Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
3.2. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động a) Định nghĩa Cho miền ( bar{D}subset {{mathbb{R}}^{2}} ) đóng và bị chặn, ( bar{D}=Dcup partial D ). Giả sử hàm số ( z=f(x,y) ) liên tục trên ( bar{D} ) và khả vi trong D […]
Cực trị địa phương
3.1. Cực trị địa phương 1. Định nghĩa + Giả sử hàm số ( z=f(x,y) ) xác định trong miền D chứa ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Nếu với mọi điểm M(x,y) thuộc lân cận của M0 nhưng khác M0 mà hiệu ( Delta f=f(M)-f({{M}_{0}})ne 0 ) có duấ không đổi thì ta nói rằn hàm số […]
Khai triển Taylor của hàm số hai biến
2.6. Khai triển Taylor của hàm số hai biến Công thức + Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp ( (n+1) ) liên tục trong một lân cận V có điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Giả sử điểm ( M({{x}_{0}}+Delta x,,{{y}_{0}}+Delta y) ) cũng thuộc V thì có khai triển Taylor của […]
Đạo hàm theo hướng – Vectơ gradient
2.5. Đạo hàm theo hướng – Vectơ gradient 1. Hàm vectơ + Định nghĩa 1.14. – Ánh xạ ( vec{r}:Tsubset mathbb{R}to {{mathbb{R}}^{n}} ) ( tmapsto vec{r}(t)=left( {{x}_{1}}(t),{{x}_{2}}(t),…,{{x}_{n}}(t) right) ) được gọi là một hàm vectơ. – Đạo hàm của hàm vectơ được xác định: ({vec{r}}'(t)=underset{tto {{t}_{0}}}{mathop{lim }},frac{vec{r}(t)-vec{r}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}=underset{tto {{t}_{0}}}{mathop{lim }},left( frac{{{x}_{1}}(t)-{{x}_{1}}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}},…,frac{{{x}_{n}}(t)-{{x}_{n}}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}} right)). Vậy ta có công […]
Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần cấp cao
2.4. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần cấp cao 1. Đạo hàm riêng cấp cao + Định nghĩa 1.12. Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số ( {{{f}’}_{x}}(x,y),,,{{{f}’}_{y}}(x,y) ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x,y), kí hiệu là: ({{{f}”}_{{{x}^{2}}}}={{({{{f}’}_{x}}{)}’}_{x}}) hay (frac{{{partial }^{2}}f}{partial {{x}^{2}}}=frac{partial […]
Đạo hàm của hàm số ẩn
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn 1. Hàm số ẩn một biến + Định nghĩa 1.10 Cho hàm số hai biến ( F(x,y) ) xác định trong miền mở ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) chứa điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Giả sử với mọi x thuộc lân cận của x0, tồn tại giá trị y duy […]
Đạo hàm của hàm số hợp
2.2. Đạo hàm của hàm số hợp 1. Định nghĩa 1.9 + Cho tập khác rỗng ( Dsubset {{mathbb{R}}^{n}} ). Xét hai ánh xạ ( g:Dto {{mathbb{R}}^{m}},({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})mapsto ({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) ) và ( f:{{mathbb{R}}^{m}}supset g(D)to mathbb{R},({{u}_{1}},…,{{u}_{m}})mapsto f({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) ). Ánh xạ tích ( fcirc g:{{mathbb{R}}^{n}}supset Dto mathbb{R} ) ( ({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})mapsto f({{u}_{1}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}}),…,{{u}_{m}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})) ) được gọi là hàm số hợp […]
Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
2.1. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 1. Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm số ( f(x,y) )xác định trên miền mở ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) chứa điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Cố định ( y={{y}_{0}} ), ta có hàm số một biến ( f(x,{{y}_{0}}) ). Nếu hàm số ( f(x,{{y}_{0}}) […]
Tính liên tục của hàm số hai biến
1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến Định nghĩa 1.6 + Hàm số ( f(x,y) ) được gọi là liên tục tại điểm ( ({{x}_{0}},{{y}_{0}})in {{D}_{f}}subset {{mathbb{R}}^{2}} ) nếu ( underset{(x,y)to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{mathop{lim }},f(x,y)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). + Hàm số ( f(x,y) ) được gọi là liên tục trên miền ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) nếu ( […]
Giới hạn của hàm số hai biến
1.3. Giới hạn của hàm số hai biến 1. Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng Oxy, điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ) được gọi là điểm tụ của dãy điểm ( {{left{ {{M}_{n}}({{x}_{n}},{{y}_{n}}) right}}_{nin {{mathbb{Z}}^{+}}}} ) nếu mọi lân cận của điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ) đều chứa vô số phần tử của dãy. + Điểm O(0,0) là […]
Hàm số nhiều biến
1.2. Hàm số nhiều biến Định nghĩa 1.2. Trong ( {{mathbb{R}}^{n}} ) cho tập D khác rỗng. Ánh xạ ( begin{align} & f:Dto mathbb{R} \ & ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})mapsto u=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \ end{align} ) được gọi là hàm số n biến. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f, kí hiệu là ( {{D}_{f}} […]
Tập hợp trong R^n
1.1. Tập hợp trong ( {{mathbb{R}}^{n}} ) Định nghĩa 1.1 Xét không gian Euclide n chiều ( {{mathbb{R}}^{n}} ) ( (nge 2) ) và tập hợp ( Dsubset {{mathbb{R}}^{n}} ). + Một phần tử ( xin {{mathbb{R}}^{n}} ) là một bộ n số thực ( ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}),,({{x}_{i}}in mathbb{R},,,i=1,…,n) ). Điểm M biểu diễn phần tử x […]