Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.5.1. Bài tập về tích phân suy rộng cận vô hạn
1. Giả sử hàm f(x) xác định \( \forall x\ge a \) và khả tích trên mọi đoạn \( \left[ a,b \right] \). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \( \underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,(4.24) \) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên khoảng \( \left[ a;+\infty \right) \) và kí hiệu là \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \).
Trong trường hợp này người ta còn nói rằng tích phân suy rộng (4.24). Nếu giới hạn (4.24) không tồn tại thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) được gọi là tích phân phân kì và hàm f(x) không khả tích theo nghĩa suy rộng trên \( \left[ a;+\infty \right) \).
Tương tự như trên, theo định nghĩa \( \int\limits_{-\infty }^{b}{f(x)dx}=\underset{a\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,(4.25) \)
\( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx}=\int\limits_{-\infty }^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{+\infty }{f(x)dx},\,\,c\in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4.26 \right) \)
2. Các công thức cơ bản đối với tích phân suy rộng
a) Tính tuyến tính. Nếu các tích phân suy rộng \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ \(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left[ \alpha f(x)+\beta g(x) \right]dx} \) hội tụ và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left[ \alpha f(x)+\beta g(x) \right]dx}=\alpha \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}+\beta \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \).
b) Công thức Newton-Leibnitz. Nếu trên khoảng \( \left[ a;+\infty \right) \) hàm f(x) liên tục và F(x), \( x\in \left[ a;+\infty \right) \) là nguyên hàm nào đó của nó thì \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}=\left . F(x) \right|_{a}^{+\infty }=F(+\infty )-F(a)\), trong đó \( F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F(x) \).
c) Công thức đổi biến. Giả sử \( f(x),\,\,x\in \left[ a;+\infty \right) \) là hàm liên tục, \( \varphi (t),\,\,t\in \left[ \alpha ,\,\,\beta \right] \) là khả vi liên tục và \( a=\varphi (\alpha )\le \varphi (t)<\underset{t\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi (t)=+\infty \) . Khi đó: \(\int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \varphi (t) \right){\varphi }'(t)dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.27)\)
d) Công thức tích phân từng phần. Nếu \( u(x) \) và \( v(x),\,\,x\in \left[ a;+\infty \right) \) là những hàm khả vi liên tục và \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( uv \right) \) tồn tại thì: \( \int\limits_{a}^{+\infty }{udv}=\left. uv \right|_{a}^{+\infty }-\int\limits_{a}^{+\infty }{vdu}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.28) \), trong đó \( \left. uv \right|_{a}^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( uv \right)-u(a)v(a) \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
3. Các điều kiện hội tụ
a) Tiêu chuẩn Cauchy. Tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ khi và chỉ khi \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists b=b(\varepsilon )\ge a \) sao cho \(\forall {{b}_{1}}>b\) và \(\forall {{b}_{2}}>b\), ta có: \( \left| \int\limits_{{{b}_{1}}}^{{{b}_{2}}}{f(x)dx} \right|<\varepsilon \) .
b) Dấu hiệu so sánh I. Giả sử \( g(x)\ge f(x)\ge 0,\,\,\forall x\ge a \) và f(x), g(x) khả tích trên mọi đoạn \( \left[ a,b \right],\,\,b<+\infty \) .
(i) Nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
(ii) Nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) phân kì.
c) Dấu hiệu so sánh II. Giả sử \( f(x)\ge 0,\,\,g(x)>0,\,\,\forall x\ge a \) và \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda \) .
Khi đó:
(i) Nếu \( 0<\lambda <+\infty \) thì các tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) và \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kì.
(ii) Nếu \( \lambda =0 \) và tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ.
(iii) Nếu \( \lambda =+\infty \) và tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ thì tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{g(x)dx} \) hội tụ.
Để so sánh ta thường sử dụng tích phân \(\int\limits_{a}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx}\left\langle \begin{align} & \text{ho }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ i tu }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha >1 \\ & \text{pha }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ n k }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha \le 1 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.29)\)
Định nghĩa. Tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left| f(x) \right|dx} \) hội tụ và được gọi là hội tụ có điều kiện nếu tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ nhưng tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{\left| f(x) \right|dx} \) phân kì.
Mọi tích phân hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
d) Từ dấu hiệu so sánh II và (4.29) rút ra
Dấu hiệu thực hành. Nếu khi \( x\to +\infty \) hàm dương f(x) là vô cùng bé cấp \( \alpha >0 \) so với \( \frac{1}{x} \) thì
(i) tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) hội tụ khi \( \alpha >1 \);
(ii) tích phân \( \int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx} \) phân kì khi \( \alpha \le 1 \).
I. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tính tích phân \( I=\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx} \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa, ta có: \( I=\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{2}^{b}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx} \).
Đặt \( x=\frac{1}{t} \), ta thu được:
\( I(b)=\int\limits_{2}^{b}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx}=\int\limits_{1/2}^{1/b}{\frac{-dt}{{{t}^{2}}\cdot \frac{1}{{{t}^{2}}}\sqrt{\frac{1}{{{t}^{2}}}-1}}dt}=-\int\limits_{1/2}^{1/b}{\frac{t}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}}dt}=\left. \sqrt{1-{{t}^{2}}} \right|_{1/2}^{1/b}=\sqrt{1-\frac{1}{{{b}^{2}}}}-\sqrt{1-\frac{1}{4}} \).
Từ đó suy ra: \(I=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,I(b)=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\). Như vậy tích phân đã cho hội tụ.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+3x+4}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Hàm dưới dấu tích phân dương, \( \forall x\ge 1 \). Ta có: \( f(x)=\frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+3x+4}=\frac{2+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{x+\frac{3}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}}} \).
Với x đủ lớn hàm f(x) có dạng điệu như \( \frac{2}{x} \). Do đó, ta lấy hàm \( \varphi (x)=\frac{1}{x} \) để so sánh và có \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)x}{{{x}^{2}}+3x+4}=2\ne 0 \).
Vì tích phân \( \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{x}dx} \) phân kì nên theo dấu hiệu so sánh II tích phân đã cho phân kì.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Khảo sát sự hội tụ của tích phân \( \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-12}}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có bất đẳng thức: \( \frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-1}}>\frac{1}{x} \) khi \( x>2 \).
Nhưng tích phân \( \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{x}dx} \) phân kì, do đó theo dấu hiệu so sánh I tích phân đã cho phân kì.
Ví dụ 4. Khảo sát sự hội tụ và đặc tính hội tụ của tích phân \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx} \).
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên ta tích phân từng phần một cách hình thức:
\( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=-\left. \frac{\cos x}{x} \right|_{1}^{+\infty }-\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\cos x}{{{x}^{2}}}dx}=\cos 1-\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\cos x}{{{x}^{2}}}dx}\,\,\,\,\,\,\,(4.30) \)
Tích phân \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\cos x}{{{x}^{2}}}dx} \) hội tụ tuyệt đối, do đó nó hội tụ. Như vậy cả hai số hạng ở vế phải (4.30) hữu hạn. Từ đó suy ra phép tích phân từng phần đã thực hiện là hợp lý và vế trái của (4.30) là tích phân hội tụ.
Ta xét sự hội tụ tuyệt đối. Ta có: \( \left| \sin x \right|\ge {{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \) và do vậy \( \forall b>1 \) ta có:
\( \int\limits_{1}^{b}{\frac{\left| \sin x \right|}{x}dx}\ge \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{b}{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{b}{\frac{\cos 2x}{x}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.31) \)
Tích phân thứ nhất ở vế phải của (4.31) phân kì. Tích phân thứ hai ở về phải đó hội tụ (điều đó được suy ra bằng cách tích phân từng phần như (4.30)). Qua giới hạn (4.31) khi \( b\to +\infty \) ta có vế phải của (4.31) dần đến \( \infty \) và do đó tích phân vế trái của (4.31) phân kì, tức là tích phân đã cho hội tụ có điều kiện (không tuyệt đối).
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
II. Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Câu 1. Tính các tích phân suy rộng cận vô hạn sau:
1) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
2) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx} \) (Đs: \( \frac{\pi }{6} \))
3) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \frac{\pi -2}{8} \))
4) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{x\sin xdx} \) (Đs: phân kì)
5) \( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx} \) (Đs: phân kì)
6) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{e}^{-x}}\sin xdx} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
7) \( \int\limits_{2}^{+\infty }{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}-1}+\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)dx} \) (Đs: \( \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\ln 3 \))
8) \( \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+9}dx} \) (Đs: \( \frac{\pi \sqrt{5}}{5} \))
9) \( \int\limits_{\sqrt{2}}^{+\infty }{\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}dx} \) (Gợi ý: \( x=\sqrt{t} \). Đs: \( \frac{1}{36} \))
10) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx} \) (Gợi ý: Đặt \( x=\frac{1}{t} \). Đs: \( \ln \left( 1+\frac{2}{\sqrt{3}} \right) \))
11) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\arctan x}{{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: \( \frac{\pi }{4}+\frac{\ln 2}{2} \))
12) \( \int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{2x+5}{{{x}^{2}}+3x-10}dx} \) (Đs: phân kì)
13) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{e}^{-ax}}\sin bxdx},\,\,a>0 \) (Đs: \( \frac{b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \))
14) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{e}^{-ax}}\cos bxdx},\,\,a>0 \) (Đs: \( \frac{a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \))
Câu 2. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng cận vô hạn
1) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{{{e}^{-x}}}{x}dx} \) (Gợi ý: Hội tụ)
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức \( \frac{{{e}^{-x}}}{x}\le {{e}^{-x}},\,\,\forall x\ge 1 \).
2) \( \int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{4}}+1}}dx} \) (Đs: Phân kì)
Gợi ý: \( \frac{x}{\sqrt{{{x}^{4}}+1}}>\frac{x}{\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{4}}}},\,\,\forall x\ge 2 \).
3) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{{{\sin }^{2}}3x}{\sqrt[3]{{{x}^{4}}+1}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
4) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt{4x+\ln x}}dx} \) (Đs: Phân kì)
5) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}{{{x}^{\alpha }}}dx} \) (Đs: Hội tụ nếu \( \alpha >0 \))
6) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{x}{\sqrt[3]{{{x}^{5}}+2}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
7) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{\cos 5x-\cos 7x}{{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
8) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{x}{\sqrt[3]{1+{{x}^{7}}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
9) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sqrt{x+1}}{1+2\sqrt{x}+{{x}^{2}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
10) \( \int\limits_{1}^{+}{\frac{1}{\sqrt{x}}\left( {{e}^{1/x}}-1 \right)dx} \) (Đs: Hội tụ)
11) \( \int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{x+\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}+2\sqrt[5]{{{x}^{4}}+1}}dx} \) (Đs: Phân kì)
12) \( \int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt{x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
13) \( \int\limits_{0}^{+\infty }{\left( 3{{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}}}dx} \) (Đs: Hội tụ)
Gợi ý: So sánh với tích phân hội tụ \( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}dx} \) (tại sao?) và áp dụng dấu hiệu so sánh II.
14) \( \int\limits_{5}^{+\infty }{\frac{\ln \left( x-2 \right)}{{{x}^{5}}+{{x}^{2}}+1}dx} \) (Đs: Hội tụ)
Gợi ý: Áp dụng hệ thức \( \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln t}{{{t}^{\alpha }}}=0,\,\,\forall \alpha >0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( x-2 \right)}{{{x}^{\alpha }}}=0,\,\,\forall \alpha >0 \).
Từ đó so sánh tích phân đã cho với tích phân hội tụ \( \int\limits_{5}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx},\,\,\alpha >1 \). Tiếp đến áp dụng dấu hiệu so sánh II.
