1.2. Hàm số nhiều biến

Định nghĩa 1.2.

Trong  \( {{\mathbb{R}}^{n}} \) cho tập D khác rỗng. Ánh xạ

 \( \begin{align}  & f:D\to \mathbb{R} \\  & ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})\mapsto u=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \\ \end{align} \)

được gọi là hàm số n biến. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f, kí hiệu là  \( {{D}_{f}} \). Các biến  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}} \) là các biến độc lập.

Nếu  \( M({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \) thì ta có thể viết  \( u=f(M) \). Khi  \( n=3 \), ta có hàm số ba biến và thường viết là  \( u=f(x,y,z) \).

+ Khi  \( n=2 \), ta có hàm số hai biến và thường viết là  \( z=f(x,y) \). Giá trị  \( z=f(x,y) \) được gọi là giá trị của f tại (x,y) và miền giá trị của hàm số f là  \( G=\left\{ z\in \mathbb{R}\left| z=f(x,y),\,\,(x,y)\in {{D}_{f}} \right. \right\} \).

Đồ thị của hàm  \( z=f(x,y) \) là tập hợp tất cả các điểm  \( N(x,y,f(M)) \) trong không gian Oxyz, với  \( M(x,y)\in {{D}_{f}} \) (Hình 1.5).

Chú ý:

– Trong trường hợp khi xét hàm số f(M) mà không nói  gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các điểm  \( M\in {{\mathbb{R}}^{n}} \) sao cho f(M) có nghĩa. Miền xác định của hàm f thường là tập liên thông.

– Trong chương trình, chủ yếu ta chỉ xét các hàm số hai biến và ba biến.

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Ví dụ 1. Hàm số \( f(x,y)=3{{x}^{2}}y-\cos xy \) có  \( {{D}_{f}}={{\mathbb{R}}^{2}} \).

Ví dụ 2. Hàm số \( f(x,y)=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \) có miền xác định là hình tròn đóng tâm O(0,0), bán kính  \( R=2 \) nằm trong mặt phẳng Oxy.

Vì  \( M(x,y)\in {{D}_{f}} \) nên  \( 4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4 \).

Ví dụ 3. Hàm \( z=\frac{xy}{\sqrt{1-x+y}} \) có miền xác định là nửa mặt phẳng trong Oxy, nằm phía trên đường thẳng  \( y=x-1 \).

Vì  \( M(x,y)\in {{D}_{z}} \) nên  \( 1-x+y>0\Leftrightarrow y>x-1 \).

Ví dụ 4. Hàm \( u=\ln ({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-z) \) có miền xác định là phần không gian trong Oxyz, nằm phía dưới mặt parabolic eliptic  \( z={{x}^{2}}+4{{y}^{2}} \).

Vì  \( M(x,y,z)\in {{D}_{u}} \) nên  \( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-z>0\Leftrightarrow z<{{x}^{2}}+4{{y}^{2}} \).


Menu