Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.3.3. Công thức Taylor
Giả sử hàm \( f(x) \) xác định trong lân cận nào đó của điểm \( {{x}_{0}} \) và n lần khả vi tại điểm \( {{x}_{0}} \) thì
\( f(x)=f({{x}_{0}})+\frac{{f}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{{f}”({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right) \)
Khi \( x\to {{x}_{0}} \) hay: \( f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)},\,\,x\to {{x}_{0}}\,\,\,\,\,(3.15) \)
Đa thức: \( {{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}}\,\,\,\,\,\,(3.16) \) được gọi là đa thức Taylor của hàm \( f(x) \) tại điểm \( {{x}_{0}} \), có hàm: \( {{R}_{n}}(x)=f(x)-{{P}_{n}}(x) \) được gọi là số hạng dư hay phần dư thứ n của công thức Taylor.
Công thức (3.15) được gọi là công thức Taylor cấp n đối với hàm \( f(x) \) tại lân cận của điểm \( {{x}_{0}} \) với phần dư dạng Peano (nó cũng còn được gọi là công thức Taylor địa phương). Nếu hàm \( f(x) \) có đạo hàm đến cấp n thì nó có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)},\,\,\,x\to {{x}_{0}}\)
với các hệ số \( {{a}_{k}} \) được tính theo công thức: \( {{a}_{k}}=\frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!},\,\,k=0,1,…,n \).
Nếu \( {{x}_{0}}=0 \) thì (3.15) có dạng: \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{f}^{(k)}}(0)}{k!}{{x}^{k}}+o({{x}^{n}})},\,\,x\to 0\,\,\,\,\,(3.17)\) và gọi là công thức Maclaurin.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 - Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Sau đây là công thức Taylor tại lân cận điểm \( {{x}_{0}}=0 \) của một số hàm sơ cấp.
i) \( {{e}^{x}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{x}^{k}}}{k!}+o({{x}^{n}})} \)
ii) \( \sin x=x-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{2n+1}}}{(2n+1)!}+o({{x}^{2n+2}})=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}\frac{{{x}^{2k+1}}}{(2k+1)!}+o({{x}^{2n+2}})} \).
iii) \( \cos x=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}\frac{{{x}^{2k}}}{(2k!)}+o({{x}^{2n+1}})} \).
iv) \( {{(1+x)}^{\alpha }}=1+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\alpha (\alpha -1)\cdot \cdot \cdot (\alpha -k+1)}{k!}{{x}^{k}}+o({{x}^{n}})}=1+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \begin{align} & \alpha \\ & k \\ \end{align} \right){{x}^{k}}+o({{x}^{n}})} \).
Trong đó: \( \frac{\alpha (\alpha -1)\cdot \cdot \cdot (\alpha -k+1)}{k!}=\left\{ \begin{align} & \left( \begin{align} & \alpha \\ & k \\ \end{align} \right)\,\,\text{ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\alpha \in \mathbb{R} \\ & C_{\alpha }^{k}\,\,\text{ne }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ u }\,\,\alpha \in \mathbb{N} \\ \end{align} \right. \).
Trường hợp riêng:
+ \( \frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}+o({{x}^{n}})} \),
+ \( \frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \).
v) \( \ln (1+x)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{k}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \).
\( \ln (1-x)=-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \).
\( \oplus \) Phương pháp khai triển theo công thức Taylor
Như vậy, để khai triển hàm \( f(x) \) theo công thức Taylor ta phải áp dụng công thức:
\( f(x)={{T}_{n}}(x)+{{R}_{n+1}}(x),\,\,{{R}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}},\,\,{{a}_{k}}=\frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}\,\,\,\,\,\,\,\,(3.18) \)
1) Phương pháp trực tiếp: dựa vào công thức (3.18). Việc sử dụng công thức (3.18) dẫn đến những tính toán rất cồng kềnh mặc dù cho ta khả năng nguyên tắc để khai triển.
2) Phương pháp gián tiếp: dựa vào các khai triển có sẵn iv) sau khi đã biến đổi sơ bộ hàm đã cho và lưu ý đến các quy tắc thực hiện các phép toán trên các khai triển Taylor.
Nếu \( f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)} \), \( g(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{b}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)} \) thì
a) \( f(x)+g(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{({{a}_{k}}+{{b}_{k}}){{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)} \);
b) \( f(x)g(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{c}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right)} \)
\( {{c}_{k}}=\sum\limits_{p=0}^{k}{{{a}_{p}}{{b}_{k-p}}} \)
c) \( F(x)=f[g(x)]=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{j}}{{\left[ \sum\limits_{k=0}^{n}{{{b}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}-{{x}_{0}}} \right]}^{j}}}+o\left( {{(\sum\limits_{k=0}^{n}{{{b}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}-{{x}_{0}}})}^{n}} \right) \).
3) Để khai triển các phân thức hữu tỉ theo công thức Taylor thông thường ta biểu diễn phân thức đó dưới dạng tổng của đa thức và các phân thức cơ bản (tối giản!) rồi áp dụng iv).
4) Để khai triển tích các hàm lượng giác thông thường biến đổi tích thành tổng các hàm.
5) Nếu cho trước khai triển đạo hàm \( {f}'(x) \) theo công thức Taylor thì việc tìm khai triển Taylor của hàm \( f(x) \) được thực hiện như sau.
Giả sử cho biết khai triển: \( {f}'(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{b}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} \right),\,\,{{b}_{k}}=\frac{{{f}^{(k+1)}}({{x}_{0}})}{k!}} \).
Khi đó tồn tại \( {{f}^{(n+1)}}({{x}_{0}}) \) và do đó hàm \( f(x) \) có thể biểu diễn dưới dạng \( f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{a}_{k}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}} \right)}=f({{x}_{0}})+\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k+1}}{{(x-{{x}_{0}})}^{k+1}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}} \right)} \)
Trong đó: \( {{a}_{k+1}}=\frac{{{f}^{(k+1)}}({{x}_{0}})}{(k+1)!}=\frac{{{f}^{(k+1)}}({{x}_{0}})}{k!}\cdot \frac{1}{k+1}=\frac{{{b}_{k}}}{k+1} \).
Do đó: \( f(x)=f({{x}_{0}})+\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{b}_{k}}}{k+1}{{(x-{{x}_{0}})}^{k+1}}+o\left( {{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}} \right)}\,\,\,\,\,\,\,\,(3.19) \)
Trong đó \( {{b}_{k}} \) là hệ số của đa thức Taylor đối với hàm \( {f}'(x) \).
I. Các ví dụ về Công thức Taylor
Ví dụ 1. Khai triển hàm \( f(x) \) theo công thức Maclaurin đến số hạng \( o({{x}^{n}}) \), nếu
a) \( f(x)=(x+5){{e}^{2x}} \)
b) \( f(x)=\ln \frac{3+x}{2-x} \)
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Hướng dẫn giải:
Lời giải:
a) Ta có: \( f(x)=x{{e}^{2x}}+5{{e}^{2x}} \). Áp dụng I ta thu được:
\( f(x)=x\left( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\frac{{{2}^{k}}{{x}^{k}}}{k!}+o({{x}^{n-1}})} \right)+5\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{2}^{k}}{{x}^{k}}}{k!}+o({{x}^{n}})} \right)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\frac{{{2}^{k}}}{k!}{{x}^{k+1}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{5\cdot {{2}^{k}}}{k!}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \).
Vì \( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\frac{{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}}{k!}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{2}^{k-1}}}{(k-1)!}{{x}^{k}}} \) nên ta có:
\( f(x)=5+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left[ \frac{{{2}^{k-1}}}{(k-1)!}+\frac{5\cdot {{2}^{k}}}{k!} \right]{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}})=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{2}^{k-1}}}{k!}(k+10){{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \).
b) Từ đẳng thức: \( f(x)=\ln \frac{3}{2}+\ln \left( 1+\frac{x}{3} \right)-\ln \left( 1-\frac{x}{2} \right) \) và theo v) ta thu được
\(f(x)=\ln \frac{3}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}\left( \frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{{{3}^{k}}} \right){{x}^{k}}}+o({{x}^{n}})\)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1
Ví dụ 2. Khai triển hàm \( f(x) \) theo công thức Taylor tại lân cân điểm \( {{x}_{0}}=-1 \) đến số hạng \( o\left( {{(x+1)}^{2n}} \right) \) nếu
\( f(x)=\frac{3x+3}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( f(x)=\frac{3(x+1)}{\sqrt{4-{{(x+1)}^{2}}}}=\frac{3}{2}(x+1){{\left[ 1-\frac{{{(x+1)}^{2}}}{4} \right]}^{-\frac{1}{2}}} \).
Áp dụng công thức iv) ta thu được:
\( f(x)=\frac{3}{2}(x+1)+\frac{3}{2}(x+1)\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\left( \begin{align} & -\frac{1}{2} \\ & k \\ \end{align} \right){{(-1)}^{k}}\frac{{{(x+1)}^{2k}}}{{{4}^{k}}}}+o\left( {{(x+1)}^{2n}} \right) \)
Trong đó: \( \left( \begin{align} & -\frac{1}{2} \\ & k \\ \end{align} \right){{(-1)}^{k}}={{(-1)}^{k}}\frac{\left( -\frac{1}{2} \right)\left( -\frac{1}{2}-1 \right)\cdot \cdot \cdot \left( -\frac{1}{2}-(k-1) \right)}{k!}=\frac{(2k-1)!!}{{{2}^{k}}k!} \).
Do đó: \( f(x)=\frac{3}{2}(x+1)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{3(2k-1)!!}{{{2}^{3k+1}}k!}{{(x+1)}^{2k+1}}}+o\left( {{(x+1)}^{2n}} \right) \).
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
Ví dụ 3. Khai triển hàm \( f(x) \) theo công thức Taylor tại lân cận điểm \( {{x}_{0}}=2 \) đến số hạng \( o\left( {{(x-2)}^{n}} \right) \), nếu \( f(x)=\ln (2x-{{x}^{2}}+3) \).
Hướng dẫn giải:
Ta biểu diễn \( 2x-{{x}^{2}}+3=(3-x)(x+1)=\left[ 1-(x-2) \right]\left[ 3+(x-2) \right]=3\left[ 1-(x-2) \right]\left[ 1+\frac{x-2}{3} \right] \).
Từ đó suy ra rằng: \( f(x)=\ln 3+\ln \left[ 1-(x-2) \right]+\ln \left[ 1+\frac{x-2}{3} \right] \) và áp dụng công thức v) ta thu được:
\( f(x)=\ln 3-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}{{(x-2)}^{k}}}+\sum\limits_{k=1}^{n}{{{(-1)}^{k-1}}\frac{{{(x-2)}^{k}}}{k\cdot {{3}^{k}}}}+o\left( {{(x-2)}^{n}} \right)=\ln 3+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left[ \frac{{{(-1)}^{k-1}}}{3k}-1 \right]\frac{{{(x-2)}^{k}}}{k}}+o\left( {{(x-2)}^{n}} \right) \).
Ví dụ 4. Khai triển hàm \( f(x)=\ln \cos x \) theo công thức Maclaurin đến số hạng chứa \( {{x}^{4}} \).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng iii) ta thu được: \( \ln (\cos x)=\ln \left[ 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{24}+o({{x}^{4}}) \right]=\ln (1+t) \), trong đó ta đặt \( t=-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{24}+o({{x}^{4}}) \).
Tiếp theo ta áp dụng khai triển v):
\( \begin{align} & \ln (\cos x)=\ln (1+t)=t-\frac{{{t}^{2}}}{2}+o({{t}^{2}}) \\ & =\left[ -\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{24}+o({{x}^{4}})-\frac{1}{2}{{\left( -\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{4}+o({{x}^{4}}) \right)}^{2}} \right]+o\left[ {{\left( -\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{24}+o({{x}^{4}}) \right)}^{2}} \right] \\ & =-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{4}}}{24}-\frac{{{x}^{4}}}{8}+o({{x}^{4}})=-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{4}}}{12}+o({{x}^{4}}) \\ \end{align} \)
Còn nhiều ví dụ khác nữa,………
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
II. Bài tập tự luyện về công thức Taylor - Có lời giải chi tiết
Câu 1. Khai triển các hàm theo công thức Maclaurin đến \( o({{x}^{n}}) \)
a) \( f(x)=\frac{1}{3x+4} \) (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}\frac{{{3}^{k}}}{{{4}^{k+1}}}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
b) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+4x}} \) (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}\frac{{{2}^{k}}(2k-1)!!}{k!}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
c) \( f(x)=\frac{1}{{{(1-x)}^{2}}} \) (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{(k+1){{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
d) \( f(x)=\ln \frac{2-3x}{2+3x} \) (Đs: \( \ln \frac{2}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-4)}^{k}}-{{9}^{k}}}{k\cdot {{6}^{k}}}{{x}^{k}}+o({{x}^{n}})} \))
e) \( f(x)=\ln ({{x}^{2}}+3x+2) \) (Đs: \( \ln 2+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}}{k}(1+{{2}^{-k}}){{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
f) \( f(x)=\ln (2+x-{{x}^{2}}) \) (Đs: \( \ln 2+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k-1}}-{{2}^{-k}}}{k}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
g) \( f(x)=\frac{1-2{{x}^{2}}}{2+x-{{x}^{2}}} \). (Đs: \( \frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k+1}}-7\cdot {{2}^{-(k+1)}}}{3}{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
h) \( f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-5}{{{x}^{2}}+x-2} \) (Đs: \( \frac{5}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left[ {{(-1)}^{k}}{{2}^{-(k+1)}}-1 \right]{{x}^{k}}}+o({{x}^{n}}) \))
Câu 2. Khai triển hàm theo công thức Maclaurin đến \( o({{x}^{2n+1}}) \).
a) \( f(x)={{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \). (Đs: \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k+1}}{{2}^{4k-3}}}{(2k)!}{{x}^{2k}}}+o({{x}^{2n+1}}) \))
b) \( f(x)={{\cos }^{3}}x \). (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{3{{(-1)}^{k}}}{4(2k)!}({{3}^{2k-1}}+1){{x}^{2k}}}+o({{x}^{2n+1}}) \))
Gợi ý: \( {{\cos }^{3}}x=\frac{1}{4}\cos 3x+\frac{3}{4}\cos x \).
c) \( f(x)={{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x \) (Đs: \( 1+\sum\limits_{k=1}^{n}{{{(-1)}^{k}}\frac{{{4}^{2k}}}{(2k)!}{{x}^{2k}}}+o({{x}^{2k+1}}) \))
Gợi ý: Chứng minh rằng \( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x \).
d) \( f(x)={{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x \). (Đs: \( 1+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{3{{(-1)}^{k}}{{4}^{2k-1}}}{2(2k)!}{{x}^{2k}}}+o({{x}^{2n+1}}) \))
e) \( f(x)=\sin x\sin 3x \). (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k}}{{2}^{2k-1}}}{(2k)!}(1-{{2}^{2k}}){{x}^{2k}}}+o({{x}^{2n+1}}) \))
Câu 3. Khai triển hàm theo công thức Taylor trong lân cận điểm \( {{x}_{0}} \) đến \( o({{(x-{{x}_{0}})}^{n}}) \).
a) \( f(x)=\sqrt{x},\,\,{{x}_{0}}=1 \). (Đs: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{align} & \frac{1}{2} \\ & k \\ \end{align} \right)}{{(x-1)}^{k}}+o\left( {{(x-1)}^{n}} \right) \))
b) \( f(x)=({{x}^{2}}-1){{e}^{2x}},\,\,{{x}_{0}}=-1 \). (Đs: \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{e}^{-2}}{{2}^{k-2}}(k-5)}{(k-1)!}{{(x+1)}^{k}}}+o\left( {{(x+1)}^{n}} \right) \))
c) \( f(x)=\ln ({{x}^{2}}-7x+12),\,\,{{x}_{0}}=1 \). (Đs: \( \ln 6-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{2}^{-k}}+{{3}^{-k}}}{k}{{(x-1)}^{k}}}+o{{(x-1)}^{n}} \))
d) \( f(x)=\ln \frac{{{(x-1)}^{x-2}}}{3-x},\,\,{{x}_{0}}=2 \). (Đs: \( (x-2)+\sum\limits_{k=2}^{n}{\left( \frac{1}{k}+\frac{{{(-1)}^{k}}}{k-1} \right){{(x-2)}^{k}}}+o\left( {{(x-2)}^{n}} \right) \))
e) \( f(x)=\frac{{{(x-2)}^{2}}}{3-x},\,\,{{x}_{0}}=2 \). (Đs: \( \sum\limits_{k=2}^{n}{{{(x-2)}^{k}}}+o\left( {{(x-2)}^{n}} \right) \))
f) \( f(x)=\frac{{{x}^{2}}-3x+3}{x-2},\,\,{{x}_{0}}=3 \). (Đs: \( 3+\sum\limits_{k=2}^{n}{{{(-1)}^{k}}{{(x-3)}^{k}}}+o\left( {{(x-3)}^{n}} \right) \))
g) \( f(x)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{{{x}^{2}}+10x+25},\,\,{{x}_{0}}=2 \). (Đs: \( \sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{{{(-1)}^{k}}(k-1)}{{{3}^{k}}}{{(x+2)}^{k}}}+o\left( {{(x+2)}^{n}} \right) \))
Câu 4. Áp dụng công thức Maclaurin để tính giới hạn
a) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2x}{x-\sin x} \). (Đs: 2)
b) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan x+2\sin x-3x}{{{x}^{4}}} \) (Đs: 0)
c) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2}{{{x}^{2}}} \) (Đs: 1)
d) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x} \right) \) (Đs: 0)
e) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}{{{x}^{4}}} \) (Đs: \( -\frac{1}{12} \))
f) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{1+{{x}^{2}}}\cos x}{{{x}^{4}}} \) (Đs: \( \frac{1}{3} \))
g) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( \cos x+\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)}{x(\sin x-x)}\) (Đs: \( -\frac{1}{4} \))
h) \( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (\sin x)-x\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}}{{{x}^{5}}} \) (Đs: \( \frac{19}{90} \))
Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Giải Tích 1 để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách!
