Giả sử hàm  \( y=f(x) \) xác định trong  \( \delta \) -lân cận của điểm  \( {{x}_{0}}\left( \mathcal{U}({{x}_{0}};\delta ) \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}:\left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta  \right\} \) và  \( \Delta f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}}) \) là số gia của nó tại điểm  \( {{x}_{0}} \) tương ứng với số gia  \( \Delta x=x-{{x}_{0}} \) của đối số.

Theo định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:  \( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x} \) khi  \( \Delta x\to 0 \) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm  \( f(x) \) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) và được chỉ bởi một trong các kí hiệu:

 \( \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\equiv \frac{dy}{dx}\equiv \frac{d}{dx}f(x)\equiv {f}'(x)\equiv {y}’ \).

Đại lượng:  \( {{{f}’}_{+}}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}}+0)=\underset{\begin{smallmatrix}  \Delta x\to 0 \\  \Delta x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} \) và  \( {{{f}’}_{-}}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}}-0)=\underset{\begin{smallmatrix}  \Delta x\to 0 \\ \Delta x<0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} \) được gọi là đạo hàm bên  phải và đạo hàm bên trái của hàm  \( y=f(x) \) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) nếu các giới hạn đã nêu tồn tại.

Sử dụng khái niệm giới hạn một phía ta có:

Định lí 3.1.1. Hàm  \( y=f(x) \) có đạo hàm tại điểm x khi và chỉ khi các đạo hàm một phía tồn tại và bằng nhau:

 \( {f}'(x+0)={f}'(x-0)={f}'(x) \).

Hàm  \( f(x) \) khả vi nếu nó có đạo hàm  \( {f}'(x) \) hữu hạn. Hàm  \( f(x) \) khả vi liên tục nếu đạo hàm  \( {f}'(x) \) tồn tại và liên tục. Nếu hàm  \( f(x) \) khả vi thì nó liên tục. Điều khẳng định ngược lại là không đúng.