Bài Giảng Toán Cao Cấp

Giả sử x là biến độc lập và hàm  \( y=f(x) \) khả vi trong lân cận nào đó của điểm  \( {{x}_{0}} \). Vi phân thứ nhất  \( df={f}'(x)dx \) là hàm của hai biến x và dx, trong đó dx là số tùy ý không phụ thuộc vào x và do đó:  \( (dx{)}’=0 \).

Vi phân cấp hai (hay vi phân cấp hai)  \( {{d}^{2}}f \) của hàm  \( f(x) \) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) được định nghĩa như là vi phân của hàm  \( df={f}'(x)dx \) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) với các điều kiện sau đây:

(1) df phải được xem là hàm của chỉ một biến độc lập x (nói cách khác: khi tính vi phân của  \( {f}'(x)dx \) ta cần tính vi phân của  \( {f}'(x) \), còn dx được xem là hằng số);

(2) Số gia của biến độc lập x xuất hiện khi tính vi phân của  \( {f}'(x) \) được xem là bằng số gia đầu tiên, tức là bằng dx.

Như vậy theo định nghĩa, ta có:

 \( {{d}^{2}}f=d(df)=d\left( {f}'(x)dx \right)=\left( d{f}'(x) \right)dx={f}”(x)dxdx={f}”(x){{(dx)}^{2}} \).

Hay là:  \( {{d}^{2}}f={f}”(x)d{{x}^{2}},\,\,d{{x}^{2}}={{(dx)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(3.6) \)

Bằng phương pháp quy nạp, đối với vi phân cấp n ta thu được công thức:  \( {{d}^{n}}f={{f}^{(n)}}(x)d{{x}^{n}}\,\,\,\,\,\,\,(3.7) \)

Vi phân cấp n (n>1) của biến độc lập x được xem là bằng 0, tức là  \( {{d}^{n}}x=0 \) với  \( n>1\,\,\,\,\,\,(3.8) \)

Nếu  \( \exists {{d}^{n}}f \) và  \( \exists {{d}^{n}}g \) và  \( \alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) thì:

 \( {{d}^{n}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {{d}^{n}}f+\beta {{d}^{n}}g\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.9) \)

 \( {{d}^{n}}fg=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{d}^{n-k}}f\cdot {{d}^{k}}g}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.10) \)