Bài Giảng Toán Cao Cấp

Giả sử hàm  \( y=f(x) \) xác định trong lân cận nào đó của điểm  \( {{x}_{0}} \) và  \( \Delta x=x-{{x}_{0}} \) là số gia của biến độc lập. Hàm  \( y=f(x) \) có vi phân cấp 1 (vi phân thứ nhất) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) nếu khi đối số dịch chuyển từ giá trị  \( x={{x}_{0}} \) đến giá trị  \( x={{x}_{0}}+\Delta x \) số gia tương ứng của hàm  \( f(x) \) có thể biểu diễn dưới dạng:

 \( \Delta f({{x}_{0}})\equiv f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})=D({{x}_{0}})\Delta x+o(\Delta x)\,\,\,\,\,\,(8.3) \)

Trong đó  \( D({{x}_{0}}) \) không phụ thuộc  \( \Delta x \) và  \( \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to 0 \) khi  \( \Delta x\to 0 \). Tích  \( D({{x}_{0}})\Delta x \) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm  \( f(x) \) tại điểm  \( {{x}_{0}} \) và được kí hiệu là:  \( dy\equiv df\equiv \frac{dy}{dx}dx \).

Số gia  \( \Delta x \) của biến độc lập x được gọi là vi phân của biến độc lập, tức là theo định nghĩa:  \( dx=\Delta x \).

Định lí 3.2.1: Hàm  \( y=f(x) \) có vi phân cấp 1 tại điểm  \( {{x}_{0}} \) khi và chỉ khi hàm đó có đạo hàm hữu hạn tại đó và  \( D({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}}) \).

Vi phân  \( df({{x}_{0}}) \) của hàm f tại điểm  \( {{x}_{0}} \) biểu diễn qua đạo hàm  \( {f}'({{x}_{0}}) \) bởi công thức:  \( df({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})dx\,\,\,\,\,\,\,\,(3.4) \)

Công thức (3.4) cho phép tính vi phân của các hàm, nếu biết đạo hàm của chúng.

Từ (3.3) suy ra:  \( y({{x}_{0}}+\Delta x)=y({{x}_{0}})+df({{x}_{0}})+o(dx),\,\,\,dx\to 0 \).

Nếu  \( df({{x}_{0}})\ne 0 \) thì để tính giá trị gần đúng của hàm  \( f(x) \) tại điểm  \( {{x}_{0}}+\Delta x \) ta có thể áp dụng công thức:

 \( y({{x}_{0}}+\Delta x)\approx y({{x}_{0}})+df({{x}_{0}})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.5) \)

Vi phân cấp 1 có các tính chất sau:

(1)  \( d(\alpha u+\beta v)=\alpha du+\beta dv;\,\,d(uv)=udv+vdu;\,\,d\left( \frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}},\,\,v\ne 0 \).

(2) Công thức vi phân  \( dy={f}'(x)dx \) luôn luôn thỏa mãn bất luận x là biến độc lập hay là hàm của biến độc lập khác. Tính chất này được gọi là tính bất biến về dạng của vi phân cấp 1.