2.2. Đạo hàm của hàm số hợp

1. Định nghĩa 1.9

+ Cho tập khác rỗng  \( D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} \). Xét hai ánh xạ

 \( g:D\to {{\mathbb{R}}^{m}},({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})\mapsto ({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) \) và  \( f:{{\mathbb{R}}^{m}}\supset g(D)\to \mathbb{R},({{u}_{1}},…,{{u}_{m}})\mapsto f({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) \).

Ánh xạ tích  \( f\circ g:{{\mathbb{R}}^{n}}\supset D\to \mathbb{R} \)

 \( ({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})\mapsto f({{u}_{1}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}}),…,{{u}_{m}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})) \) được gọi là hàm số hợp của n biến  \( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \) qua m biến trung gian  \( {{u}_{1}},…,{{u}_{m}} \).

+ Khi  \( n=m=2 \), đặt  \( F=f\circ g \), ta được hàm hợp hai biến là:

 \( F(x,y)=f\left( u(x,y),v(x,y) \right) \)

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

2. Định lý 1.2

Nếu hàm f có các đạo hàm riêng  \( {{{f}’}_{u}},\,{{{f}’}_{v}} \) liên tục trong  \( g(D) \) và u, v có các đạo hàm riêng  \( {{{u}’}_{x}},{{{u}’}_{y}},{{{v}’}_{x}},{{{v}’}_{y}} \) trong D thì

 \( {{{F}’}_{x}}(x,y)={{{f}’}_{u}}(u,v)\cdot {{{u}’}_{x}}(x,y)+{{{f}’}_{v}}(u,v)\cdot {{{v}’}_{x}}(x,y) \)

 \( {{{F}’}_{y}}(x,y)={{{f}’}_{u}}(u,v)\cdot {{{u}’}_{y}}(x,y)+{{{f}’}_{v}}(u,v)\cdot {{{v}’}_{y}}(x,y) \)

Ví dụ 1. Cho hàm hợp \( F(x,y)=f\left( u(x,y),v(x,y) \right) \) trong đó  \( f(u,v)={{u}^{2}}v,\,\,u={{x}^{2}}{{e}^{y}} \) và  \( v=x{{y}^{3}} \). Tính  \( {{{F}’}_{x}}(x,y) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có  \( {{{F}’}_{x}}(x,y)={{({{u}^{2}}v{)}’}_{u}}\cdot {{({{x}^{2}}{{e}^{y}}{)}’}_{x}}+{{({{u}^{2}}v{)}’}_{v}}\cdot {{(x{{y}^{3}}{)}’}_{x}}=2uv\cdot 2x{{e}^{x}}+{{u}^{2}}{{y}^{3}}=5{{x}^{4}}{{y}^{3}}{{e}^{2y}} \).

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Ví dụ 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp \( z={{e}^{u}}\ln v \) trong đ.ó  \( u=xy \) và  \( v={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \).

Hướng dẫn giải:

Thế trực tiếp, ta được  \( z={{e}^{xy}}\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}) \).

Vậy, ta có:  \( {{{z}’}_{x}}={{e}^{xy}}\left[ y\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\frac{2x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right],\,\,{{{z}’}_{y}}={{e}^{xy}}\left[ x\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\frac{2y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right] \)

3. Trường hợp riêng

+ Nếu hàm số  \( z=f(x,y) \) với  \( y=y(x) \) thì z là hàm số hợp theo biến x. Khi đó, ta viết  \( z=f(x,y(x)) \) và đạo hàm của hàm z theo biến x là

 \( {z}'(x)={{{f}’}_{x}}(x,y)+{{{f}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(x) \)

+ Nếu hàm  \( z=f(x,y) \) với  \( x=x(t)  \)và  \( y=y(t) \) thì z là hàm số hợp theo biến t. Khi đó, ta viết  \( z=f\left( x(t),y(t) \right) \) và  \( {z}'(t)={{{f}’}_{x}}(x,y)\cdot {x}'(t)+{{{f}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(t) \)

Ví dụ 3. Giả sử \( u=u(x,y) \) và  \( v=v(x,y) \) khả vi trong lân cận của điểm (1,1) và thỏa hệ phương trình

\( \left\{ \begin{align}  & y={{u}^{2}}+xv \\  & x={{v}^{2}}+yu \\ \end{align} \right. \).

Tính  \( {{{u}’}_{x}}(1,1),\,\,{{{v}’}_{x}}(1,1) \) nếu biết  \( u(1,1)=0 \) và  \( v(1,1)=1 \).

Hướng dẫn giải:

Đạo hàm từng phương trình theo biến x, ta được:

 \( \left\{ \begin{align}  & 0=2u\cdot {{{{u}’}}_{x}}(x,y)+v+x\cdot {{{{v}’}}_{x}}(x,y) \\  & 1=2v\cdot {{{{v}’}}_{x}}(x,y)+y\cdot {{{{u}’}}_{x}}(x,y) \\ \end{align} \right. \)

Thay  \( x=1,\,\,y=1,\,\,u=0 \) và  \( v=1 \) vào hệ ta được:

 \( \left\{ \begin{align} & 0=1+{{{{v}’}}_{x}}(1,1) \\  & 1=2{{{{v}’}}_{x}}(1,1)+{{{{u}’}}_{x}}(1,1) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{{{u}’}}_{x}}(1,1)=3 \\ & {{{{v}’}}_{x}}(1,1)=-1 \\ \end{align} \right. \).

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


Menu