Bài Giảng Toán Cao Cấp
1.2. Hàm số nhiều biến
Định nghĩa 1.2.
Trong \( {{\mathbb{R}}^{n}} \) cho tập D khác rỗng. Ánh xạ
\( \begin{align} & f:D\to \mathbb{R} \\ & ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\mapsto u=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \\ \end{align} \)
được gọi là hàm số n biến. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f, kí hiệu là \( {{D}_{f}} \). Các biến \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}} \) là các biến độc lập.
Nếu \( M({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \) thì ta có thể viết \( u=f(M) \). Khi \( n=3 \), ta có hàm số ba biến và thường viết là \( u=f(x,y,z) \).
+ Khi \( n=2 \), ta có hàm số hai biến và thường viết là \( z=f(x,y) \). Giá trị \( z=f(x,y) \) được gọi là giá trị của f tại (x,y) và miền giá trị của hàm số f là \( G=\left\{ z\in \mathbb{R}\left| z=f(x,y),\,\,(x,y)\in {{D}_{f}} \right. \right\} \).
Đồ thị của hàm \( z=f(x,y) \) là tập hợp tất cả các điểm \( N(x,y,f(M)) \) trong không gian Oxyz, với \( M(x,y)\in {{D}_{f}} \) (Hình 1.5).
Chú ý:
– Trong trường hợp khi xét hàm số f(M) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các điểm \( M\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) sao cho f(M) có nghĩa. Miền xác định của hàm f thường là tập liên thông.
– Trong chương trình, chủ yếu ta chỉ xét các hàm số hai biến và ba biến.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Hàm số \( f(x,y)=3{{x}^{2}}y-\cos xy \) có \( {{D}_{f}}={{\mathbb{R}}^{2}} \).
Ví dụ 2. Hàm số \( f(x,y)=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \) có miền xác định là hình tròn đóng tâm O(0,0), bán kính \( R=2 \) nằm trong mặt phẳng Oxy.
Vì \( M(x,y)\in {{D}_{f}} \) nên \( 4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4 \).
Ví dụ 3. Hàm \( z=\frac{xy}{\sqrt{1-x+y}} \) có miền xác định là nửa mặt phẳng trong Oxy, nằm phía trên đường thẳng \( y=x-1 \).
Vì \( M(x,y)\in {{D}_{z}} \) nên \( 1-x+y>0\Leftrightarrow y>x-1 \).
Ví dụ 4. Hàm \( u=\ln ({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-z) \) có miền xác định là phần không gian trong Oxyz, nằm phía dưới mặt parabolic eliptic \( z={{x}^{2}}+4{{y}^{2}} \).
Vì \( M(x,y,z)\in {{D}_{u}} \) nên \( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-z>0\Leftrightarrow z<{{x}^{2}}+4{{y}^{2}} \).
