4.3.2. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ

I. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ

+ Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất

 \( I=\int{\frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx},\,\,a\in \mathbb{R} \).

– Nếu  \( n=1 \) thì  \( \int{\frac{1}{x-a}dx}=\ln \left| x-a \right|+C \), với  \( C=const \) khi xét  \( x<a \) hoặc  \( x>a \).

– Nếu  \( n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\backslash \{1\} \) thì  \( \int{\frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx}=-\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{{{(x-a)}^{n-1}}}+C \).

+ Tích phân các phân thức tối giản loại thứ hai

 \( I=\int{\frac{\lambda x+\mu }{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx},\,\,\lambda ,\mu ,a,b,c\in \mathbb{R} \) và  \( {{b}^{2}}-4ac<0,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).

– Nếu  \( \lambda =0 \):  \( I=\mu \int{\frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx} \).

Biến đổi  \( a{{x}^{2}}+bx+c=-\frac{\Delta }{4a}\left[ 1+{{\left( \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }} \right)}^{2}} \right],\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \).

Thực hiện đổi biến  \( t=\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }} \).

Suy ra:  \( I=\mu {{\left( -\frac{4a}{\Delta } \right)}^{n}}\cdot \frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}\int{\frac{1}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}dt} \).

Dẫn đến tính  \( {{J}_{n}}(t)=\int{\frac{1}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}dt} \) bằng phương pháp truy toán.

Trước hết  \( {{J}_{1}}(t)=\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dx}=\arctan t+C \)

Tích phân từng phần sẽ có:

 \( {{J}_{n}}(t)=\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}+2n\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n+1}}}dt} \)

 \( {{J}_{n}}=\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}}+2n({{J}_{n}}-{{J}_{n+1}}) \)

 \( 2n{{J}_{n+1}}=(2n-1){{J}_{n}}+\frac{t}{{{(1+{{t}^{2}})}^{n}}} \).

– Nếu  \( \lambda \ne 0 \):  \( I=\frac{\lambda }{2a}\int{\frac{2ax+\frac{2a\mu }{\lambda }}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}=\frac{\lambda }{2a}\int{\frac{2ax+b}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}+\frac{\lambda }{2a}\left( \frac{2a\mu }{\lambda }-b \right)\int{\frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx} \).

Tích phân thứ nhất tính được nhờ phép đổi biến:  \( u=a{{x}^{2}}+bx+c \).

 \( \int{\frac{2ax+b}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n}}}dx}=\int{\frac{1}{{{u}^{n}}}du}=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{1}{{{(a{{x}^{2}}+bx+c)}^{n-1}}}+C \).

Tích phân thứ hai tính theo  \( {{J}_{n}} \) đã trình bày ở trên.

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

II. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông dụng

+ Hàm hữu tỉ đối với sin và cosin

(1) Trường hợp tổng quát

Xét  \( \int{R(\sin x,\cos x)dx} \), trong đó R là “phân thức hữu tỉ hai biến”.

Thực hiện phép đổi biến:  \( t=\tan \frac{x}{2} \). Khi đó:  \( \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\,\,\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}},\,\,dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \).

Khi đó đưa về dạng  \( \int{\frac{P(t)}{Q(t)}dt} \).

Tuy nhiên bậc của P(t) và Q(t) thường là cao, làm cho quá trình tính toán rất nặng nhọc. Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt, với cách đổi biến thích hợp sẽ tính toán dễ dàng hơn.

(2) Trường hợp đặc biệt thứ nhất

– Nếu  \( R(\sin x,\cos x)=R(-\sin x,-\cos x) \) thì đổi biến  \( t=\tan x \) hoặc  \( t=\cot x \).

– Nếu  \( R(\sin x,\cos x)=-R(\sin x,-\cos x) \) thì đổi biến  \( t=\sin x \).

– Nếu  \( R(\sin x,\cos x)=-R(-\sin x,\cos x) \) thì đổi biến  \( t=\cos x \).

(3) Trường hợp đặc biệt thứ hai.

Khi  \( R(\sin x,\cos x)={{\sin }^{m}}x\cdot {{\cos }^{n}}x,\,\,m,n\in \mathbb{Z} \).

– Nếu m lẻ thì đổi biến  \( t=\cos x \).

– Nếu n lẻ thì đổi biến  \( t=\sin x \).

– Nếu m, n chẵn và không cùng dương thì đổi biến  \( t=\tan x \).

– Nếu m, n chẵn và cùng dương thì tuyến tính hóa sau đó tính nguyên hàm.

+ Hàm hữu tỉ đối với  \( shx \) và  \( chx \).

Vì đạo hàm của các hàm  \( shx \) và  \( chx \) tương tự như các hàm  \( \sin x \) và  \( \cos x \), mà  \( \int{R(sixn,\cos x)dx} \) có phép đổi biến tương tự là  \( t=\tan \frac{x}{2},\,\,t=\cos x,\,\,t=\sin x,\,\,t=\tan x \), cho nên  \( \int{R(shx,chx)dx} \) có phép đổi biến tương ứng là  \( t=th\frac{x}{2},\,\,t=chx,\,\,t=shx,\,\,t=thx \).

+ Hàm hữu tỉ đối với  \( {{e}^{\alpha x}},\,\,\alpha \in \mathbb{R} \).

Xét  \( I=\int{f({{e}^{\alpha x}})dx} \), trong đó f(x) là hàm hữu tỉ. Thực hiện phép đổi biến  \( t={{e}^{\alpha x}},\,\,dt=\alpha {{e}^{\alpha x}}dx \). Khi đó:

 \( I=\frac{1}{\alpha }\int{\frac{f(t)}{t}dt} \).

+ Hàm hữu tỉ đối với x và  \( \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \).

Xét  \( I=\int{R\left( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right)dx} \), trong đó  \( R(x,y) \) là hàm hữu tỉ của hai biến x, y.

Với  \( y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \) thỏa mãn điều kiện  \( ad\ne bc \).

Thực hiện phép đổi sang biến y thì  \( R(x,y)dx=R\left( \frac{{{y}^{n}}d-b}{a-c{{y}^{n}}},y \right)\frac{n{{y}^{n-1}}(ad-bc)}{{{(a-c{{y}^{n}})}^{2}}}dy=f(y)dy \), trong đó  \( f(y) \) là hàm hữu tỉ của y.

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1

Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!


Menu