Câu 1. Tính đạo hàm \( {y}’ \) của hàm \( y=f(x) \) nếu:
1) \( y=\sqrt[4]{{{x}^{3}}}+\frac{5}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{{{x}^{3}}}+2 \) (Đs: \( \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}-\frac{10}{{{x}^{3}}}+\frac{9}{{{x}^{4}}} \))
2) \( y={{\log }_{2}}x+3{{\log }_{3}}x \) (Đs: \( \frac{\ln 24}{x\ln 2\cdot \ln 3} \))
3) \( y={{5}^{x}}+{{6}^{x}}+{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{x}} \) (Đs: \( {{5}^{x}}\ln 5+{{6}^{x}}\ln 6-{{7}^{-x}}\ln 7 \))
4) \( y=\ln \left( x+1+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3} \right) \) (Đs \( :\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}} \))
5) \( y=\tan 5x \) (Đs: \( \frac{10}{\sin 10x} \))
6) \( y=\ln \left( \ln \sqrt{x} \right) \) (Đs: \( \frac{1}{2x\ln \sqrt{x}} \))
7) \( y=\ln \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}} \) (Đs: \( \frac{2}{1-4{{x}^{2}}} \))
8) \( y=x\arctan \sqrt{2x-1}-\frac{\sqrt{2x-1}}{2} \) (Đs: \( \arctan \sqrt{2x-1} \))
9) \( y={{\sin }^{2}}{{x}^{3}} \) (Đs: \( 3{{x}^{2}}\sin 2{{x}^{3}} \))
10) \( y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \) (Đs: \( -\sin 4x \))
11) \( y=\sqrt{x}{{e}^{\sqrt{x}}} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{\sqrt{x}}}(1+\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \))
12) \( y={{e}^{\frac{1}{\cos x}}} \) (Đs: \( {{e}^{\frac{1}{\cos x}}}\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \))
13) \( y={{e}^{\frac{1}{\ln x}}} \) (Đs: \( \frac{-{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}}{x{{\ln }^{2}}x} \))
14) \( y=\ln \left( {{e}^{2x}}+\sqrt{{{e}^{4x}}+1} \right) \) (Đs: \( \frac{2{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{4x}}+1}} \))
15) \( y=\ln \sqrt{\frac{{{e}^{4x}}}{{{e}^{4x}}+1}} \) (Đs: \( \frac{2}{{{e}^{4x}}+1} \))
16) \( y={{\log }_{5}}\cos 7x \) (Đs: \( -\frac{7\tan 7x}{\ln 5} \))
17) \( y={{\log }_{7}}\cos \sqrt{1+x} \) (Đs: \( -\frac{\tan \sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}\ln 7} \))
18) \( y=\arccos \left( {{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}} \right) \) (Đs: \( \frac{x{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}{\sqrt{1-{{e}^{-{{x}^{2}}}}}} \))
19) \( y=\tan \sin \cos x \) (Đs: \( \frac{-\sin \cos (\cos x)}{{{\cos }^{2}}(\sin x\cos x)} \))
20) \( y={{e}^{{{x}^{2}}\cot 3x}} \) (Đs: \( \frac{x{{e}^{{{x}^{2}}\cot 3x}}}{{{\sin }^{2}}3x}(\sin 6x-3x) \))
21) \( y={{e}^{\sqrt{1+\ln x}}} \) (Đs: \( \frac{{{e}^{\sqrt{1+\ln x}}}}{2x\sqrt{1+\ln x}} \))
22) \( y={{x}^{\frac{1}{x}}} \) (Đs: \( {{x}^{\frac{1}{x}-2}}(1-\ln x) \))
23) \( y={{x}^{x}} \) (Đs: \( {{x}^{x}}(1+\ln x) \))
24) \( y={{x}^{\sin x}} \) (Đs: \( {{x}^{\sin x}}\cos x\cdot \ln x+{{x}^{\sin x-1}}\sin x \))
25) \( y={{(\tan x)}^{\sin x}} \) (Đs: \( {{(\tan x)}^{\sin x}}\left[ \cos x\ln \tan x+\frac{1}{\cos x} \right] \))
26) \( y={{x}^{\sin x}} \) (Đs: \( {{x}^{\sin x}}\left[ \frac{\sin x}{x}+\ln x\cdot \cos x \right] \))
27) \( y={{x}^{{{x}^{2}}}} \) (Đs: \( {{x}^{{{x}^{2}}+1}}(1+2\ln x) \))
28) \( y={{x}^{{{e}^{x}}}} \) (Đs: \( {{e}^{x}}{{x}^{{{e}^{x}}}}\left( \frac{1}{x}+\ln x \right) \))
29) \( y={{\log }_{x}}7 \) (Đs: \( -\frac{1}{x\ln x{{\log }_{7}}x} \))
30) \( y=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \) (Đs: \( \frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \))
31) \( y=\sin \ln \left| x \right| \) (Đs: \( \frac{\cos \ln \left| x \right|}{x} \))
32) \( y=\ln \left| \sin x \right| \) (Đs: \( \cot x \))
33) \( y=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right| \) (Đs: \( \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \))
Câu 2. Trong các bài toán sau đây tính đạo hàm của hàm y được cho dưới dạng tham số:
1) \( x=a\cos t,\,\,y=a\sin t,\,\,t\in (0;\pi ) \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( -\frac{1}{a{{\sin }^{3}}t} \))
2) \( x={{t}^{3}},\,\,y={{t}^{2}} \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( -\frac{2}{9{{t}^{4}}} \))
3) \( x=1+{{e}^{at}},\,\,y=at+{{e}^{-at}} \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( 2{{e}^{-3at}}-{{e}^{-2at}} \))
4) \( x=a{{\cos }^{3}}t,\,\,y={{\sin }^{3}}t \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( \frac{1}{3a\sin t{{\cos }^{4}}t} \))
5) \( x={{e}^{t}}\cos t,\,\,y={{e}^{t}}\sin t \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( \frac{2}{{{e}^{t}}{{(\cos t-\sin t)}^{3}}} \))
6) \( x=t-\sin t,\,\,y=1-\cos t \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( -\frac{1}{4{{\sin }^{4}}\frac{t}{2}} \))
7) \( x={{t}^{2}}+2t,\,\,y=\ln (1+t) \). \( {{{y}”}_{xx}}? \) (Đs: \( -\frac{1}{4{{(1+t)}^{4}}} \))
Câu 3. Trong các bài toán sau đây tính đạo hàm \( {y}’ \) hoặc \( {y}” \) của hàm ẩn được xác định bởi các phương trình đã cho:
1) \( x+\sqrt{xy}+y=a \). \( {y}’? \) (Đs: \( \frac{2a-2x-y}{x+2y-a} \))
2) \( \arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \). \( {y}’? \) (Đs: \( \frac{x+y}{x-y} \))
3) \( {{e}^{x}}\sin y-{{e}^{-y}}\cos x=0 \). \( {y}’? \) (Đs: \( -\frac{{{e}^{x}}\sin y+{{e}^{-y}}\sin x}{{{e}^{x}}\cos y+{{e}^{-y}}\cos x} \))
4) \( {{x}^{2}}y+\arctan \frac{y}{x}=0 \). \( {y}’? \) (Đs: \( \frac{-2{{x}^{3}}y-2x{{y}^{3}}+y}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+x} \))
5) \( {{e}^{x}}-{{e}^{y}}=y-x \). \( {y}”? \) (Đs: \( \frac{({{e}^{y}}-{{e}^{x}})({{e}^{x+y}}-1)}{{{({{e}^{y}}+1)}^{3}}} \))
6) \( x+y={{e}^{x-y}} \). \( {y}”? \) (Đs: \( \frac{4(x+y)}{{{(x+y+1)}^{3}}} \))
7) \( y=x+\arctan y \). \( {y}”? \) (Đs: \( \frac{-(2{{y}^{2}}+2)}{{{y}^{5}}} \))
Câu 4. Trong các bài toán sau đây, tính đạo hàm của hàm ngược với hàm đã cho.
1) \( y=x+{{x}^{3}},\,\,x\in \mathbb{R} \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs: \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{1+3{{x}^{2}}} \))
2) \( y=x+\ln x,\,\,x>0 \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs: \( {{{x}’}_{y}}=\frac{x}{x+1},\,\,y>0 \))
3) \( y=x+{{e}^{x}} \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs: \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{1+y-x},\,\,y\in \mathbb{R} \))
4) \( y=chx,\,\,x>0 \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs: \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}-1}} \))
5) \( y=\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}},\,\,x<0 \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs: \( {{{x}’}_{y}}=\frac{{{x}^{3}}}{2{{y}^{2}}},\,\,y\in (0;1) \))
Với giá trị nào của a và b thì hàm \( f(x)=\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le {{x}_{0}} \\ & ax+b\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>{{x}_{0}} \\ \end{align} \right. \) liên tục và khả vi tại điểm \( x={{x}_{0}} \)?
(Đs: \(a=3x_{0}^{2},\,\,b=-2x_{0}^{3}\))
Câu 5. Xác định \( \alpha \) và \( \beta \) để các hàm sau: a) liên tục khắp nới; b) khả vi khắp nơi nếu:
1) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & \alpha x+\beta \,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le 1 \\ & {{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>1 \\ \end{align} \right. \)
2) \( f(x)=\left\{ \begin{align} & \alpha +\beta {{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,\left| x \right|<1 \\ & \frac{1}{\left| x \right|}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,\left| x \right|\ge 1 \\ \end{align} \right. \)
(Đs: 1) \( a)\,\,\alpha +\beta =1,\,\,b)\,\,\alpha =2,\beta =-1 \); 2) \( a)\,\,\alpha +\beta =1,\,\,b)\,\,\alpha =\frac{3}{2},\beta =-\frac{1}{2} \))
Câu 6. Giả sử hàm \( y=f(x) \) xác định trên tia \( (-\infty ;{{x}_{0}}) \) và khả vi bên trái tại điểm \( x={{x}_{0}} \). Với giá trị nào của a và b thì hàm \( f(x)=\left\{ \begin{align} & f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le {{x}_{0}} \\ & a{{x}^{2}}+b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>{{x}_{0}} \\ \end{align} \right. \) khả vi tại điểm \( x={{x}_{0}}\,\,({{x}_{0}}\ne 0) \)?
(Đs: \( a=\frac{{f}'({{x}_{0}}-0)}{2{{x}_{0}}},\,\,b=f({{x}_{0}})-\frac{{{x}_{0}}}{2}{f}'({{x}_{0}}-0) \))
Câu 7. Tính đạo hàm \( {y}” \) nếu:
1) \( y={{e}^{-{{x}^{2}}}} \). (Đs: \( 2{{e}^{-{{x}^{2}}}}(2{{x}^{2}}-1) \))
2) \( y=\tan x \). (Đs: \( \frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \))
3) \( y=\sqrt{1+{{x}^{2}}} \). (Đs: \( \frac{1}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3/2}}} \))
4) \( y=\arcsin \frac{x}{2} \). (Đs: \( \frac{x}{{{(4-{{x}^{2}})}^{3/2}}} \))
5) \( y=\arctan \frac{1}{x} \). (Đs: \( \frac{2x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}} \))
6) \( y=x\arcsin x \). (Đs: \( \frac{2-{{x}^{2}}}{(1-{{x}^{2}})\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \))
7) \( y=f({{e}^{x}}) \). (Đs: \( {{e}^{x}}{f}'({{e}^{x}})+{{e}^{2x}}{f}”({{e}^{x}}) \))
Câu 8. Tính đạo hàm cấp 3 của y nếu:
1) \( y=\arctan \frac{x}{2} \). (Đs: \( \frac{4(3x-4)}{{{(4+{{x}^{2}})}^{3}}} \))
2) \( y=x{{e}^{-x}} \). (Đs: \( {{e}^{-x}}(3-x) \))
3) \( y={{e}^{x}}\cos x \). (Đs: \( -2{{e}^{x}}(\cos x+\sin x) \))
4) \( y={{x}^{2}}\sin x \).
5) \( y={{x}^{3}}{{2}^{x}} \). (Đs: \( {{2}^{x}}({{x}^{3}}{{\ln }^{3}}2+9{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+18x\ln 2+6) \))
6) \( y={{x}^{2}}\sin 2x \). (Đs: \( -4(2{{x}^{2}}\cos 2x+6x\sin 2x-3\cos 2x) \))
7) \( y=f({{x}^{2}}) \). (Đs: \( 12{f}”({{x}^{2}}+8{{x}^{3}}{f}”'({{x}^{2}})) \)).
Câu 9. Tính đạo hàm \( {{y}^{(n)}} \) nếu:
1) \( y=\sin 3x \). (Đs: \( {{3}^{n}}\sin \left( 3x+\frac{n\pi }{2} \right) \))
2) \( y={{e}^{\frac{x}{2}}} \). (Đs: \( {{e}^{\frac{x}{2}}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \))
3) \( y={{2}^{3x}} \). (Đs: \( {{2}^{3x}}{{(3\ln 2)}^{n}} \))
4) \( y={{\cos }^{2}}x \). (Đs: \( {{2}^{n-1}}\cos \left( 2x+\frac{n\pi }{2} \right) \))
5) \( y={{(4x+1)}^{n}} \). (Đs: \( {{4}^{n}}n! \))
6) \( y=\ln (ax+b) \). (Đs: \( {{(-1)}^{n-1}}(n-1)!\frac{{{a}^{n}}}{{{(ax+b)}^{n}}} \))
7) \( y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \). (Đs: \( {{4}^{n-1}}\cos \left( 4x+\frac{n\pi }{2} \right) \))
Gợi ý: chứng minh rằng \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x \).
8) \( y={{\sin }^{3}}x \). (Đs: \( \frac{3}{4}\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)-\frac{{{3}^{n}}}{4}\sin \left( 3x+\frac{n\pi }{2} \right) \))
Gợi ý: Dùng công thức \( \sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \).
9) \( y=\sin \alpha x\cdot \sin \beta x \). (Đs: \(\frac{1}{2}{{(\alpha -\beta )}^{n}}\cos \left[ (\alpha -\beta )x+\frac{n\pi }{2} \right]-\frac{1}{2}{{(\alpha +\beta )}^{n}}\cos \left[ (\alpha +\beta )x+\frac{n\pi }{2} \right]\))
Gợi ý: Biến đổi tích thành tổng.
10) \( y={{e}^{\alpha x}}\sin \beta x \).
(Đs: \( {{e}^{\alpha x}}\left[ \sin \beta x\left( {{\alpha }^{n}}-\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}{{\alpha }^{n-2}}{{\beta }^{2}}+… \right)+\cos \beta x\left( n{{\alpha }^{n-1}}\beta -\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}{{\alpha }^{n-3}}{{\beta }^{3}}+… \right)+… \right] \))
Gợi ý: Dùng Quy tắc Leibniz.
11) \( y={{e}^{x}}(3{{x}^{2}}-4) \). (Đs: \( {{e}^{x}}\left[ 3{{x}^{2}}+6nx+3n(n-1)-4 \right] \))
12) \( y=\ln \frac{ax+b}{ax-b}\,\,\,\,\,\,\left( \frac{ax+b}{ax-b}>0 \right) \). (Đs: \( {{(-1)}^{n-1}}{{a}^{n}}(n-1)!\left[ \frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}-\frac{1}{{{(ax-b)}^{n}}} \right] \))
13) \( y=\frac{x}{{{x}^{2}}-4x-12} \). (Đs: \( \frac{{{(-1)}^{n}}n!}{4}\left[ \frac{3}{{{(x-6)}^{n+1}}}+\frac{1}{{{(x-2)}^{n+1}}} \right] \))
14) \( y=\frac{3-2{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x-2} \). (Đs: \( {{(-1)}^{n}}n!\left[ \frac{{{2}^{n}}}{{{(2x-1)}^{n+1}}}+\frac{1}{{{(x-2)}^{n+1}}} \right] \))
Gợi ý: ý 13) và 14) cần biểu diễn hàm đã cho dưới dạng tổng các phân thức đơn giản.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc hãy mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ chi tiết nội dung và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Bài Giảng Toán Cao Cấp được xây dựng trên WordPress