Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.3.2. Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital
Trong chương trước ta đã đề cập đến việc khử các dạng vô định. Bây giờ ta trình bày quy tắc L’Hospital – công cụ cơ bản để khử các dạng vô định.
a) Dạng vô định \( \frac{0}{0} \).
Giả sử hai hàm \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) thỏa mãn các điều kiện:
i) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0;\,\,\,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)=0 \)
ii) \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) khả vi trong lân cận nào đó của điểm \( x=a \) và \( {\varphi }'(x)\ne 0 \) trong lân cận đó, có thể trừ ra chính điểm \( x=a \).
iii) Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng)
\( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{{\varphi }'(x)}=k \).
Khi đó: \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{{\varphi }'(x)} \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
b) Dạng vô định \( \frac{\infty }{\infty } \).
Giả sử \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) thỏa mãn các điều kiện ii) và iii) của định lí trên đây còn điều kiện i) được thay bởi điều kiện:
i)* \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty ,\,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)=\infty \) .
Khi đó: \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{{\varphi }'(x)} \).
Chú ý: Nếu thường \( \frac{{f}'(x)}{{\varphi }'(x)} \) lại có dạng vô định \( \frac{0}{0} \) (hoặc \( \frac{\infty }{\infty } \)) tại điểm \( x=a \) và \( {f}'(x),{\varphi }'(x) \) thỏa mãn các điều kiện i), ii) và iii) (tương ứng i)*, ii) và iii)) thì ta có thể chuyển sang đạo hàm cấp hai,…
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
c) Các dạng vô định khác
+ Để khử dạng vô định \( 0\cdot \infty \,\,\left( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0,\,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)=\infty \right) \) ta biến đổi tích \( f(x)\cdot \varphi (x) \) thành:
i) \( \frac{f(x)}{1/\varphi (x)} \) (dạng \( \frac{0}{0} \))
ii) \( \frac{\varphi (x)}{1/f(x)} \) (dạng \( \frac{\infty }{\infty } \)).
+ Để khử dạng vô định \( \infty -\infty \) .
Ta biến đổi \( f(x)-g(x) \) (trong đó \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty ,\,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)=\infty \) ) thành tích:
\( f(x)-\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\left[ \frac{1}{\varphi (x)}-\frac{1}{f(x)} \right] \) hoặc thành tích dạng \( f(x)-\varphi (x)=f(x)\left[ 1-\frac{\varphi (x)}{f(x)} \right] \) hoặc \( f(x)-\varphi (x)=\varphi (x)\left[ \frac{f(x)}{\varphi (x)}-1 \right] \).
+ Dạng vô định \( {{0}^{0}},{{\infty }^{0}},{{1}^{\infty }} \).
Khi tính giới hạn của hàm dạng \( F(x)={{[f(x)]}^{\varphi (x)}} \) thông thường ta gặp các dạng vô định \( {{0}^{0}},{{\infty }^{0}} \) hoặc \( {{1}^{\infty }} \). Trong những trường hợp này ta có thể biến đổi \( F(x) \) để đưa về dạng vô định \( 0\cdot \infty \) đã nói trong 1) nhờ phép biến đổi \( F(x)={{[f(x)]}^{\varphi (x)}}={{e}^{\ln {{[f(x)]}^{\varphi (x)}}}}={{e}^{\varphi (x)\ln f(x)}} \) và do tính liên tục của hàm mũ ta sẽ có:
\( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{[f(x)]}^{\varphi (x)}}={{e}^{\lim \left[ \varphi (x)\cdot \ln f(x) \right]}} \).
Chú ý: Ta lưu ý rằng mặc dù quy tắc L’Hospital là một công cụ mạnh để tính giới hạn nhưng nó không thể thay toàn bộ các phương pháp tính giới hạn đã xét trong chương II.
I. Bài tập mẫu về Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital
Ví dụ 1. Tính \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1+\ln x}{{{e}^{x}}-e} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có vô định dạng \( \frac{0}{0} \). Áp dụng quy tắc L’Hospital ta thu được:
\( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1+\ln x}{{{e}^{x}}-e}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1+\ln x{)}’}{({{e}^{x}}-e{)}’}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+\frac{1}{x}}{{{e}^{x}}}=\frac{3}{e} \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Tính \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{n}}}{{{e}^{x}}}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có vô định dạng \( \frac{\infty }{\infty } \). Áp dụng quy tắc L’Hospital n lần ta thu được:
\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{n}}}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n{{x}^{n-1}}}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n(n-1){{x}^{n-2}}}{{{e}^{x}}}=\cdot \cdot \cdot =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n!}{{{e}^{x}}}=0\).
Ví dụ 3. Tính \( \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,x\ln x \).
Hướng dẫn giải:
Ta có vô định dạng \( 0\cdot \infty \) . Nhưng: \( x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \) và ta thu được vô định dạng \( \frac{\infty }{\infty } \).
Do đó: \( \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,x\ln x=\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\ln x{)}’}{{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=-\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,x=0 \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ chi tiết nội dung và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 4. Tính \( \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{x}} \).
Hướng dẫn giải:
Ở đây ta có vô định dạng \( {{0}^{0}} \). Nhưng: \( {{x}^{x}}={{e}^{x\ln x}} \) và ta thu được vô định dạng \( 0\cdot \infty \) ở số mũ. Trong ví dụ trước ta đã thu được: \( \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,(x\ln x)=0 \).
Do đó: \( \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{x}}=\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x\ln x}}={{e}^{\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,x\ln x}}={{e}^{0}}=1 \).
Ví dụ 5. Tính \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{(1+{{x}^{2}})}^{\frac{1}{{{e}^{x}}-1-x}}} \).
Hướng dẫn giải:
Ở đây ta có vô định dạng \( {{1}^{\infty }} \). Nhưng \( {{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{{{e}^{x}}-1-x}}}={{e}^{\frac{\ln (1+{{x}^{2}})}{{{e}^{x}}-1-x}}} \) và ở số mũ của lũy thừa ta thu được vô định dạng \frac{0}{0}. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta thu được:
\( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+{{x}^{2}})}{{{e}^{x}}-1-x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}}{{{e}^{x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{({{e}^{x}}-1)(1+{{x}^{2}})}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{e}^{x}}(1+{{x}^{2}})+({{e}^{x}}-1)\cdot 2x}=\frac{2}{1}=2 \).
Ví dụ 6. Tính \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x \right)}^{2\cos x}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có vô định dạng “ \( {{\infty }^{0}} \)”. Nhưng \( {{\left( \tan x \right)}^{2\cos x}}={{e}^{2\cos x\ln (\tan x)}}={{e}^{\frac{2\ln (\tan x)}{1/\cos x}}} \) và ở số mũ của lũy thừa ta thu được vô định dạng “ \( \frac{\infty }{\infty } \)”. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có:
\(\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\ln (\tan x)}{\frac{1}{\cos x}}=2\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x\cdot \tan x}}{\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}}=2\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{\cos x}}{{{\tan }^{2}}x}=2\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}}{2\tan x\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\cos x=0\).
Do đó: \(\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x \right)}^{2\cos x}}={{e}^{\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,2\cos x\cdot \ln (\tan x)}}={{e}^{0}}=1\).
II. Bài tập tự luyện về Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital - Có lời giải chi tiết
Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:
1) \( \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-16}{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-6x-16} \) (Đs: \( \frac{16}{13} \))
2) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{m}}-{{a}^{m}}}{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}} \) (Đs: \( \frac{m}{n}{{a}^{m-n}} \))
3) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{2x}}-1}{\sin x} \) (Đs: 2)
4) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos ax}{1+\cos bx} \) (Đs: \( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}} \))
5) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2x}{x-\sin x} \) (Đs: 2)
6) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1-{{x}^{2}})}{\cos 3x-{{e}^{-x}}} \) (Đs: 0)
7) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{1/{{x}^{2}}}}-1}{2\arctan {{x}^{2}}-\pi } \) (Đs: \( -\frac{1}{2} \))
8) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{3{{x}^{2}}+x-1} \) (Đs: 0)
9) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+{{x}^{2}})}{\ln \left[ \frac{\pi }{2}-\arctan x \right]} \) (Đs: -2)
10) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x} \) (Đs: -1)
11) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln (1+x)} \) (Đs: \( +\infty \))
12) \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \sin x}{\ln \sin 5x} \) (Đs: 1)
13) \( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\arcsin \frac{x-a}{a}\cot (x-a) \) (Đs: \( \frac{1}{a} \))
14) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(\pi -2\arctan x)\ln x \) (Đs: 0)
15) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}^{\frac{1}{x}}}-1 \right)x,\,\,a>0 \) (Đs: \( \ln a \))
16) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{(2-x)}^{\tan \frac{\pi x}{2}}} \) (Đs: \( {{e}^{\frac{2}{\pi }}} \))
17) \( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln x} \right] \) (Đs: -1)
18) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x-{{x}^{2}}\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) \right] \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
19) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-{{\cot }^{2}}x \right) \) (Đs: \( \frac{2}{3} \))
20) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{\frac{1}{\ln ({{e}^{x}}-1)}}} \) (Đs: e)
21) \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cot x \right)}^{\tan x}} \) (Đs: 1)
22) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right)}^{\frac{1}{\sin x}}} \) (Đs: \( {{e}^{-1/30}} \))
23) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cos x \right)}^{{{\cot }^{2}}x}} \) (Đs: \( {{e}^{-1/2}} \))
24) \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \ln 2x \right)}^{\frac{1}{\ln x}}} \) (Đs: 1)
25) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+{{\sin }^{2}}x \right)}^{\frac{1}{{{\tan }^{2}}x}}} \) (Đs: e)
26) \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \cot x \right)}^{\frac{1}{\ln x}}} \) (Đs: \( {{e}^{-1}} \))
27) \( \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \sin x \right)}^{\tan x}} \) (Đs: 1)
28) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2x}{\sin x-x} \) (Đs: -2)
29) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}-1+x-\frac{{{x}^{2}}}{2}}{{{e}^{{{x}^{3}}}}-1} \) (Đs: \( -\frac{1}{6} \))
30) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}-1+{{x}^{4}}}{\sin 2x} \) (Đs: \( -\frac{1}{2} \))
31) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}-1-x\ln 2}{{{(1-x)}^{m}}-1+mx} \) (Đs: \( \frac{{{\ln }^{2}}2}{m(m-1)} \))
32) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2}{\pi }\arccos x \right)}^{1/x}} \) (Đs: \( {{e}^{-\frac{2}{\pi }}} \))
33) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{x}^{\alpha }}},\,\,\alpha >0 \) (Đs: 0)
34) \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{m}}}{{{a}^{x}}},\,\,0<a\ne 1 \) (Đs: 0)
35) \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \sin x}{\ln (1-\cos x)} \) (Đs: \( \frac{1}{2} \))
36) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{{{x}^{2}}}-{{\cot }^{2}}x \right] \) (Đs: \( \frac{2}{3} \))
37) \( \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x \right)}^{\tan 2x}} \) (Đs: \( {{e}^{-1}} \))
38) \( \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x \right)}^{\cot x}} \) (Đs: 1)
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
