4.2.2. Bài tập về tích phân từng phần 4.2.2. Phép tích phân từng phần Định lí: Nếu  ( u,v:[a,b]to mathbb{R} ) và  ( u,vin {{C}^{1}} ) trên [a,b] thì  ( intlimits_{a}^{b}{{u}'(x)cdot v(x)dx}=left. u(x)cdot v(x) right|_{a}^{b}-intlimits_{a}^{b}{u(x)cdot {v}'(x)dx} ). Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 – Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,…  …

4.2.1. Bài tập về phương pháp đổi biến 4.2.1. Phép đổi biến + Định lí 1: Nếu  ( varphi :[alpha ,beta ]to mathbb{R} ) thuộc lớp C1 trên  ( [alpha ,beta ] ),  ( f:[a,b]to mathbb{R} ) thuộc lớp C0 trên  ( [a,b] ) và  ( varphi ([alpha ,beta ])subset [a,b] ). Khi đó:  (…

4.3.5. Bài tập về nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác 1. Tích phân dạng ( int{Rleft( sin x,cos x right)dx},,,,,,,(4.11) )Trong đó  ( Rleft( u,v right) ) là hàm hữu tỉ của các biến u và v luôn luôn có thể hữu tỉ hóa được nhờ phép đổi biến  ( t=tan frac{x}{2},,,xin left(…

4.3.4. Bài tập về nguyên hàm – tích phân vô tỉ Một số nguyên hàm hàm vô tỉ thường gặp có thể tính được bằng phương pháp hữu tỷ hóa hàm dưới dấu nguyên hàm. Nội dung của phương pháp này là tìm một phép biến đổi đưa nguyên hàm đã cho của hàm vô…

4.3.3. Bài tập về tích phân các hàm hữu tỉ I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính ( I=int{frac{x}{left( x-1 right){{left( x+1 right)}^{2}}}dx} ). Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 – Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,… Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực…

4.3.2. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ I. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ + Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất  ( I=int{frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx},,,ain mathbb{R} ). – Nếu  ( n=1 ) thì  ( int{frac{1}{x-a}dx}=ln left| x-a right|+C ), với  (…

4.4.2. Bài tập về Tính độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay 1. Nếu đường cong ( mathcal{L}left( A,B right) ) được cho bởi phương trình ( y=y(x),,,xin left[ a,b right] ) (hay  ( x=g(y) )) hoặc bởi các phương trình tham số  ( x=varphi (t),,,y=psi (t) ) thì vi phân độ dài…

4.4.1. Bài tập về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể I. Diện tích hình phẳng 1. Diện tích hình thang cong D giới hạn bởi đường cong ( mathcal{L} ) có phương trình ( y=f(x),,,f(x)ge 0,,,forall xin left[ a;b right] ) và các đường thẳng  ( x=a,,,x=b ) và trục Ox được…

4.3.1. Bài tập về nguyên hàm (tích phân bất định) Định nghĩa 4.1.1. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng nào đó nếu F(x) liên tục trên khoảng đó và khả vi tại mỗi điểm trong của khoảng và  ( {F}'(x)=f(x) ). Định lí. 4.1.1. (Về sự tồn tại nguyên…

4.5.2. Bài tập về tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 1. Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng ( left[ a,b right) ) và khả tích trên mọi đoạn ( left[ a,xi  right],,,xi <b ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn  ( underset{xi to {{b}^{-}}}{mathop{lim }},intlimits_{0}^{xi }{f(x)dx},,,,,,,(4.32) ) thì giới…

4.5.1. Bài tập về tích phân suy rộng cận vô hạn 1. Giả sử hàm f(x) xác định ( forall xge a ) và khả tích trên mọi đoạn ( left[ a,b right] ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn  ( underset{bto +infty }{mathop{lim }},intlimits_{a}^{b}{f(x)dx},,,,,,,(4.24) ) thì giới hạn đó được gọi là tích…

4.5. Tích phân suy rộng 4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn + Định nghĩa (1) Cho  ( f:[a;+infty )to mathbb{R},,,ain mathbb{R} ), khả tích trên  ( [a,A],,,forall A>a ). Tích phân suy rộng của f với cận  ( +infty )  được kí hiệu là  ( intlimits_{a}^{+infty }{f(x)dx} ). Nói rằng tích phân…

4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định 4.4.1. Tính diện tích hình phẳng + Miền phẳng đạo hàm bởi các đường cong trong tọa độ Descartes Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường:  ( x=a,,,x=b,,,(a<b),,,y=f(x),,,y=g(x) ), trong đó  ( f(x),g(x) ) liên tục từng khúc trên [a,b]. Gọi diện…

4.3. Phương pháp tính tích phân bất định Ta đã biết rằng (int{f(x)dx}=F(x)+C) trên X, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên X và C là hằng số tùy ý. 4.3.1. Tính chất cơ bản của tích phân bất định Cho  ( f(x),g(x) ) có nguyên hàm,  ( lambda in mathbb{R} ).…

4.1. Khái niệm về tích phân xác định 4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định Cho  ( f:[a,b]to mathbb{R},,,a<b ). (1) Ta gọi một họ hữu hạn các điểm  ( ({{x}_{i}}),,,i=overline{0,n} ) sao cho  ( a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<…<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b ) là một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [a,b] và gọi  ( lambda =underset{0le ile n-1}{mathop{max}},Delta {{x}_{i}}…