Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.2. Đạo hàm của hàm số hợp
1. Định nghĩa 1.9
+ Cho tập khác rỗng \( D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} \). Xét hai ánh xạ
\( g:D\to {{\mathbb{R}}^{m}},({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})\mapsto ({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) \) và \( f:{{\mathbb{R}}^{m}}\supset g(D)\to \mathbb{R},({{u}_{1}},…,{{u}_{m}})\mapsto f({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) \).
Ánh xạ tích \( f\circ g:{{\mathbb{R}}^{n}}\supset D\to \mathbb{R} \)
\( ({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})\mapsto f({{u}_{1}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}}),…,{{u}_{m}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})) \) được gọi là hàm số hợp của n biến \( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \) qua m biến trung gian \( {{u}_{1}},…,{{u}_{m}} \).
+ Khi \( n=m=2 \), đặt \( F=f\circ g \), ta được hàm hợp hai biến là:
\( F(x,y)=f\left( u(x,y),v(x,y) \right) \)
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Định lý 1.2
Nếu hàm f có các đạo hàm riêng \( {{{f}’}_{u}},\,{{{f}’}_{v}} \) liên tục trong \( g(D) \) và u, v có các đạo hàm riêng \( {{{u}’}_{x}},{{{u}’}_{y}},{{{v}’}_{x}},{{{v}’}_{y}} \) trong D thì
\( {{{F}’}_{x}}(x,y)={{{f}’}_{u}}(u,v)\cdot {{{u}’}_{x}}(x,y)+{{{f}’}_{v}}(u,v)\cdot {{{v}’}_{x}}(x,y) \)
\( {{{F}’}_{y}}(x,y)={{{f}’}_{u}}(u,v)\cdot {{{u}’}_{y}}(x,y)+{{{f}’}_{v}}(u,v)\cdot {{{v}’}_{y}}(x,y) \)
Ví dụ 1. Cho hàm hợp \( F(x,y)=f\left( u(x,y),v(x,y) \right) \) trong đó \( f(u,v)={{u}^{2}}v,\,\,u={{x}^{2}}{{e}^{y}} \) và \( v=x{{y}^{3}} \). Tính \( {{{F}’}_{x}}(x,y) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có \( {{{F}’}_{x}}(x,y)={{({{u}^{2}}v{)}’}_{u}}\cdot {{({{x}^{2}}{{e}^{y}}{)}’}_{x}}+{{({{u}^{2}}v{)}’}_{v}}\cdot {{(x{{y}^{3}}{)}’}_{x}}=2uv\cdot 2x{{e}^{x}}+{{u}^{2}}{{y}^{3}}=5{{x}^{4}}{{y}^{3}}{{e}^{2y}} \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp \( z={{e}^{u}}\ln v \) trong đ.ó \( u=xy \) và \( v={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Thế trực tiếp, ta được \( z={{e}^{xy}}\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}) \).
Vậy, ta có: \( {{{z}’}_{x}}={{e}^{xy}}\left[ y\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\frac{2x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right],\,\,{{{z}’}_{y}}={{e}^{xy}}\left[ x\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\frac{2y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right] \)
3. Trường hợp riêng
+ Nếu hàm số \( z=f(x,y) \) với \( y=y(x) \) thì z là hàm số hợp theo biến x. Khi đó, ta viết \( z=f(x,y(x)) \) và đạo hàm của hàm z theo biến x là
\( {z}'(x)={{{f}’}_{x}}(x,y)+{{{f}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(x) \)
+ Nếu hàm \( z=f(x,y) \) với \( x=x(t) \)và \( y=y(t) \) thì z là hàm số hợp theo biến t. Khi đó, ta viết \( z=f\left( x(t),y(t) \right) \) và \( {z}'(t)={{{f}’}_{x}}(x,y)\cdot {x}'(t)+{{{f}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(t) \)
Ví dụ 3. Giả sử \( u=u(x,y) \) và \( v=v(x,y) \) khả vi trong lân cận của điểm (1,1) và thỏa hệ phương trình
\( \left\{ \begin{align} & y={{u}^{2}}+xv \\ & x={{v}^{2}}+yu \\ \end{align} \right. \).
Tính \( {{{u}’}_{x}}(1,1),\,\,{{{v}’}_{x}}(1,1) \) nếu biết \( u(1,1)=0 \) và \( v(1,1)=1 \).
Hướng dẫn giải:
Đạo hàm từng phương trình theo biến x, ta được:
\( \left\{ \begin{align} & 0=2u\cdot {{{{u}’}}_{x}}(x,y)+v+x\cdot {{{{v}’}}_{x}}(x,y) \\ & 1=2v\cdot {{{{v}’}}_{x}}(x,y)+y\cdot {{{{u}’}}_{x}}(x,y) \\ \end{align} \right. \)
Thay \( x=1,\,\,y=1,\,\,u=0 \) và \( v=1 \) vào hệ ta được:
\( \left\{ \begin{align} & 0=1+{{{{v}’}}_{x}}(1,1) \\ & 1=2{{{{v}’}}_{x}}(1,1)+{{{{u}’}}_{x}}(1,1) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{u}’}}_{x}}(1,1)=3 \\ & {{{{v}’}}_{x}}(1,1)=-1 \\ \end{align} \right. \).
