Bài Giảng Toán Cao Cấp

Phép tính tích phân là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Đây là phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số.

Trong mục thứ nhất của chương này cần nắm vững định nghĩa tích phân xác định. Bản chất của nó là phép tính giới hạn của một dãy số được tạo ra theo một nguyên tắc nhất định (lập tổng tích phân) từ hàm số f(x) xác định trên đoạn [a;b]. Sau khi hiểu được lớp các hàm khả tích sẽ thấy rõ khái niệm tích phân xác định học ở phổ thông trung học chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm tích phân xác định được trình bày ở mục này. Cụ thể là công thức Newton-Leibnitz chỉ được áp dụng khi hàm dưới dấu tích phân liên tục trên đoạn [a;b]. Người học phải nắm được điều kiện cần của hàm khả tích để sau này phản biện với tích phân suy rộng. Bên cạnh đó phải biết vận dụng các tính chất của tích phân xác định bởi vì nhờ có tính chất này và các tích phân cơ bản mà ta có thể tính được các tích phân phức tạp hơn. Cần hiểu được nguyên hàm của hàm số là gì và phân biệt tích phân xác định với tích phân bất định.

Trong mục thứ hai cần nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định: Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Cần hiểu rằng phần lớn các tích phân chỉ được tính bằng một phương pháp duy nhất. Do đó trước hết phải phân loại sau đó mới đi vào tính toán. Nắm chắc các điều kiện đối với hàm số khi thực hiện phép đổi biến số. Lưu ý rằng khi thực hiện phép đổi biến số thì cận của tích phân cũng biến đổi theo.

Mục thứ ba trình bày phương pháp tính tích phân bất định. Ngoài hai phương pháp cơ bản cần phải thuộc cách đổi biến thích hợp cho từng trường hợp: hàm hữu tỉ, hàm hữu tỉ lượng giác, hàm vô tỉ,…

Mục thứ tư gồm các ứng dụng mang tính chất hình học của tích phân xác định: diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài cung. Phải chú ý đến tính chất biên của các hình rồi mới áp dụng các công thức tính thích hợp: trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ cực. Sau này còn được biết nhiều ứng dụng rộng rãi của tích phân xác định.

Trong mục thứ năm người học phải hiểu rõ tích phân suy rộng, ý nghĩa hình học của nó. Phân biệt sự khác nhau giữa tích phân suy rộng và tích phân xác định. Nắm vững khái niệm hội tụ, phân kì của tích phân suy rộng. Khi sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của lớp hàm giữ nguyên dấu cần phải dùng đến phép so sánh các vô cùng bé, vô cùng lớn. Cần nắm vững khái niệm hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của tích phân suy rộng, bởi vì các nội dung trên sẽ gặp ở trong chương tiếp theo. Cũng cần nhớ rằng rất nhiều vấn đề kỹ thuật gắn liền với việc tính các tích phân suy rộng.