Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.4. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần cấp cao
1. Đạo hàm riêng cấp cao
+ Định nghĩa 1.12. Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số \( {{{f}’}_{x}}(x,y),\,\,{{{f}’}_{y}}(x,y) \) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x,y), kí hiệu là:
\({{{f}”}_{{{x}^{2}}}}={{({{{f}’}_{x}}{)}’}_{x}}\) hay \(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\) hay \({{f}_{xx}}={{({{f}_{x}})}_{x}}\),
\({{{f}”}_{{{y}^{2}}}}={{({{{f}’}_{y}}{)}’}_{y}}\) hay \(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)\) hay \({{f}_{yy}}={{({{f}_{y}})}_{y}}\),
\({{{f}”}_{xy}}={{({{{f}’}_{x}}{)}’}_{y}}\) hay \(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\) hay \({{f}_{xy}}={{({{f}_{x}})}_{y}}\)
\({{{f}”}_{yx}}={{({{{f}’}_{y}}{)}’}_{x}}\) hay \(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)\) hay \({{f}_{yx}}={{({{f}_{y}})}_{x}}\).
+ Các hàm số nhiều hơn hai biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn hai có định nghĩa tương tự, chẳng hạn:
\( f_{{{x}^{2}}{{y}^{3}}}^{(5)}(x,y)={{\left[ {{\left( {{({{({{{{f}’}}_{x}}(x,y){)}’}_{x}}{)}’}_{y}} \right)}^{\prime }}_{y} \right]}^{\prime }}_{y}={{\left( {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(x,y) \right)}^{\prime \prime \prime }}_{{{y}^{3}}} \),
\( f_{{{x}^{2}}yx{{z}^{2}}}^{(6)}(x,y,z)={{\left[ {{\left( {{({{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(x,y,z){)}’}_{y}} \right)}^{\prime }}_{x} \right]}^{\prime \prime }}_{{{z}^{2}}} \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số \( f(x,y)={{x}^{3}}{{e}^{y}}+{{x}^{2}}{{y}^{3}}-{{y}^{4}} \) tại \( (-1,1) \).
Hướng dẫn giải:
Đạo hàm riêng hàm \( f(x,y) \), ta được:
\( \left\{ \begin{align} & {{{{f}’}}_{x}}(x,y)=3{{x}^{2}}{{e}^{y}}+2x{{y}^{3}} \\ & {{{{f}’}}_{y}}(x,y)={{x}^{3}}{{e}^{y}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{y}^{3}} \\ \end{align} \right. \).
Tiếp tục đạo hàm riêng của \( {{{f}’}_{x}}(x,y) \) và \( {{{f}’}_{y}}(x,y) \), ta được:
\( \left\{ \begin{align} & {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(x,y)={{(3{{x}^{2}}{{e}^{y}}+2x{{y}^{3}}{)}’}_{x}}=6x{{e}^{y}}+2{{y}^{3}} \\ & {{{{f}”}}_{xy}}(x,y)={{(3{{x}^{2}}{{e}^{y}}+2x{{y}^{3}}{)}’}_{y}}=3{{x}^{2}}{{e}^{y}}+6x{{y}^{2}} \\ & {{{{f}”}}_{yx}}(x,y)={{({{x}^{3}}{{e}^{y}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{y}^{3}}{)}’}_{x}}=3{{x}^{2}}{{e}^{y}}+6x{{y}^{2}} \\ & {{{{f}”}}_{{{y}^{2}}}}(x,y)={{({{x}^{3}}{{e}^{y}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{y}^{3}}{)}’}_{y}}={{x}^{3}}{{e}^{y}}+6{{x}^{2}}y-12{{y}^{2}} \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( \left\{ \begin{align} & {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(-1,1)=-6e+2 \\ & {{{{f}”}}_{xy}}(-1,1)=3e-6 \\ & {{{{f}”}}_{yx}}(-1,1)=3e-6 \\ & {{{{f}”}}_{{{y}^{2}}}}(-1,1)=-e-6 \\ \end{align} \right. \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 2. Cho hàm \( f(x,y)={{x}^{5}}{{y}^{3}}+{{x}^{4}}{{y}^{4}}-{{x}^{3}}{{y}^{5}} \), tính \( f_{{{x}^{3}}yx{{y}^{2}}}^{(7)}(1,-1) \).
Hướng dẫn giải:
Lần lượt đạo hàm riêng của \( f(x,y) \) theo thứ tự, ta được:
\( {{{f}’}_{x}}=5{{x}^{4}}{{y}^{3}}+4{{x}^{3}}{{y}^{4}}-3{{x}^{2}}{{y}^{5}}\Rightarrow {{{f}”}_{{{x}^{2}}}}=20{{x}^{3}}{{y}^{3}}+12{{x}^{2}}{{y}^{4}}-6x{{y}^{5}} \),
Suy ra: \( {{{f}”’}_{{{x}^{3}}}}=60{{x}^{2}}{{y}^{3}}+24x{{y}^{4}}-6{{y}^{5}} \),
\( f_{{{x}^{3}}y}^{(4)}=180{{x}^{2}}{{y}^{2}}+96x{{y}^{3}}-30{{y}^{4}}\Rightarrow f_{{{x}^{3}}yx}^{(5)}=360x{{y}^{2}}+96{{y}^{3}} \),
Suy ra \( f_{{{x}^{3}}yxy}^{(6)}=720xy+288{{y}^{2}}\Rightarrow f_{{{x}^{3}}yx{{y}^{2}}}^{(7)}=720x+576y \).
Vậy \( f_{{{x}^{3}}yx{{y}^{2}}}^{(7)}(1,-1)=144 \).
Ví dụ 3. Cho hàm số \( u={{x}^{5}}{{y}^{2}}{{z}^{3}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{5}} \), tính \( u_{xy{{z}^{4}}}^{(6)}(1,-1,-1) \).
Hướng dẫn giải:
Do \( ({{x}^{5}}{{y}^{2}}{{z}^{3}})_{{{z}^{4}}}^{(4)}=0 \) nên ta có:
\( u_{xy{{z}^{4}}}^{(6)}(x,y,z)=(-{{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{5}})_{xy{{z}^{4}}}^{(6)}=-3\cdot 3\cdot 120{{x}^{2}}{{y}^{2}}z. \)
Vậy \( u_{xy{{z}^{4}}}^{(6)}(1,-1,-1)=1080 \).
+ Định lí 1.4 (Định lí Schwarz)
Nếu hàm số \( f(x,y) \) có các đạo hàm riêng cấp hai \( {{{f}”}_{xy}}(x,y) \) và \( {{{f}”}_{yx}}(x,y) \) liên tục trong miền mở \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) thì \( {{{f}”}_{xy}}(x,y)={{{f}”}_{yx}}(x,y) \).
+ Chú ý 1.6
– Định lí Schwarz còn được phát biểu cho đạo hàm cấp n của hàm số n biến \( f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \). Chẳng hạn, hàm số \( f(x,y,z) \) có các đạo hàm riêng cấp ba \( {{{f}”’}_{xyz}},\,\,{{{f}”’}_{xyz}},\,\,{{{f}”’}_{yzx}},\,\,{{{f}”’}_{zxy}} \) và \( {{{f}”’}_{zyx}} \) liên tục trong miền mở \( V\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) thì chúng bằng nhau.
– Ứng dụng của định lí 1.4 là, khi hàm nhiều biến có các đạo hàm riêng liên tục thì ta có thể thay đổi thứ tự lấy đạo hàm theo các biến một cách tùy ý.
Ví dụ 4. Cho hàm số \( f(x,y)={{e}^{2x-y}} \), tính \( f_{{{x}^{7}}{{y}^{2}}{{x}^{3}}{{y}^{2005}}}^{(2017)}(1,2) \).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí 1.4, ta có: \( f_{{{x}^{7}}{{y}^{2}}{{x}^{3}}{{y}^{2005}}}^{(2017)}(x,y)=f_{{{x}^{10}}{{y}^{2007}}}^{(2017)}(x,y) \).
Đạo hàm lần lượt 10 lần theo x của hàm \( f(x,y) \), ta được:
\( {{{f}’}_{x}}(x,y)=2{{e}^{2x-y}},\,\,{{{f}”}_{{{x}^{2}}}}(x,y)={{2}^{2}}{{e}^{2x-y}},… \)
Ta suy ra \( f_{{{x}^{10}}}^{(10)}(x,y)={{2}^{10}}{{e}^{2x-y}} \).
Tiếp tục đạo hàm 2007 lần theo y của hàm \( f_{{{x}^{10}}}^{(10)}(x,y) \), ta được:
\( f_{{{x}^{10}}y}^{(11)}=-{{2}^{10}}{{e}^{2x-y}},\,\,f_{{{x}^{10}}{{y}^{2}}}^{(12)}={{2}^{10}}{{e}^{2x-y}},\,\,f_{{{x}^{10}}{{y}^{3}}}^{(13)}=-{{2}^{10}}{{e}^{2x-y}},… \)
Ta suy ra \( f_{{{x}^{10}}{{y}^{2007}}}^{(2017)}=-{{2}^{10}}{{e}^{2x-y}} \).
Vậy \( f_{{{x}^{7}}{{y}^{2}}{{x}^{3}}{{y}^{2005}}}^{(2017)}(1,2)=-1024 \).
2. Vi phân toàn phần cấp cao
+ Định nghĩa 1.13. Giả sử f(x,y) là hàm khả vi với x, y là hai biến độc lập và \( df(x,y)={{{f}’}_{x}}(x,y)dx+{{{f}’}_{y}}(x,y)dy \). Giả sử \( df(x,y) \) cũng khả vi, khi đó vi phân của \( df(x,y) \), kí hiệu là \( {{d}^{2}}f(x,y)=d(df(x,y)) \), được gọi là vi phân toàn phần cấp hai (gọi tắt là vi phân cấp hai) của hàm số f(x,y).
+ Tiếp tục định nghĩa như trên, ta được vi phân cấp ba của hàm số f(x,y) là
\( \begin{align} & {{d}^{3}}f(x,y)=d({{d}^{2}}f(x,y)), \\ & ………………………………., \\ \end{align} \)
Vi phân cấp n của hàm số f(x,y) là: \( {{d}^{n}}f(x,y)=d({{d}^{n-1}}f(x,y)) \).
+ Công thức tính:
– Do x, y là hai biến độc lập nên các vi phân dx, dy là hằng số đối với x và y.
Kí hiệu \( {{(dx)}^{n}}=d{{x}^{n}} \) và \( {{(dy)}^{n}}=d{{y}^{n}} \), ta có:
\( {{d}^{2}}f(x,y)=d\left( {{{{f}’}}_{x}}(x,y)dx+{{{{f}’}}_{y}}(x,y)dy \right)={{\left[ {{{{f}’}}_{x}}(x,y)dx+{{{{f}’}}_{y}}(x,y)dy \right]}^{\prime }}_{x}dx+{{\left[ {{{{f}’}}_{x}}(x,y)dx+{{{{f}’}}_{y}}(x,y)dy \right]}^{\prime }}_{y}dy \)
\( =\left[ {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(x,y)dx+{{{{f}”}}_{xy}}(x,y)dy \right]dx+\left[ {{{{f}”}}_{xy}}(x,y)dx+{{{{f}”}}_{{{y}^{2}}}}(x,y)dy \right]dy \)
\( ={{{f}”}_{{{x}^{2}}}}(x,y){{(dx)}^{2}}+2{{{f}”}_{xy}}(x,y)dxdy+{{{f}”}_{{{y}^{2}}}}(x,y){{(dy)}^{2}} \).
Vậy ta có công thức vi phân cấp hai của \( f(x,y) \) là:
\( {{d}^{2}}f(x,y)={{{f}”}_{{{x}^{2}}}}(x,y)d{{x}^{2}}+2{{{f}”}_{xy}}(x,y)dxdy+{{{f}”}_{{{y}^{2}}}}(x,y)d{{y}^{2}} \).
Tương tự, ta có công thức vi phân cấp ba của f(x,y) là:
\( {{d}^{3}}f={{{f}”’}_{{{x}^{3}}}}d{{x}^{3}}+3{{{f}”’}_{{{x}^{2}}y}}d{{x}^{2}}dy+3{{{f}”’}_{x{{y}^{2}}}}dxd{{y}^{2}}+{{{f}”’}_{{{y}^{3}}}}d{{y}^{3}} \).
+ Công thức vi phân toàn phần cấp n của hàm số f(x,y) là:
\({{d}^{n}}f=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f_{{{x}^{k}}{{y}^{n-k}}}^{(n)}d{{x}^{k}}d{{y}^{n-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f_{{{x}^{n-k}}{{y}^{k}}}^{(n)}d{{x}^{n-k}}d{{y}^{k}}}\)
Trong đó: \( f_{{{x}^{n}}{{y}^{0}}}^{(n)}=f_{{{x}^{n}}}^{(n)},\,\,f_{{{x}^{0}}{{y}^{n}}}^{(n)}=f_{{{y}^{n}}}^{(n)},\,\,d{{x}^{n}}d{{y}^{0}}=d{{x}^{n}} \) và \( d{{x}^{0}}d{{y}^{n}}=d{{y}^{n}} \).
+ Chú ý 1.7:
– Nếu x và y là các biến trung gian phụ thuộc vào các biến s, t thì \( {{d}^{n}}x\ne d{{x}^{n}},\,\,{{d}^{n}}y\ne d{{y}^{n}} \) nên các công thức trên không còn đúng nữa. Các ví dụ sau đây chỉ xét trường hợp biến x và y độc lập.
– Vi phân toàn phần cấp cao của hàm nhiều hơn hai biến rất phức tạp trong chương trình ta không xét loại này.
Ví dụ 5. Cho hàm \( f(x,y)={{x}^{2}}{{y}^{3}}+x{{y}^{2}}-3{{x}^{3}}{{y}^{5}} \), tính \( {{d}^{2}}f(2,-1) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{{{f}’}}_{x}}(x,y)=2x{{y}^{3}}+{{y}^{2}}-9{{x}^{2}}{{y}^{5}} \\ & {{{{f}’}}_{y}}(x,y)=3{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2xy+15{{x}^{3}}{{y}^{4}} \\ \end{align} \right. \).
Suy ra \( \left\{ \begin{align} & {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(x,y)=2{{y}^{3}}-18x{{y}^{5}} \\ & {{{{f}”}}_{xy}}(x,y)=6x{{y}^{2}}+2y-45{{x}^{2}}{{y}^{4}} \\ & {{{{f}”}}_{{{y}^{2}}}}(x,y)=6{{x}^{2}}y+3x-60{{x}^{3}}{{y}^{3}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{f}”}}_{{{x}^{2}}}}(2,-1)=34 \\ & {{{{f}”}}_{xy}}(2,-1)=-170 \\ & {{{{f}”}}_{{{y}^{2}}}}(2,-1)=460 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{d}^{2}}f(2,-1)=34d{{x}^{2}}-340dxdy+460d{{y}^{2}} \).
Ví dụ 6. Tính vi phân cấp hai của hàm số \( x=\sin (x{{y}^{2}}) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{{{z}’}}_{x}}={{y}^{2}}\cos (x{{y}^{2}}) \\ & {{{{z}’}}_{y}}=2xy\cos (x{{y}^{2}}) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{z}”}}_{{{x}^{2}}}}=-{{y}^{4}}\sin (x{{y}^{2}}) \\ & {{{{z}”}}_{xy}}=2y\cos (x{{y}^{2}})-2x{{y}^{3}}\sin (x{{y}^{2}}) \\ & {{{{z}”}}_{{{y}^{2}}}}=2x\cos (x{{y}^{2}})-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}\sin (x{{y}^{2}}) \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{d}^{2}}z(x,y)=-{{y}^{4}}\sin (x{{y}^{2}})d{{x}^{2}}+4y\left[ \cos (x{{y}^{2}})-x{{y}^{2}}\sin (x{{y}^{2}})dxdy \right]+2x\left[ \cos (x{{y}^{2}})-2x{{y}^{2}}\sin 9x{{y}^{2}}) \right]d{{y}^{2}} \).
Ví dụ 7. Tính vi phân cấp ba của hàm \( f(x,y)={{x}^{3}}{{y}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{{f}’}_{x}}=3{{x}^{2}}{{y}^{2}}\Rightarrow {{{f}”}_{{{x}^{2}}}}=6x{{y}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{f}”’}}_{{{x}^{3}}}}=6{{y}^{2}} \\ & {{{{f}”’}}_{{{x}^{2}}y}}=12xy \\ \end{align} \right. \),
\( {{{f}’}_{y}}=2{{x}^{3}}y\Rightarrow {{{f}”}_{{{y}^{2}}}}=2{{x}^{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{f}”’}}_{x{{y}^{2}}}}=6{{x}^{2}} \\ & {{{{f}”’}}_{{{y}^{3}}}}=0 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{d}^{3}}f(x,y)=6{{y}^{2}}d{{x}^{3}}+36xyd{{x}^{2}}dy+18{{x}^{2}}dxd{{y}^{2}} \).
Ví dụ 8. Tính vi phân cấp ba của hàm số \( z={{e}^{2x}}\cos 3y \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{d}^{3}}z(x,y)={{{z}”’}_{{{x}^{3}}}}d{{x}^{3}}+3{{{z}”’}_{{{x}^{2}}y}}d{{x}^{2}}dy+3{{{z}”’}_{x{{y}^{2}}}}dxd{{y}^{2}}+{{{z}”’}_{{{y}^{3}}}}d{{y}^{3}} \)
\( =8{{e}^{2x}}\cos 3yd{{x}^{3}}-36{{e}^{2x}}\sin 3yd{{x}^{2}}dy-54{{e}^{2x}}\cos 3ydxd{{y}^{2}}+27{{e}^{2x}}\sin 3yd{{y}^{3}} \).
Ví dụ 9. Tính vi phân cấp 10 của hàm số \( f(x,y)={{x}^{3}}{{e}^{2y}} \).
Hướng dẫn giải:
Do \( f_{{{x}^{k}}{{y}^{10-k}}}^{(10)}(x,y)=0 \) với \( k\ge 4 \) nên ta có:
\( {{d}^{10}}f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}f_{{{x}^{k}}{{y}^{10-k}}}^{(10)}d{{x}^{k}}d{{y}^{10-k}}}=C_{10}^{0}f_{{{y}^{10}}}^{(10)}d{{x}^{0}}d{{y}^{10}}+C_{10}^{1}f_{x{{y}^{0}}}^{(10)}dxd{{y}^{9}}+C_{10}^{2}f_{{{x}^{2}}{{y}^{8}}}^{(10)}d{{x}^{2}}d{{y}^{8}}+C_{10}^{3}f_{{{x}^{3}}{{y}^{7}}}^{(10)}d{{x}^{3}}d{{y}^{7}} \)
\( =1024{{x}^{3}}{{e}^{2y}}d{{y}^{10}}+15360{{x}^{2}}{{e}^{2y}}dxd{{y}^{9}}+69120x{{e}^{2y}}d{{x}^{2}}d{{y}^{8}}+184320{{e}^{2y}}d{{x}^{3}}d{{y}^{7}} \).
