Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.2.3. Bài tập về Vi phân
I. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Tính vi phân df nếu
a) \( f(x)=\ln \left( \arctan (\sin x) \right) \).
b) \( f(x)=x\sqrt{64-{{x}^{2}}}+64\arcsin \frac{x}{8} \).
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng các tính chất của vi phân ta có:
\(df=\frac{d\left[ \arctan (\sin x) \right]}{\arctan (\sin x)}=\frac{d(\sin x)}{(1+{{\sin }^{2}}x)\arctan (\sin x)}=\frac{\cos xdx}{(1+{{\sin }^{2}}x)\arctan (\sin x)}\).
b) \( df=df\left[ x\sqrt{64-{{x}^{2}}} \right]+d\left[ 64\arcsin \frac{x}{8} \right]=xd\sqrt{64-{{x}^{2}}}+\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx+64d\left( \arcsin \frac{x}{8} \right) \)
\( =x\frac{d(64-{{x}^{2}})}{2\sqrt{64-{{x}^{2}}}}+\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx+64\cdot \frac{d\left( \frac{x}{8} \right)}{\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{64}}}=\frac{-{{x}^{2}}dx}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}}+\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx+64\frac{dx}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}} \)
\( =2\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx,\,\,\left| x \right|<8 \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 2. Tính vi phân cấp 2 của các hàm:
a) \( f(x)=x{{e}^{-x}} \), nếu x là biến độc lập;
b) \( f(x)=\sin {{x}^{2}} \) nếu
+ x là biến độc lập.
+ x là hàm của một biến độc lập nào đó.
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
a) Phương pháp I. Theo định nghĩa vi phân cấp 2 ta có:
\( \begin{align}& {{d}^{2}}f=d[df]=d\left[ xd{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}dx \right]=d\left( -x{{e}^{-x}}dx+{{e}^{-x}}dx \right)=-d(x{{e}^{-x}})dx+d({{e}^{-x}})dx \\ & \,\,\,\,\,\,\,=-(xd{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}dx)dx-{{e}^{-x}}d{{x}^{2}}=x{{e}^{-x}}d{{x}^{2}}-{{e}^{-x}}d{{x}^{2}}-{{e}^{-x}}d{{x}^{2}}=(x-2){{e}^{-x}}d{{x}^{2}} \\ \end{align} \)
Phương pháp II. Tính đạo hàm cấp hai \( {f}”(x) \) ta có:
\( {f}”(x)=(x{{e}^{-x}}{)}”=({{e}^{-x}}-x{{e}^{-x}}{)}’=-{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+x{{e}^{-x}}=(x-2){{e}^{-x}} \) và theo công thức (3.6) ta có:
\( {{d}^{2}}f=(x-2){{e}^{-x}}d{{x}^{2}} \).
b)
+ x là biến độc lập.
Phương pháp I. Theo định nghĩa vi phân cấp hai ta có:
\( \begin{align} & {{d}^{2}}f=d\left[ d\sin {{x}^{2}} \right]=d\left[ 2x\cos {{x}^{2}}dx \right]=d\left[ 2x\cos {{x}^{2}} \right]dx=\left( 2\cos {{x}^{2}}dx+2x(-\sin {{x}^{2}})2xdx \right)dx \\ & \,\,\,\,\,\,\,=\left( 2\cos {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}} \right)d{{x}^{2}} \\ \end{align} \)
Phương pháp II. Tính đạo hàm cấp hai \( {{{f}”}_{xx}} \), ta có:
\( {{{f}’}_{x}}=2x\cos {{x}^{2}},\,\,{{{f}”}_{xx}}=2\cos {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}} \) và theo (3.6) ta thu được:
\( {{d}^{2}}f=\left( 2\cos {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}} \right)d{{x}^{2}} \).
+ x là hàm của một biến độc lập nào đó.
Nếu x là biến trung gian thì nói chung \( {{d}^{2}}x\ne 0 \) và do đó ta có:
\( \begin{align} & {{d}^{2}}f=d\left( 2x\cos {{x}^{2}}dx \right)=\left( 2x\cos {{x}^{2}} \right){{d}^{2}}x+\left[ d(2x\cos {{x}^{2}}) \right]dx \\ & \,\,\,\,\,\,\,=2x\cos {{x}^{2}}{{d}^{2}}x+(2\cos {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}})d{{x}^{2}} \\ \end{align} \)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng các giá trị:
a) \( \sqrt[5]{\frac{2-0,15}{2+0,15}} \);
b) \( \arcsin (0,51) \);
c) \( \sin 29{}^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Công thức cơ bản để ứng dụng vi phân để tính gần đúng là:
\( \Delta f({{x}_{0}})\approx df({{x}_{0}})\Rightarrow f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\approx {f}'({{x}_{0}})\Delta x \)
\( \Rightarrow f({{x}_{0}}+\Delta x)\approx f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})\Delta x \).
Từ đó, để tính gần đúng các giá trị ta cần thực hiện như sau:
(1) Chỉ ra biểu thức giải tích đối với hàm mà giá trị gần đúng của nó cần phải tính.
(2) Chọn điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}}) \) sao cho giá trị của hàm và của đạo hàm cấp 1 của nó tại điểm ấy có thể tính mà không dùng bảng.
(3) Tiếp đến là áp dụng công thức vừa nếu.
a) \( \sqrt[5]{\frac{2-0,15}{2+0,15}} \)
Số đã cho là giá trị của hàm \( y=\sqrt[5]{\frac{2-x}{2+x}} \) tại điểm \( x=0,15 \). Tại đặt \( {{x}_{0}}=0,\,\,\Delta x=0,15 \).
Ta có: \( {y}’=\frac{-4\sqrt[5]{\frac{2-x}{2+x}}}{5(4-{{x}^{2}})}=-\frac{4y}{5(4-{{x}^{2}})}\Rightarrow {y}'({{x}_{0}})={y}'(0)=-\frac{1}{5} \).
Do đó vì \( y(0)=1 \) nên \( y(0,15)\approx y(0)+{y}'(0)\Delta x=1-\frac{1}{5}\cdot (0,15)=1-0,03=0,97 \).
b) \( \arcsin (0,51) \)
Xét hàm \( y=\arcsin x \). Số cần tính là giá trị của hàm tại điểm 0,51; tức là \( y(0,51) \).
Đặt \( {{x}_{0}}=0,5;\,\,\Delta x=0,01 \). Khi đó ta có:
\( \arcsin ({{x}_{0}}+\Delta x)\approx \arcsin {{x}_{0}}+{{(\arcsin x{)}’}_{x={{x}_{0}}}}\Delta x \)
\( \Rightarrow \arcsin (0,5+0,01)\approx \arcsin (0,5)+{{\left. (\arcsin x{)}’ \right|}_{x=0,5}}\cdot 0,01=\frac{\pi }{6}+\frac{1}{\sqrt{1-{{(0,5)}^{2}}}}\cdot 0,01 \).
Có thể tính gần đúng \( \sqrt{1-{{(0,5)}^{2}}}=\sqrt{0,75}\approx 0,88 \) và do đó:
\( \arcsin (0,51)\approx \frac{\pi }{6}+0,011\approx 0,513 \).
c) \( \sin 29{}^\circ \).
Số \( \sin 29{}^\circ \) là giá trị của hàm \( y=\sin x \) khi \( x=\frac{\pi }{180}\cdot 29 \).
Ta đặt \( {{x}_{0}}=\frac{\pi }{180}\cdot 30=\frac{\pi }{6};\,\,y\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2};\,\,y=\cos x\Rightarrow {y}’\left( \frac{\pi }{6} \right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Đặt \( \Delta x=x-{{x}_{0}}=\frac{29\pi }{180}-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{180} \).
Do đó \( \sin 29{}^\circ \approx y\left( \frac{\pi }{6} \right)+{y}’\left( \frac{\pi }{6} \right)\cdot \Delta x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left( -\frac{\pi }{180} \right)\approx 0,48 \).
II. Bài tập tự luyện có lời giải
Câu 1. Tính vi phân \( df \) nếu:
1) \( f(x)=\arctan \frac{1}{x} \) (Đs: \( df=-\frac{dx}{1+{{x}^{2}}} \))
2) \( f(x)={{e}^{{{\tan }^{2}}x}} \) (Đs: \( {{2}^{{{\tan }^{2}}x}}\ln 2\cdot 2\tan x\cdot \frac{dx}{{{\cos }^{2}}x} \))
3) \( f(x)=\arccos ({{2}^{x}}) \) (Đs: \( -\frac{{{2}^{x}}\ln 2dx}{\sqrt{1-{{e}^{2x}}}} \))
4) \( f(x)={{x}^{3}}\ln x \) (Đs: \( {{x}^{2}}(1+3\ln x)dx \))
5) \( f(x)={{\cos }^{2}}\left( \sqrt{x} \right) \). (Đs: \( -2\cos \sqrt{x}\cdot \sin \sqrt{x}\cdot \frac{dx}{2\sqrt{x}} \))
6) \( f(x)=(1+{{x}^{2}})arccot x \) (Đs: \( (2xarccot x-1)dx \))
7) \( f(x)=\frac{\arctan x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \) (Đs: \( \frac{1-x\arctan x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3/2}}}dx \))
8) \( f(x)={{\sin }^{3}}2x \) (Đs: \( 3\sin 2x\sin 4xdx \))
9) \( f(x)=\ln \left( \sin \sqrt{x} \right) \) (Đs: \( \frac{\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}dx \))
10) \( f(x)={{e}^{-\frac{1}{\cos x}}} (Đs: \frac{-\tan x\cdot {{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}}{\cos x}dx) \)
11) \( f(x)={{2}^{-{{x}^{2}}}} \) (Đs: \( -2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\ln xdx \))
12) \( f(x)=\arctan \sqrt{{{x}^{2}}+1} \) (Đs: \( \frac{2xdx}{2+{{x}^{2}}} \))
13) \( f(x)=\sqrt{x}\arctan \sqrt{x} \) (Đs: \( \frac{1}{2\sqrt{x}}\left( \arctan \sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+x} \right)dx \))
14) \( f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{\arcsin x} \) (Đs: \( \frac{x\left[ 2\arcsin x-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right]}{{{(\arcsin x)}^{2}}}dx \))
Câu 2. Tính vi phân cấp tương ứng của các hàm sau:
1) \( f(x)={{4}^{-{{x}^{2}}}};\,\,{{d}^{2}}f? \) (Đs: \( {{4}^{-{{x}^{2}}}}2\ln 4(2{{x}^{2}}\ln 4-1){{(dx)}^{2}} \))
2) \( f(x)=\sqrt{{{\ln }^{2}}x-4}.\,\,{{d}^{2}}f? \) (Đs: \( \frac{4\ln x-4-{{\ln }^{3}}x}{{{x}^{2}}\sqrt{{{(\ln x-4)}^{3}}}}{{(dx)}^{2}} \))
3) \( f(x)={{\sin }^{2}}x.\,\,{{d}^{3}}f? \) (Đs: \( -4\sin 2x{{(dx)}^{3}} \))
4) \( f(x)=\sqrt{x-1},\,\,{{d}^{4}}f? \) (Đs: \( \frac{-15}{16{{(x-1)}^{7/2}}}{{(dx)}^{4}} \))
5) \( f(x)=x\ln x,\,\,{{d}^{5}}f? \) (Đs: \( -\frac{6}{{{x}^{4}}}{{(dx)}^{5}},\,\,x>0 \))
6) \( f(x)=x\sin x;\,\,{{d}^{10}}f? \) (Đs: \( (10\cos x-x\sin x){{(dx)}^{10}} \))
Câu 3. Sử dụng công thức gần đúng \( \Delta f\approx df \) (khi \( {f}'(x)\ne 0 \)) để gần đúng các giá trị sau:
1) \( y=\sqrt{3,98} \) (Đs: 1,955)
2) \( y=\sqrt[3]{26,19} \) (Đs: 2,97)
3) \( y=\sqrt{\frac{{{(2,037)}^{2}}-3}{{{(2,037)}^{2}}+5}} \) (Đs: 0,35)
4) \( y=\cos 31{}^\circ \) (Đs: 0,85)
5) \( y=\tan 45{}^\circ 1{0}’ \) (Đs: 0,99)
6) \( y=\ln (10,21) \) (Đs: 1,009)
7) \( y=\sin 31{}^\circ \) (Đs: 0,51)
8) \( y=\arcsin (0,54) \) (Đs: 0,57)
9) \( y=\arctan (1,05) \) (Đs: 0,81)
10) \( y={{(1,03)}^{5}} \) (Đs: 1,15)
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ chi tiết nội dung và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
