Xét không gian Euclide n chiều \( {{\mathbb{R}}^{n}} \) \( (n\ge 2) \) và tập hợp \( D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} \).
+ Một phần tử \( x\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) là một bộ n số thực \( ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\,\,({{x}_{i}}\in \mathbb{R},\,\,i=1,…,n) \). Điểm M biểu diễn phần tử x trong \( {{\mathbb{R}}^{n}} \) được gọi là có tọa độ \( ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \), kí hiệu \( M({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \). Khoảng cách giữa \( M({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \) và \( N({{y}_{1}},{{y}_{2}},…,{{y}_{n}}) \) được kí hiệu và định nghĩa là
\( d(M,N)=\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{y}_{1}})}^{2}}+{{({{x}_{2}}-{{y}_{2}})}^{2}}+…+{{({{x}_{n}}-{{y}_{n}})}^{2}}} \).
+ Xét điểm \( {{M}_{0}}\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) và số thực \( \varepsilon >0 \) bé tùy ý, ta gọi \( \varepsilon \) – lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm M0 là tập hợp tất cả các điểm \( M\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) sao cho \( d({{M}_{0}},M)<\varepsilon \) .
+ Điểm \( M\in D \) được gọi là điểm trong của D nếu tồn tại một lân cận của điểm M nằm hoàn toàn trong D. Tập hợp D được gọi là tập mở nếu mọi điểm \( M\in D \) đều là điểm trong của D.
+ Điểm \( M\in D \) được gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận của điểm M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa điểm không thuộc D (điểm biên của D có thể không thuộc D). Tập hợp tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, kí hiệu là \( \partial D \) (Xem hình 1.1). Tập hợp D được gọi là là tập đóng, kí hiệu là \( \bar{D} \), nếu \( \partial D\subset D \).
+ Xét điểm M0 cố định và số thực \( r>0 \). Tập hợp tất cả các điểm M sao cho \( d({{M}_{0}},M)<r \) được gọi là quả cầu mở tâm M0, bán kính r; tập hợp các điểm M thỏa \( d({{M}_{0}},M)\le r \) được gọi là quả cầu đóng tâm M0, bán kính r; tập hợp các điểm M thỏa \( d({{M}_{0}},M)=r \) được gọi là mặt cầu tâm M0, bán kính r. Tập hợp D được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu đóng chứa D.
+ Tập D được gọi là tập liên thông nếu ta có thể nối hai điểm bất kì thuộc D bởi một đường cong liền nét nằm hoàn toàn trong D (Hình 1.2). Tập liên thông D được gọi là đơn liên nếu D có biên là một mặt cong kín (Hình 1.3); tập liên thông D có biên là hợp của nhiều mặt cong kín rời nhau được gọi là đa liên (Hình 1.4).
Bài Giảng Toán Cao Cấp được xây dựng trên WordPress