Giả sử hàm \( y=f(x) \) xác định trong \( \delta \) -lân cận của điểm \( {{x}_{0}}\left( \mathcal{U}({{x}_{0}};\delta ) \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}:\left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta \right\} \) và \( \Delta f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}}) \) là số gia của nó tại điểm \( {{x}_{0}} \) tương ứng với số gia \( \Delta x=x-{{x}_{0}} \) của đối số.
Theo định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: \( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x} \) khi \( \Delta x\to 0 \) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm \( f(x) \) tại điểm \( {{x}_{0}} \) và được chỉ bởi một trong các kí hiệu:
\( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\equiv \frac{dy}{dx}\equiv \frac{d}{dx}f(x)\equiv {f}'(x)\equiv {y}’ \).
Đại lượng: \( {{{f}’}_{+}}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}}+0)=\underset{\begin{smallmatrix} \Delta x\to 0 \\ \Delta x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} \) và \( {{{f}’}_{-}}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}}-0)=\underset{\begin{smallmatrix} \Delta x\to 0 \\ \Delta x<0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} \) được gọi là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của hàm \( y=f(x) \) tại điểm \( {{x}_{0}} \) nếu các giới hạn đã nêu tồn tại.
Sử dụng khái niệm giới hạn một phía ta có:
Định lí 3.1.1. Hàm \( y=f(x) \) có đạo hàm tại điểm x khi và chỉ khi các đạo hàm một phía tồn tại và bằng nhau:
\( {f}'(x+0)={f}'(x-0)={f}'(x) \).
Hàm \( f(x) \) khả vi nếu nó có đạo hàm \( {f}'(x) \) hữu hạn. Hàm \( f(x) \) khả vi liên tục nếu đạo hàm \( {f}'(x) \) tồn tại và liên tục. Nếu hàm \( f(x) \) khả vi thì nó liên tục. Điều khẳng định ngược lại là không đúng.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ chi tiết nội dung và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Bài Giảng Toán Cao Cấp được xây dựng trên WordPress