sử đường cong \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình: \( y=f(x),\,\,A(a,f(a)),\,\,B(b,f(b)) \).
Trong đó \( f\in {{C}^{1}} \) trên [a,b], (a<b).
Nếu gọi \( \ell \) là độ dài cung \( \overset\frown{AB} \) thì \( \ell \) được tính theo công thức: \( \ell =\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{{{f}’}}^{2}}(x)}dx} \).
+ Phương trình cho trong dạng tham số: \( \left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{0}}\le t\le {{t}_{1}} \).
\( \varphi ,\psi \in {{C}^{1}} \) trên \( [{{t}_{0}},{{t}_{1}}] \).
\( \ell =\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{1}}}{\sqrt{{{{{\varphi }’}}^{2}}(t)+{{{{\psi }’}}^{2}}(t)}dt} \).
+ Phương trình cho trong dạng tọa độ cực.
\( r=r(\varphi ),\,\,\alpha \le \varphi \le \beta \) .
\( \ell =\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\sqrt{{{r}^{2}}(\varphi )+{{{{r}’}}^{2}}(\varphi )}d\varphi } \).
4.4.3. Tính thể tích vật thể
+ Công thức tổng quát
Giả sử vật thể (V) nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng này phương trình là \( x=a \) và \( x=b,\,\,a<b \). Các thiết diện của vật thể (V) vuông góc với trục Ox nằm trên mặt phẳng có phương trình \( x={{x}_{0}},\,\,{{x}_{0}}\in [a,b] \) có diện tích tương ứng \( S({{x}_{0}}) \). Khi đó thể tích của vật thể (V), kí hiệu à V, tính theo công thức: \(V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}\).
+ Công thức tính cho vật thể tròn xoay
Vật thể (V) tròn xoay là vật thể được tạo thành do một hình thang cong giới hạn bởi các đường: \( x=a,\,\,x=b,\,\,(a<b),\,\,y=0 \) và \( y=f(x)\ge 0,\,\,x\in [a,b] \) quay xung quanh trục Ox. Cụ thể hơn, phần không gian bị chiếm chỗ do hình thang cong quay xung quanh trục Ox gọi là vật thể tròn xoay.
Như vậy các thiết diện vuông góc với trục Ox là các hình tròn. Diện tích của thiết diện nằm trên mặt phẳng \( x={{x}_{0}} \) sẽ là \( \pi \cdot {{f}^{2}}({{x}_{0}}) \). Từ đó nhận được công thức tính: \( V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx} \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
4.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay
Mặt tròn xoay là một mặt cong được tạo thành do một cung cong \( \overset\frown{AB} \) quay xung quanh trục Ox tạo ra. Cụ thể hơn: Phần không gian bị chiếm chỗ do cung \( \overset\frown{AB} \) quay xung quanh trục Ox gọi là mặt tròn xoay. Gọi là S là diện tích của mặt tròn xoay, dưới đây chúng ta sẽ đưa ra các công thức tính.
Cung \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình \( y=f(x)\ge 0,\,\,a\le x\le b \).
\( S=2\pi \int\limits_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+{{{{f}’}}^{2}}(x)}dx} \)
Cung \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình tham số: \( \left\{ \begin{align} & x=x(t) \\ & y=y(t)\ge 0 \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{0}}\le t\le {{t}_{1}} \).
\( S=2\pi \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{1}}}{y(t)\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)}dt} \)
Cung \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực: \( r=r(\varphi ),\,\,\alpha \le \varphi \le \beta \) .
\( S=2\pi \int\limits_{\alpha }^{\beta }{r(\varphi )\sin \varphi \sqrt{{{r}^{2}}(\varphi )+{{{{r}’}}^{2}}(\varphi )}d\varphi } \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 1!
