Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Giả sử hàm số  \( z=f(x,y) \) xác định trong miền D chứa  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Nếu với mọi điểm M(x,y) thuộc lân cận của M₀ nhưng khác M₀ mà hiệu  \( \Delta f=f(M)-f({{M}_{0}})\ne 0 \) có duấ không đổi thì ta nói rằn hàm số  \( z=f(x,y) \) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là cực trị) tại M₀.

+ Nếu  \( \Delta f>0 \) thì hàm số f(x,y) đạt cực tiểu tại M₀. Điểm M₀ được gọi là điểm cực tiểu và  \( f({{M}_{0}}) \) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x,y), kí hiệu là  \( {{f}_{CT}} \).

+ Nếu  \( \Delta f<0 \) thì hàm số  \( f(x,y) \) đạt cực đại tại M₀. Điểm M₀ được gọi là điểm cực đại và  \( f({{M}_{0}}) \) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x,y), kí hiệu là  \( {{f}_{CD}} \) (H.1.3.1).

Ví dụ: Hàm số \( f(x,y)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \) xác định trên  \( {{\mathbb{R}}^{2}} \). Với mọi điểm M(x,y) khác O(0,0), ta có:

\( f(M)={{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}>0 \) hay  \( \Delta f=f(M)-f(O)>0 \).

Vậy hàm số f(x,y) đạt cực tiểu tại O(0,0).

+ Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm số  \( z=f(x,y) \) đạt chương trình tại điểm  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì  \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})={{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0 \).

Điểm M₀ thỏa mãn  \( {{{f}’}_{x}}({{M}_{0}})={{{f}’}_{y}}({{M}_{0}})=0 \) được gọi là điểm dừng (hay điểm tới hạn). Điểm M₀ có thể không phải điểm cực trị.

Chứng minh:

Giả sử hàm số  \( z=f(x,y) \) đạt cực đại tại  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \), ta có:

 \( f(x,y)<f({{x}_{0}},{{y}_{0}}),\,\,\forall (x,y) \) thuộc lân cận của  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).

Suy ra  \( f(x,{{y}_{0}})<f({{x}_{0}},{{y}_{0}}),\,\,\forall (x,{{y}_{0}}) \)thuộc lân cận của  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).

Khai triển Taylor hàm  \( f(x,{{y}_{0}}) \) đến bậc một trong lân cận  \( {{x}_{0}} \), ta được:

 \( f(x,{{y}_{0}})=f({{x}_{0}},{{y}_{0}})+\frac{{{{{f}’}}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+o((x-{{x}_{0}})) \).

Suy ra, khi  \( (x,{{y}_{0}})\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) ta có tương đương vô cùng vé

 \( f(x,{{y}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})\sim {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})(x-{{x}_{0}}) \).

Nếu  \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\ne 0 \) thì  \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})(x-{{x}_{0}}) \) có dấu thay đổi, dẫn đến dấu của  \( \Delta f \) thay đổi theo. Điều này mâu thuẫn vì  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) là điểm cực trị. Suy ra  \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0 \).

Chứng minh tương tự cho trường hợp hàm số  \( z=f(x,y) \) đạt cực tiểu tại điểm  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Vậy  \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0 \). Tương tự,  \( {{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0 \).

+ Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số  \( z=f(x,y) \) có điểm dừng là  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) và có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm M₀.

Ta đặt  \( A={{{f}”}_{{{x}^{2}}}}({{M}_{0}}),\,\,B={{{f}”}_{xy}}({{M}_{0}}),\,\,C={{{f}”}_{{{y}^{2}}}}({{M}_{0}}) \) và  \( \Delta =AC-{{B}^{2}} \).

Khi đó, ta có:

1) Nếu  \( \Delta >0 \) và  \( A>0 \) thì f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm M₀;

2) Nếu  \( \Delta >0 \) và  \( A<0 \) thì f(x,y) đạt cực đại tại điểm M₀;

3) Nếu  \( \Delta <0 \) thì f(x,y) không đạt cực trị tại M₀;

4) Nếu  \( \Delta =0 \) thì ta chưa thể kết luận.

Chứng minh:

Giả sử hàm số  \( z=f(x,y) \) có điểm dừng là  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).

Khai triển Taylor hàm f(x,y) đến bậc hai trong lân cận M₀, ta được:

 \( f(M)=f({{M}_{0}})+\frac{df({{M}_{0}})}{1!}+\frac{{{d}^{2}}f({{M}_{0}})}{2!}+o\left( {{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}} \right) \)

Vì M₀ là điểm dừng nên  \( df({{M}_{0}})=0 \), ta có tương đương VCB:

 \( f(M)-f({{M}_{0}})\sim \frac{{{d}^{2}}f({{M}_{0}})}{2!} \).

Suy ra  \( \Delta f\sim \frac{1}{2}\left( Ad{{x}^{2}}+2Bdxdy+Cd{{y}^{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)

Đến đây ta xét ba trường hợp sau:

1) Trường hợp  \( \Delta =AC-{{B}^{2}}>0 \):

Do  \( AC-{{B}^{2}}>0 \) nên ta có  \( A\ne 0 \). Giả sử  \( dy=0 \), do  \( M\ne {{M}_{0}} \) nên  \( d{{x}^{2}}>0 \). Từ (*) ta suy ra  \( \Delta f \) có cùng dấu với A.

Giả sử  \( dy\ne 0 \). Đặt  \( t=\frac{dx}{dy} \), ta có: \( \Delta f \)

 \( Ad{{x}^{2}}+2Bdxdy+Cd{{y}^{2}}=d{{y}^{2}}(A{{t}^{2}}+2Bt+C) \)

Do  \( AC-{{B}^{2}}>0 \) nên tam thức  \( A{{t}^{2}}+2Bt+C \) vô nghiệm và có dấu cùng dấu với A. Từ (*) ta suy ra  \( \Delta f \) có cùng dấu với A. Nghĩa là, nếu  \( A>0 \) thì  \( \Delta f>0 \), suy ra M₀ là điểm cực tiểu; nếu  \( A<0 \) thì  \( \Delta f<0 \), suy ra M₀ là điểm cực đại.

2) Trường hợp  \( \Delta =AC-{{B}^{2}}<0 \):

Trước hết, ta nhận thấy  \( dy\ne 0 \). Thật vậy, giả sử  \( dy=0 \) ta có:

 \( y={{y}_{0}}\Rightarrow {{{f}”}_{xy}}({{M}_{0}})={{{f}”}_{{{y}^{2}}}}({{M}_{0}})=0\Rightarrow B=C=0\Rightarrow \Delta =0 \) (vô lý).

Đặt  \( t=\frac{dx}{dy} \), ta có:  \( Ad{{x}^{2}}+2Bdxdy+Cd{{y}^{2}}=d{{y}^{2}}(A{{t}^{2}}+2Bt+C) \).

Do  \( AC-{{B}^{2}}<0 \) nên tam thức  \( A{{t}^{2}}+2Bt+C \) có hai nghiệm phân biệt và có dấu thay đổi.

Từ (*) ta suy ra dấu của  \( \Delta f \) cũng thay đổi. Nghĩa là, M₀ không phải là điểm cực trị. Điểm M₀ lúc này được gọi là điểm yên ngựa (Xem hình H.14)

3) Trường hợp  \( \Delta =AC-{{B}^{2}}=0 \):

Trong trường hợp này ta phải khảo sát từng hàm số cụ thể và có thể dùng các phương pháp khác. Chẳng hạn, nếu gặp  \( A=B=C=0 \) thì ta phải xét vi phân cấp cao hơn hai. Do đó, trong chương trình ta không xét trường hợp  \( \Delta =0 \).

+ Chú thích

Cực trị loại này được gọi là cực trị tự do vì khi đi tìm điểm cực trị, ta xét các điểm M(x,y) chạy khắp  \( {{D}_{f}} \) mà không có sự ràng buộc nào.

+ Phương pháp tìm cực trị tự do

Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên  \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \). Để tìm cực trị của f(x,y), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & {{{{f}’}}_{x}}(x,y)=0 \\  & {{{{f}’}}_{y}}(x,y)=0 \\ \end{align} \right. \).

Bước 2. Giả sử  \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) là một nghiệm của hệ và  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in D \), ta tính:

 \( A={{{f}”}_{{{x}^{2}}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}),\,\,B={{{f}”}_{xy}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}),\,\,C={{{f}”}_{{{y}^{2}}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Rightarrow \Delta =AC-{{B}^{2}} \).

Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ của định lý để kết luận.

Hướng dẫn giải:

Giải hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & {{{{z}’}}_{x}}(x,y)=6xy-6x=0 \\  & {z}'(x,y)=3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-6y=0 \\ \end{align} \right. \) ta suy ra hàm số có 4 điểm dừng là:

 \( {{M}_{1}}(0;0),\,\,{{M}_{2}}(0;2),\,\,{{M}_{3}}(1;1) \) và  \( {{M}_{4}}(-1;1) \).

Tính vi phân cấp hai, ta được:

 \( {{{z}”}_{{{x}^{2}}}}(x,y)=6y-6,\,\,{{{z}”}_{xy}}(x,y)=6x \) và  \( {{{z}”}_{{{y}^{2}}}}(x,y)=6y-6 \).

+ Tại điểm  \( {{M}_{1}}(0;0) \), ta có:  \( A=C=-6<0,\,\,B=0\Rightarrow \Delta >0\Rightarrow {{M}_{1}} \) là điểm cực đại.

+ Tại điểm  \( {{M}_{2}}(0;2) \), ta có:  \( A=C=6>0,\,\,B=0\Rightarrow \Delta >0\Rightarrow {{M}_{2}} \) là điểm cực tiểu.

+ Tại điểm  \( {{M}_{3}}(1;1) \), ta có:  \( A=C=0,\,\,B=6\Rightarrow \Delta <0\Rightarrow {{M}_{3}} \) không là điểm cực trị.

+ Tại điểm  \( {{M}_{4}}(-1;1) \), ta có:  \( A=C=0,\,\,B=-6\Rightarrow \Delta <0\Rightarrow {{M}_{4}} \) không là điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình  \( x-{{y}^{2}}+1=0\Rightarrow x={{y}^{2}}-1 \).

Thế  \( x={{y}^{2}}-1 \) vào hàm số  \( z={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \) ta được:  \( z={{y}^{4}}-{{y}^{2}}+1 \).

Ta có:  \( {z}'(y)=4{{y}^{3}}-2y \) và  \( {z}”(y)=12{{y}^{2}}-2 \),

 \( {z}'(y)=0\Leftrightarrow y=0\vee y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).

+ Với  \( y=0 \), ta có  \( x=-1 \) và  \( {z}”(0)<0 \).

Suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm  \( {{M}_{1}}(-1;0) \).

+ Với  \( y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \), ta có  \( x=-\frac{1}{2} \) và  \( {z}”\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \right)>0 \). Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm  \( {{M}_{2}}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2} \right),\,\,{{M}_{3}}\left( \frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2} \right) \).