Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
1. Đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm số \( f(x,y) \)xác định trên miền mở \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Cố định \( y={{y}_{0}} \), ta có hàm số một biến \( f(x,{{y}_{0}}) \). Nếu hàm số \( f(x,{{y}_{0}}) \) có đạo hàm tại x0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số \( f(x,y) \) tại \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \), kí hiệu là: \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) hay \( \frac{\partial f}{\partial x}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
Vậy \({{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x,{{y}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\).
Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) là:
\({{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})=\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}},y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{y-{{y}_{0}}}\)
+ Chú ý:
– Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự, chẳng hạn
\( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x,{{y}_{0}},{{z}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})}{x-{{x}_{0}}} \).
– Các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến đều đúng cho đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến.
– Khi tính đạo hàm của hàm số theo một biến nào đó thì ta xem tất cả các biến còn lại là hằng số và đạo hàm như hàm số một biến.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: \( f(x,y)={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}{{y}^{2}}+2{{y}^{3}}-3xy \) tại \( (-1,2) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{{f}’}_{x}}(x,y)=4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3y \); \( {{{f}’}_{y}}(x,y)=-6{{x}^{3}}y+6{{y}^{2}}-3x \).
Thay \( x=-1,\,\,y=2 \) vào \( {{{f}’}_{x}}(x,y) \) và \( {{{f}’}_{y}}(x,y) \) ta được:
\( {{{f}’}_{x}}(-1,2)=-46 \) và \( {{{f}’}_{y}}(-1,2)=39 \).
Ví dụ 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số \( z={{e}^{y\ln x}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{y\ln x}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}(y\ln x)\cdot {{e}^{y\ln x}}={{e}^{y\ln x}}\cdot \frac{y}{x} \),
\( \frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{e}^{y\ln x}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}(y\ln x)\cdot {{e}^{y\ln x}}={{e}^{y\ln x}}\cdot \ln x \).
Ví dụ 3. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: \( z=\ln \sqrt{{{\left( \frac{x-y}{x+y} \right)}^{3}}} \) tại \( (2,-1) \).
Hướng dẫn giải:
Trong lân cận của điểm \( (2,-1) \), ta có:
\( z=\frac{3}{2}\ln \frac{x-y}{x+y}=\frac{3}{2}\left[ \ln (x-y)-\ln (x+y) \right] \).
Suy ra: \( {{{z}’}_{x}}(x,y)=\frac{3}{2}\left[ \frac{{{(x-y{)}’}_{x}}}{x-y}-\frac{{{(x+y{)}’}_{x}}}{x+y} \right]=\frac{3}{2}\left( \frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} \right) \),
\( {{{z}’}_{y}}(x,y)=\frac{3}{2}\left[ \frac{{{(x-y{)}’}_{y}}}{x-y}-\frac{{{(x+y{)}’}_{y}}}{x+y} \right]=-\frac{3}{2}\left( \frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y} \right) \).
Vậy \( {{{z}’}_{x}}(2,-1)=-1 \) và \( {{{z}’}_{y}}(2,-1)=-2 \).
Ví dụ 4. Tính các đạo hàm riêng của hàm số \( f(x,y,z)={{z}^{x-{{y}^{2}}}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{{f}’}_{x}}(x,y,z)={{(x-{{y}^{2}}{)}’}_{x}}\cdot {{z}^{x-{{y}^{2}}}}\ln z={{z}^{x-{{y}^{2}}}}\ln z \),
\( {{{f}’}_{y}}(x,y,z)={{(x-{{y}^{2}}{)}’}_{y}}\cdot {{z}^{x-{{y}^{2}}}}\ln z=-2y\cdot {{z}^{x-{{y}^{2}}}}\ln z \),
\( {{{f}’}_{z}}(x,y,z)={{\left( {{z}^{x-{{y}^{2}}}} \right)}^{\prime }}_{z}=(x-{{y}^{2}}){{z}^{x-{{y}^{2}}-1}} \).
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Giả sử hàm số \( z=f(x,y) \) có đồ thị là mặt cong S và có các đạo hàm riêng tại \( điểm M(a,b)\in {{D}_{f}} \).
Mặt phẳng \( y=b \) cắt S theo giao tuyến là một đường cong C trong không gian. Gọi điểm \( N\in C \) sao cho N có hình chiếu trên Oxy là điểm M. Từ N, ta vẽ tiếp tuyến d với C. Khi đó, hệ số góc của d chính là \( {{{f}’}_{x}}(a,b) \) (Hình 2.1 a). Tương tự, trong hình 2.1b, hệ số góc của d chính là \( {{{f}’}_{y}}(a,b) \).
3. Vi phân toàn phần
Giả sử hàm số \( f(x,y) \) liên tục trong lân cận của điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Cho x một số gia \( \Delta x \) và y một số gia \( \Delta y \), khi đó hàm số \( f(x,y) \) có tương ứng số gia là:
\( \Delta f=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \)
\( =\left[ f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y) \right]+\left[ f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right]={{\Delta }_{x}}f+{{\Delta }_{y}}f \).
Giả sử hàm số \( f(x,y) \) có các đạo hàm riêng tại điểm M0, áp dụng công thức gia giới nội cho hàm số một biến ta có:
\( {{\Delta }_{x}}f=\Delta x\cdot {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y) \) và \( {{\Delta }_{y}}f=\Delta y\cdot {{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta y) \) (trong đó \( 0<{{\theta }_{1}}<1 \) và \( 0<{{\theta }_{2}}<1 \)).
Bây giờ, nếu giả sử thêm \( {{{f}’}_{x}} \) và \( {{{f}’}_{y}} \) liên tục tại điểm M0 thì ta có:
\( \left\{ \begin{align} & \underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\mathop{\lim}}\,{{{{f}’}}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)={{{{f}’}}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \\ & \underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,{{{{f}’}}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta y)={{{{f}’}}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \\ \end{align} \right. \) hay \( \left\{ \begin{align} & {{\Delta }_{x}}f={{{{f}’}}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{\varepsilon }_{1}}\Delta x \\ & {{\Delta }_{y}}f={{{{f}’}}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y+{{\varepsilon }_{2}}\Delta y \\ \end{align} \right. \)
(trong đó \( {{\varepsilon }_{1}}\to 0,\,\,{{\varepsilon }_{2}}\to 0 \) khi \( \Delta x\to 0 \) và \( \Delta y\to 0 \)).
Suy ra \( \Delta f={{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y+{{\varepsilon }_{1}}\Delta x+{{\varepsilon }_{2}}\Delta y \)
Đặt \( \rho =\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}}} \) và gọi \( O(\rho ) \) là vô cùng bé cấp cao hơn \( \rho \), ta có:
\( \underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\varepsilon }_{1}}\Delta x+{{\varepsilon }_{2}}\Delta y}{\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}}}}=0\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}\Delta x+{{\varepsilon }_{2}}\Delta y=O(\rho ) \).
Vậy \( \Delta f={{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y+O(\rho )\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
4. Định nghĩa 1.8
+ Nếu khi \( \Delta x\to 0 \) và \( \Delta y\to 0 \) mà \( \Delta f \) có thể viết được dưới dạng (*) thì ta nói rằng hàm số f(x,y) khả vi tại điểm \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
Đại lượng \( {{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y \)
Kí hiệu \( df({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \), được gọi là vi phân toàn phần (gọi tắt là vi phân) của hàm số f(x,y) tại điểm \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
+ Tương tự như hàm số một biến, nếu x và y là biến độc lập thì \( dx=\Delta x \) và \( dy=\Delta y \).
Vậy, ta có công thức vi phân của f(x,y) tại (x,y) là:
\( df(x,y)={{{f}’}_{x}}(x,y)dx+{{{f}’}_{y}}(x,y)dy \)
+ Vi phân của hàm số nhiều hơn hai biến cố có định nghĩa tương tự, chẳng hạn:
\( df(x,y,z)={{{f}’}_{x}}(x,y,z)dx+{{{f}’}_{y}}(x,y,z)dy+{{{f}’}_{z}}(x,y,z)dz \)
+ Hàm số f được gọi là khả vi trong miền \( V\subset {{\mathbb{R}}^{n}} \) nếu f khả vi tại mọi điểm thuộc V.
5. Nhận xét 1.2
Từ đẳng thức (*), ta thấy khi \( \Delta x\to 0 \) và \( \Delta y\to 0 \) thì \( \Delta f\to 0 \). Nghĩa là, khi \( M\to {{M}_{0}} \) thì \( f(M)\to f({{M}_{0}}) \). Vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thì f(x,y) liên tục tại \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
6. Định lí 1.1
Nếu hàm số f(M) có các đạo hàm riêng trong lân cận \( V\subset {{\mathbb{R}}^{n}} \) nào đó của điểm \( {{M}_{0}}\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) và các đạo hàm riêng này liên tục tại \( {{M}_{0}} \) thì f(M) khả vi tại \( {{M}_{0}} \).
7. Nhận xét 1.3
Xét tại điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Từ đẳng thức (*), ta thấy khi \( \Delta x \) và \( \Delta y \) có giá trị tuyệt đối khá bé thì ta có công thức tính gần dúng
\( f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)\approx f({{x}_{0}},{{y}_{0}})+{{{f}’}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{{f}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y \)
Ví dụ 5. Cho hàm số \( f(x,y)={{e}^{y-{{x}^{2}}}}\cos ({{x}^{2}}y) \), tính \( df(1,-\pi ) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có các đạo hàm riêng là:
\( {{{f}’}_{x}}(x,y)=-2x{{e}^{y-{{x}^{2}}}}\left[ \cos ({{x}^{2}}y)+y\sin ({{x}^{2}}y) \right]\Rightarrow {{{f}’}_{x}}(1,-\pi )=2{{e}^{-\pi -1}} \)
\( {{{f}’}_{y}}(x,y)={{e}^{y-{{x}^{2}}}}\left[ \cos ({{x}^{2}}y)-{{x}^{2}}\sin ({{x}^{2}}y) \right]\Rightarrow {{{f}’}_{y}}(1,-\pi )=-{{e}^{-\pi -1}} \).
Vậy \( df(1,-\pi )={{{f}’}_{x}}(1,-\pi )dx+{{{f}’}_{y}}(1,-\pi )dy=(2dx-dy){{e}^{-\pi -1}} \).
Ví dụ 6. Cho hàm \( f(x,y,z)={{x}^{2}}{{y}^{5}}{{z}^{3}}-{{e}^{x-3y}} \), tính \( df(2,-1,-1) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{{{f}’}}_{x}}(x,y,z)=2x{{y}^{5}}{{z}^{3}}-{{e}^{x-3y}} \\ & {{{{f}’}}_{y}}(x,y,z)=5{{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{3}}+3{{e}^{x-3y}} \\ & {{{{f}’}}_{z}}(x,y,z)=3{{x}^{2}}{{y}^{5}}{{z}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{f}’}}_{x}}(2,-1,-1)=4-{{e}^{5}} \\ & {{{{f}’}}_{y}}(2,-1,-1)=-20+3{{e}^{5}} \\ & {{{{f}’}}_{z}}(2,-1,-1)=-12 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( df(2,-1,-1)=(4-{{e}^{5}})dx+(3{{e}^{5}}-20)dy-12dz \).
Ví dụ 7. Tính gần đúng giá trị \( \ln \frac{1,01}{0,98} \).
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số \( f(x,y)=\ln \frac{x}{y} \) tại điểm \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}})=(1,1) \) trong đó \( \Delta x=0,01 \) và \( \Delta y=-0,02 \), ta có:
\( {{{f}’}_{x}}(x,y)=\frac{1}{x},\,\,{{{f}’}_{y}}(x,y)=-\frac{1}{y} \).
Vậy \( \ln \frac{1,01}{0,98}\approx f(1,1)+{{{f}’}_{x}}(1,1)\Delta x+{{{f}’}_{y}}(1,1)\Delta y=\ln 1+1\cdot 0,01-1\cdot (-0,02)=0,03 \).
