Bài Giảng Toán Cao Cấp

Đạo hàm  \( {f}'(x) \) được gọi là đạo hàm cấp 1 (hay đạo hàm bậc nhất). Đạo hàm của  \( {f}'(x) \) được gọi là đạo hàm cấp hai (hay đạo hàm thứ hai) của hàm  \( f(x) \) và được kí hiệu là  \( {y}” \) hay  \( {f}”(x) \). Đạo hàm của  \( {f}”(x) \) được gọi là đạo hàm cấp 3 (hay đạo hàm thứ ba) của hàm  \( f(x) \) và được kí hiệu  \( {y}”’ \) hay  \( {f}”'(x) \) (hay  \( {{y}^{(3)}},{{f}^{(3)}}(x) \) v.v…)

Ta có  bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

 \( \begin{array}{*{35}{l}}  f(x) & {f}'(x) & {{f}^{(n)}}(x)  \\  {{x}^{a}} & a{{x}^{a-1}} & a(a-1)(a-2)\cdot \cdot \cdot (a-n+1){{x}^{a-n}},\,\,x>0  \\ {{e}^{x}} & {{e}^{x}} & {{e}^{x}}  \\ {{a}^{x}} & {{a}^{x}}\ln a & {{a}^{x}}{{(\ln a)}^{n}}  \\  \ln x & \frac{1}{x} & {{(-1)}^{n-1}}(n-1)!\frac{1}{{{x}^{n}}},\,\,x>0  \\ {{\log }_{a}}x & \frac{1}{x\ln a} & {{(-1)}^{n-1}}(n-1)!\frac{1}{{{x}^{n}}\ln a},\,\,x>0  \\  \sin x & \cos x & \sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)  \\  \cos x & -\sin x & \cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)  \\  \tan x & \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} & {}  \\  \cot x & -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} & {}  \\  \arcsin x & \frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\,\,\left| x \right|<1 & {}  \\ \arccos x & -\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\,\,\left| x \right|<1 & {}  \\  \arctan x & \frac{1}{1+{{x}^{2}}} & {}  \\ arccot x & -\frac{1}{1+{{x}^{2}}} & {}  \\\end{array} \)

Việc tính đạo hàm được dựa trên các quy tắc sau đây:

(1)  \( \frac{d}{dx}[u+v]=\frac{d}{dx}u+\frac{d}{dx}v \).

(2)  \( \frac{d}{dx}(\alpha u)=\alpha \frac{du}{dx},\,\,\alpha \in \mathbb{R} \).

(3)  \( \frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx} \).

(4)  \( \frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right)=\frac{1}{{{v}^{2}}}\left( x\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right),\,\,v\ne 0 \).

(5)  \( \frac{d}{dx}f\left[ u(x) \right]=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx} \) (đạo hàm của hàm hợp).

(6) Nếu hàm  \( y=y(x) \) có hàm ngược  \( x=x(y) \) và  \( \frac{dy}{dx}\equiv {{{y}’}_{x}}\ne 0 \) thì  \( \frac{dx}{dy}\equiv {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{{{{{y}’}}_{x}}} \).

(7) Nếu hàm  \( y=y(x) \) được cho dưới dạng ẩn bởi hệ thức khả vi  \( F(x,y)=0 \) và  \( {{{F}’}_{y}}\ne 0 \) thì  \( \frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}’}}_{x}}}{{{{{F}’}}_{y}}} \), trong đó  \( {{{F}’}_{x}} \) và  \( {{{F}’}_{y}} \) là đạo hàm theo biến tương ứng của hàm  \( F(x,y) \) khi xem biến kia không đổi.

(8) Nếu hàm  \( y=y(x) \) được cho dưới dạng tham số  \( x=x(t) \),  \( y=y(t)\,\,\left( {x}'(t)\ne 0 \right) \) thì  \( \frac{dy}{dx}=\frac{{y}'(t)}{{x}'(t)} \).

(9)  \( \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}(\alpha u+\beta v)=\alpha \frac{{{d}^{n}}u}{d{{x}^{n}}}+\beta \frac{{{d}^{n}}v}{d{{x}^{n}}} \); \(\frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}uv=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}\frac{{{d}^{n-k}}}{d{{x}^{n-k}}}u\frac{{{d}^{k}}}{d{{x}^{k}}}v}\) (quy tắc Leibniz).

 \(  \oplus \)  Nhận xét:

(a) Khi tính đạo hàm của một biểu thức đã cho ta có thể biến đổi sơ bộ biểu thức đó sao cho quá trình tính đạo hàm đơn giản hơn. Chẳng hạn nếu biểu thức đó là logarit thì có thể sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi… rồi tính đạo hàm. Trong nhiều trường hợp khi tính đạo hàm ta nên lấy logarit hàm đã cho rồi áp dụng công thức đạo hàm loga:  \( \frac{d}{dx}\ln y(x)=\frac{{y}'(x)}{y(x)} \).

(b) Nếu hàm khả vi trên một khoảng được cho bởi phương trình  \( F(x,y)=0 \) thì đạo hàm  \( {y}'(x) \) có thể tìm từ phương trình:  \( \frac{d}{dx}F(x,y)=0 \).