Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.2. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động
a) Định nghĩa
Cho miền \( \bar{D}\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) đóng và bị chặn, \( \bar{D}=D\cup \partial D \). Giả sử hàm số \( z=f(x,y) \) liên tục trên \( \bar{D} \) và khả vi trong D (có thể không khả vi tại hữu hạn điểm trong D).
+ Giá trị \( f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \( z=f(x,y) \) trong \( \bar{D} \) tại điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in \bar{D} \), kí hiệu là \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\max }}\,f(x,y) \), nếu \( f({{x}_{0}},{{y}_{0}})\ge f(x,y),\,\,\forall (x,y)\in \bar{D} \).
+ Giá trị \( f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \)được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \( z=f(x,y) \) trong \( \bar{D} \) tại điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in \bar{D} \), kí hiệu là \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\min }}\,f(x,y) \) nếu \( f({{x}_{0}},{{y}_{0}})\le f(x,y),\,\,\forall (x,y)\in \bar{D} \).
+ Chú thích: Điểm M0 mà tại đó hàm số f(x,y) đạt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) có thể không phải là điểm cực trị địa phương. Người ta còn gọi M0 là điểm cực trị tuyệt đối hay cực trị toàn cục.
+ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giả sử miền \( \bar{D}\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) đóng và bị chặn có biên \( \partial D:\,\,\varphi (x,y)=0 \). Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x,y) liên tục trên \( \bar{D} \), khả vi trong D mở (có thể không khả vi tại hữu hạn điểm trong D), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm các điểm dừng \( {{M}_{1}},…,{{M}_{m}} \) của hàm số f(x,y) trong D bằng phương pháp cực trị tự do và các điểm \( {{N}_{1}},…,{{N}_{n}} \) trong D (nếu có) mà tại đó hàm số f(x,y) không khả vi.
Bước 2. Tìm các điểm dừng \( {{P}_{1}},…,{{P}_{n}} \) của hàm số f(x,y) trên \( \partial D \) thỏa điều kiện \( \varphi (x,y)=0 \) và các điểm \( {{Q}_{1}},…,{{Q}_{q}} \) trên \( \partial D \) (nếu có) mà tại đó hàm số \( \varphi (x,y) \) không khả vi.
Bước 3. Giá trị \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\max }}\,f(x,y),\,\,\underset{{\bar{D}}}{\mathop{\min }}\,f(x,y) \) cần tìm là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng trong tất cả các giá trị:
\( f({{M}_{1}}),…,f({{M}_{m}}),\,\,f({{N}_{1}}),…,f({{N}_{n}}),\,\,f({{P}_{1}}),…,f({{P}_{p}}),\,\,f({{Q}_{1}}),…,f({{Q}_{q}}) \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm \( f(x,y)={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \) trong miền \( \bar{D}=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\left| {{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}\le \frac{3}{4} \right. \right\} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( D=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\left| {{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}<\frac{3}{4} \right. \right\} \) và \( \partial D:{{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}=\frac{3}{4} \).
+ Xét hàm số f(x,y) trong miền mở D, ta có:
\( \left\{ \begin{align} & {{{{f}’}}_{x}}(x,y)=2x=0 \\ & {{{{f}’}}_{y}}(x,y)=2y=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow O(0,0) \) là điểm dừng thuộc D.
+ Xét hàm số f(x,y) trên \( \partial D \), ta có:
\( L(x,y)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\lambda (4{{x}^{2}}-4x+4{{y}^{2}}-3)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{L}’}}_{x}}(x,y)=2x+\lambda (2x-1)=0 \\ & {{{{L}’}}_{y}}(x,y)=2y+\lambda y=0 \\ & \varphi (x,y)=4{{x}^{2}}-4x+4{{y}^{2}}-3=0 \\ \end{align} \right. \).
Suy ra 2 điểm dừng thuộc \( \partial D \) là \( {{P}_{1}}\left( \frac{3}{2};0 \right) \) và \( {{P}_{2}}\left( -\frac{1}{2};0 \right) \).
Do \( f(O)=0,\,\,f({{P}_{1}})=\frac{9}{4},\,\,f({{P}_{2}})=\frac{1}{4} \) nên:
\( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\max }}\,f(x,y)=\frac{9}{4} \) tại \( {{P}_{1}}\left( \frac{3}{2};0 \right) \) và \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\min }}\,f(x,y)=0 \) tại \( O(0,0) \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+x+y \) trong miền \( \bar{D}=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\left| x\le 0,\,\,y\le 0,\,\,x+y\ge -3 \right. \right\} \).
Hướng dẫn giải:
Miền \( \bar{D} \) là hình \( \vartriangle OAB \) với \( O(0;0),\,\,A(-3;0) \) và \( B(0;-3) \).
+ Trong miền D, ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{{{z}’}}_{x}}(x,y)=2x-y+1=0 \\ & {{{{z}’}}_{y}}(x,y)=2y-x+1=0 \\ \end{align} \right. \).
Suy ra \( N(-1;-1) \) là điểm dừng và \( z(N)=-1 \).
+ Tại các đỉnh của \( \vartriangle OAB \), ta có: \( z(O)=0 \) và \( z(A)=z(B)=6 \).
+ Trên cạnh \( OA:\,\,-3<x<0,\,\,y=0 \), ta có: \( z={{x}^{2}}+x\Rightarrow {z}’=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \).
Suy ra \( {{P}_{1}}\left( -\frac{1}{2};0 \right) \) là điểm dừng và \( z({{P}_{1}})=-\frac{1}{4} \).
+ Trên cạnh \( OB:\,\,x=0,\,\,-3<y<0 \), ta có: \( z={{y}^{2}}+y\Rightarrow {z}’=0\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2} \).
Suy ra \( {{P}_{2}}\left( 0;-\frac{1}{2} \right) \) là điểm dừng và \( z({{P}_{2}})=-\frac{1}{4} \).
+ Trên cạnh \( AB:y=-x-3,\,\,-3<x<0 \), ta có: \( z=3{{x}^{2}}+9x+6\Rightarrow {z}’=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2} \).
Suy ra \( {{P}_{3}}\left( -\frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right) \) là điểm dừng và \( z({{P}_{3}})=-\frac{3}{4} \).
Vậy \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\max }}\,z(x,y)=6 \) tại A, B và \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\min }}\,z(x,y)=-1 \) tại N.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( z=\sin x+\sin y+\sin (x+y) \) trong miền \( \bar{D}=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\left| 0\le x\le \frac{\pi }{2},\,\,0\le y\le \frac{\pi }{2} \right. \right\} \).
Hướng dẫn giải:
Miền \( \bar{D} \) là hình vuông OABC, trong đó: \( O(0;0),\,\,A\left( \frac{\pi }{2};0 \right),\,\,B\left( \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \) và \( C\left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).
+ Tại các đỉnh của hình vuông OABC, ta có: \( z(O)=0 \) và \( z(A)=z(B)=z(C)=2 \).
+ Trong miền D, ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{{{z}’}}_{x}}(x,y)=0 \\ & {{{{z}’}}_{y}}(x,y)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x+\cos (x+y)=0 \\ & \cos y+\cos (x+y)=0 \\ \end{align} \right. \).
Suy ra \( N\left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right) \) là điểm dừng và \( z(N)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \).
+ Trên cạnh \( OA:\,\,y=0,\,\,0<x<\frac{\pi }{2} \), ta có: \( z=2\sin x\Rightarrow \) Hàm số không có điểm dừng.
+ Trên cạnh \( OC:\,\,x=0,\,\,0<y<\frac{\pi }{2} \), ta có: \( z=2\sin y\Rightarrow \) Hàm số koc ó điểm dừng.
+ Trên cạnh \( AB:\,\,x=\frac{\pi }{2},\,\,0<y<\frac{\pi }{2} \), ta có: \( z=1+\sin y+\cos y \).
Suy ra \( {{P}_{1}}\left( \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4} \right) \) là điểm dừng và \( z({{P}_{1}})=1+\sqrt{2} \).
+ Trên cạnh \( BC:\,\,y=\frac{\pi }{2},\,\,0<x<\frac{\pi }{2} \), ta có \( z=1+\sin x+\cos x \).
Suy ra \( {{P}_{2}}\left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right) \) là điểm dừng và \( z({{P}_{2}})=1+\sqrt{2} \).
Vậy \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\max }}\,z=\frac{3\sqrt{3}}{2} \) tại \( N\left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right) \) và \( \underset{{\bar{D}}}{\mathop{\min }}\,z=0 \) tại \( O(0;0) \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
