Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn
1. Hàm số ẩn một biến
+ Định nghĩa 1.10
Cho hàm số hai biến \( F(x,y) \) xác định trong miền mở \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \). Giả sử với mọi x thuộc lân cận của x0, tồn tại giá trị y duy nhất sao cho \( (x,y)\in D \) và \( F(x,y)=0 \). Khi đó, \( y=y(x) \) được gọi là hàm số ẩn biến x xác định bởi phương trình \( F(x,y)=0 \).
Ví dụ 1. Phương trình \( {{x}^{2}}+y-1=0 \) xác định hàm ẩn \( y=1-{{x}^{2}} \) trên \( \mathbb{R} \).
Ví dụ 2. Xét phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1=0 \), ta có các trường hợp:
a) Nếu chọn \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thuộc nửa trên của đường tròn \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \) thì ta được hầm ẩn \( y=\sqrt{1-{{x}^{2}}} \) của biến x trên \( (-1,1) \).
b) Nếu chọn \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thuộc nửa dưới của đường tròn \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \) thì ta được hàm ẩn \( y=-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \) của biến x trên \( (-1,1) \).
c) Nếu chọn \( {{M}_{0}}(-1,0) \) hoặc \( {{M}_{0}}(1,0) \) thuộc đường tròn \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \) thì trong lân cận của \( {{M}_{0}},\,\,\cancel{\exists }y \) nếu \( \left| x \right|>1 \) hoặc \( y=\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}} \) nếu \( \left| x \right|<1 \). Nghĩa là, không tồn tại hàm ẩn.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Định lí 1.3
Nếu hàm số \( F(x,y) \) thỏa các điều kiện:
+ liên tục trong lân cận U của điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \),
+ \( F({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0 \) và \( {{{F}’}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\ne 0 \),
+ tồn tại \( {{{F}’}_{x}}(x,y) \) và \( {{{F}’}_{y}}(x,y) \) liên tục trong U.
thì phương trình \( F(x,y)=0 \) xác định một hàm ẩn \( y=y(x) \) có đạo hàm liên tục trong lân cận của \( {{x}_{0}} \).
Mặt khác, ta có: \( dF(x,y)=0\Rightarrow {{{F}’}_{x}}(x,y)dx+{{{F}’}_{y}}(x,y)dy=0 \) hay \( {{{F}’}_{x}}(x,y)dx+{{{F}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(x)dx=0 \)
\( \Rightarrow {{{F}’}_{x}}(x,y)+{{{F}’}_{y}}(x,y)\cdot {y}'(x)=0 \).
Vậy, với \( {{{F}’}_{y}}(x,y)\ne 0 \), ta có công thức: \( {y}'(x)=-\frac{{{{{F}’}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}’}}_{y}}(x,y)} \).
Ví dụ 3. Cho phương trình \( xy=\arctan y \). Tính \( {y}'(0) \).
Hướng dẫn giải:
Thế \( x=0 \) vào \( xy=\arctan y \), ta được \( y=0 \).
Đặt \( F(x,y)=xy-\arctan y \), ta có:
\( \left\{ \begin{align} & {{{{F}’}}_{x}}=y \\ & {{{{F}’}}_{y}}=x-\frac{1}{1+{{y}^{2}}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {y}'(x)=-\frac{y(1+{{y}^{2}})}{x+x{{y}^{2}}-1}\Rightarrow {y}'(0)=0 \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 4. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(a,3)\,\,(a>5) \) nằm trên đường conic có phương trình
\( (C):8{{x}^{2}}+15{{y}^{2}}-24xy-16x+30y-1=0 \)
Hướng dẫn giải:
Lời giải:
Do \( M\in (C) \) và \( a>5 \) nên \( a=7\Rightarrow M(7,3) \).
Ta có \( F=8{{x}^{2}}+15{{y}^{2}}-24xy-16x+30y-1=0 \).
Suy ra \( {{{F}’}_{x}}=16x-24y-16 \) và \( {{{F}’}_{y}}=30y-24x+30 \).
Vậy \( {y}'(x)=-\frac{{{{{F}’}}_{x}}}{{{{{F}’}}_{y}}}=-\frac{16x-24y-16}{30y-24x+30}\Rightarrow {y}'(7)=\frac{1}{2} \).
Cách khác:
Đạo hàm hai vế phương trình của (C) theo biến x, ta được:
\( 16x+30y{y}’-24(y+x{y}’)-16+30{y}’=0 \).
Thay \( x=7 \) và \( y=3 \), ta được \( {y}'(7)=\frac{1}{2} \).
3. Hàm số ẩn hai biến
+ Định nghĩa 1.11. Cho hàm số ba biến \( F(x,y,z) \) xác định trong miền mở \( \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}) \). Giả sử với mọi \( (x,y) \) thuộc lân cận của \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \), tồn tại giá trị z duy nhất sao cho \( (x,y,z)\in \Omega \) và \( F(x,y,z)=0 \). Khi đó, \( z=z(x,y) \) được gọi là hàm số ẩn hai biến x và y xác định bởi phương trình \( F(x,y,z)=0 \).
Giả sử các hàm số ở trên đều khả vi, đạo hàm riêng hai vế của phương trình \( F(x,y,z)=0 \) lần lượt theo x và y ta được:
\( {{{F}’}_{x}}+{{{F}’}_{z}}\cdot {{{z}’}_{x}}=0 \) và \( {{{F}’}_{y}}+{{{F}’}_{z}}\cdot {{{z}’}_{y}}=0 \).
Vậy, với \( {{{F}’}_{z}}\ne 0 \) ta có công thức: \( {{{z}’}_{x}}=-\frac{{{{{F}’}}_{x}}}{{{{{F}’}}_{z}}},\,\,{{{z}’}_{y}}=-\frac{{{{{F}’}}_{y}}}{{{{{F}’}}_{z}}} \).
Ví dụ 5. Tính \( {{{z}’}_{x}} \) và \( {{{z}’}_{y}} \), trong đó hàm ẩn \( z(x,y) \) thỏa phương trình \( xyz=\cos (x+y+z) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có \( F(x,y,z)=xyz-\cos (x+y+z) \), suy ra: \( \left\{ \begin{align} & {{{{F}’}}_{x}}=yz+\sin (x+y+z) \\ & {{{{F}’}}_{y}}=xz+\sin (x+y+z) \\ & {{{{F}’}}_{z}}=xy+\sin (x+y+z) \\ \end{align} \right. \).
Vậy \({{{z}’}_{x}}=-\frac{yz+\sin (x+y+z)}{xy+\sin (x+y+z)},\,\,{{{z}’}_{y}}=-\frac{xz+\sin (x+y+z)}{xy+\sin (x+y+z)}\).
Ví dụ 6. Tính \( {{{z}’}_{y}} \), với hàm ẩn \( z(x,y) \) thỏa phương trình mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-2=0 \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( F={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{F}’}}_{y}}=2y+4 \\ & {{{{F}’}}_{z}}=2z-6 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{{z}’}_{y}}(x,y)=-\frac{y+2}{x-3} \).
