Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.3.1. Các định lí cơ bản về hàm khả vi
+ Định lí Rolle. Giả sử:
i) f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
ii) f(x) có đạo hàm hữu hạn trong (a;b).
iii) \( f(a)=f(b) \).
Khi đó tồn tại điểm \( \xi :a<\xi <b \) sao cho \( f(\xi )=0 \).
+ Định lí Lagrange. Giả sử:
i) f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
ii) f(x) có đạo hàm hữu hạn trong (a;b). Khi đó tìm được ít nhất một điểm \( \xi \in (a;b) \) sao cho:
\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )\,\,\,\,\,\,\,(3.12) \) hay là \( f(b)=f(a)+{f}'(\xi )(b-a)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.13) \)
Công thức (3.12) gọi là công thức số gia hữu hạn.
+ Định lí Cauchy. Giả sử:
i) f(x) và \( \varphi (x) \) liên tục trên đoạn [a;b].
ii) f(x) và \( \varphi (x) \) có đạo hàm hữu hạn trong (a;b).
iii) \( {{[{f}'(x)]}^{2}}+{{[{\varphi }'(x)]}^{2}}\ne 0 \), nghĩa là các đạo hàm không đồng thời bằng 9.
iv) \( \varphi (a)\ne \varphi (b) \).
Khi đó tìm được điểm \( \xi \in (a;b) \), sao cho: \( \frac{f(b)-f(a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{\varphi }'(\xi )}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.14) \)
Định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy vì khi \( \varphi (x)=x \) thì từ (3.14) thu được (3.13). Định lí Rolle cũng là trường hợp riêng của định lí Lagrange với điều kiện \( f(a)=f(b) \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Bài tập mẫu về Các định lí cơ bản về hàm khả vi
Ví dụ 1. Giả sử \( P(x)=(x+3)(x+2)(x-1) \). Chứng minh rằng trong khoảng \( (-3;1) \) tồn tại nghiệm của phương trình \( {P}”(\xi )=0 \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Đa thức P(x) có nghiệm tại các điểm \( {{x}_{1}}=-3,\,\,{{x}_{2}}=-2,\,\,{{x}_{3}}=1 \). Trong các khoảng \( (-3;-2) \) và \( (2;-1) \) hàm P(x) khả vi và thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle và:
\( P(-3)=P(-2)=0 \)
\( P(-2)=P(1)=0 \).
Do đó theo định lí Rolle, tìm được điểm \( {{\xi }_{1}}\in (-3;-2);\,\,{{\xi }_{2}}\in (-2;1) \) sao cho: \( {P}'({{\xi }_{1}})={P}'({{\xi }_{2}})=0 \).
Bây giờ lại áp dụng định lí Rolle cho đoạn \( [{{\xi }_{1}};{{\xi }_{2}}] \) và hàm \( {P}'(x) \), ta lại tìm được điểm \( \xi \in ({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})\subset {P}”(\xi )=0 \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Hãy xét xem hàm \( f(x)=\arcsin x \) trên đoạn \( [-1;1] \) có thỏa mãn định lí Lagrange không? Nếu thỏa mãn thì hãy tìm điểm \( \xi \) (xem (8.12)).
Hướng dẫn giải:
Hàm f(x) xác định và liên tục trên \( [-1;1] \). Ta tìm \( {f}'(x) \).
\( {f}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\to {f}'(x)<\infty ,\,\,x\in (-1;1) \).
(Lưu ý rằng khi \( x=\pm 1 \) đạo hàm không tồn tại nhưng điều đó không ảnh hưởng đến sự thỏa mãn điều kiện của định lí Lagrange).
Như vậy hàm f thỏa mãn định lí Lagrange.
Ta tìm điểm \( \xi \) . Ta có: \( \frac{\arcsin 1-\arcsin (-1)}{1-(-1)}=\frac{1}{\sqrt{1-{{\xi }^{2}}}} \).
\( \Rightarrow \frac{\frac{\pi }{2}-\left( -\frac{\pi }{2} \right)}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-{{\xi }^{2}}}}\Rightarrow \sqrt{1-{{\xi }^{2}}}=\frac{2}{\pi }\Rightarrow {{\xi }_{1,2}}=\pm \sqrt{1-\frac{4}{{{\pi }^{2}}}} \).
Như vậy trong trường hợp này công thức (8.12) thỏa mãn đối với hai điểm.
Ví dụ 3. Hãy khảo sát xem các hàm \( f(x)={{x}^{2}}-2x+3 \) và \( \varphi (x)={{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+20x-5 \) có thỏa mãn điều kiện định lí Cauchy trên đoạn \( [1;4] \) không? Nếu chúng thỏa mãn định lí Cauchy thì hãy tìm điểm \( \xi \).
Hướng dẫn giải:
i) Hiển nhiên cả \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) liên tục khi \( x\in [1;4] \).
ii) \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) có đạo hàm hữu hạn trong \( (1;4) \).
iii) Điều kiện thứ iii) cũng thỏa mãn vì: \( {g}'(x)=3{{x}^{2}}-14x+20>0,\,\,x\in \mathbb{R} \).
iv) Hiển nhiên \( \varphi (1)\ne \varphi (4) \).
Do đó \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) thỏa mãn định lí Cauchy và ta có:
\( \frac{f(4)-f(1)}{\varphi (4)-\varphi (1)}=\frac{{f}'(\xi )}{{\varphi }'(\xi )} \) hay \( \frac{11-2}{27-9}=\frac{2\xi -2}{3{{\xi }^{2}}-14\xi +20},\,\,\xi \in (1;4) \).
Từ đó thu được \( {{\xi }_{1}}=2,\,\,{{\xi }_{2}}=4 \) và ở đây chỉ có \( {{\xi }_{1}}=2 \) là điểm trong của (1;4). Do đó \( \xi =2 \).
Ví dụ 4. Định lí Cauchy có áp dụng được cho các hàm \( f(x)=\cos x \), \( \varphi (x)={{x}^{3}} \) trên đoạn \( \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] \) hay không?
Hướng dẫn giải:
Hiển nhiên \( f(x) \) và \( \varphi (x) \) thỏa mãn các điều kiện i), ii) và iv) của định lí Cauchy.
Tiếp theo ta có: \( {f}'(x)=-\sin x;\,\,{\varphi }'(x)=3{{x}^{2}} \) và tại \( x=0 \) ta có: \( {f}'(0)=-\sin 0=0;\,\,{\varphi }'(0)=0 \) và như vậy \( {{[{\varphi }'(0)]}^{2}}+{{[{f}'(0)]}^{2}}=0 \).
Do đó điều kiện iii) không được thỏa mãn. Ta xét vế trái của (8.14):
\( \frac{f(b)-f(a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}=\frac{\cos \left( \frac{\pi }{2} \right)-\cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)}{{{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{3}}-{{\left( -\frac{\pi }{2} \right)}^{3}}}=0 \).
Bây giờ ta xét vế phải của (8.14). Ta có: \( \frac{{f}'(\xi )}{{\varphi }'(\xi )}=-\frac{\sin \xi }{3{{\xi }^{2}}} \).
Nhưng đối với vế phải này ta có: \( \underset{\xi \to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{\sin \xi }{3{{\xi }^{2}}} \right)=\underset{\xi \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \xi }{\xi }\cdot \underset{\xi \to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{3\xi } \right)=\infty \).
Điều đó chứng tỏ rằng các hàm đã cho không thỏa mãn định lí Cauchy.
Bài tập tự luyện về Các định lí cơ bản về hàm khả vi - Có lời giải
Câu 1. Hàm \( y=1-\sqrt[3]{{{x}^{2}}} \) trên đoạn \( [-1;1] \) có thỏa mãn điều kiện của định lí Rolle không? Tại sao? (Đs: Không)
Câu 2. Hàm \( y=3{{x}^{2}}-5 \) có thỏa mãn định lí Lagrange trên đoạn \( [-2;0] \) không? Nếu nó thỏa mãn, hãy tìm giá trị trung gian \( \xi \). (Đs: Có)
Câu 3. Chứng minh rằng hàm \( f(x)=x+\frac{1}{x} \) thỏa mãn định lí Lagrange trên đoạn \( \left[ \frac{1}{2};2 \right] \). Tìm \( \xi \). (Đs: \( \xi =1 \))
Câu 4. Chứng minh rằng các hàm \( f(x)=\cos x,\,\,\varphi (x)=\sin x \) thỏa mãn định lí Cauchy trên đoạn \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \). Tìm \( \xi \) ? (Đs: \( \xi =\frac{\pi }{4} \))
Câu 5. Chứng minh rằng hàm \( f(x)={{e}^{x}} \) và \( \varphi (x)=\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \) không thỏa định lí Cauchy trên đoạn \( [-3;3] \).
Trên đường cong \( y={{x}^{3}} \) hãy tìm điểm mà tại đó tiếp tuyến với đường cong song song với dây cung nối điểm \( A(-1;-1) \) với \( B(2;8) \). (Đs: \( M(1;1) \))
Gợi ý: Dựa vào ý nghĩa hình học của công thức số gia hữu hạn.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ chi tiết nội dung và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
