Bài Giảng Toán Cao Cấp
1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến
Định nghĩa 1.6
+ Hàm số \( f(x,y) \) được gọi là liên tục tại điểm \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in {{D}_{f}}\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) nếu \( \underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\,f(x,y)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
+ Hàm số \( f(x,y) \) được gọi là liên tục trên miền \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) nếu \( f(x,y) \) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
+ Chú ý 1.4: Tính liên tục của hàm số hai biến có những tính chất tương tự như hàm số một biến. Chẳng hạn, hàm \( f(x,y) \) cho bởi một công thức xác định ở đâu thì liên tục ở đó; nếu \( f(x,y) \) liên tục trên miền đóng, bị chặn D thì nó đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm O(0,0):
\( f(x,y)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sin {{x}^{2}}-\sin {{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\,\,(x,y)\ne (0,0) \\ & 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y)=(0,0) \\ \end{align} \right. \).
Hướng dẫn giải:
Ta có \( f(0,0)=1 \) nhưng \( \underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,f(x,y) \) không tồn tại (xem ví dụ 1.11). Vậy hàm số \( f(x,y) \) không liên tục tại điểm \( O(0,0) \).
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số : \( f(x,y)=\left\{ \begin{align}& \frac{3{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\,\,(x,y)\ne (0,0) \\ & 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y)=(0,0) \\ \end{align} \right. \).
Hướng dẫn giải:
+ Tại \( (x,y)\ne (0,0) \) thì hàm số \( f(x,y) \) xác định nên liên tục.
+ Ta có: \( 0\le \left| f(x,y) \right|=\frac{3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\left| y \right|\le 3\left| y \right| \), suy ra:
\( \underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,\left| f(x,y) \right|=0\Rightarrow \underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,f(x,y)=0=f(0,0) \).
Ta suy ra hàm số \( f(x,y) \) liên tục tại \( (0,0) \).
Vậy hàm số \( f(x,y) \) liên tục trên \( {{\mathbb{R}}^{2}} \).
