3.3.3. Công thức Taylor Giả sử hàm  ( f(x) ) xác định trong lân cận nào đó của điểm  ( {{x}_{0}} ) và n lần khả vi tại điểm  ( {{x}_{0}} ) thì  ( f(x)=f({{x}_{0}})+frac{{f}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+frac{{f}”({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+cdot cdot cdot +frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+oleft( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} right) ) Khi  ( xto {{x}_{0}} ) hay:  ( f(x)=sumlimits_{k=0}^{n}{frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+oleft( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} right)},,,xto {{x}_{0}},,,,,(3.15) ) Đa thức:…

3.3.2. Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital Trong chương trước ta đã đề cập đến việc khử các dạng vô định. Bây giờ ta trình bày quy tắc L’Hospital – công cụ cơ bản để khử các dạng vô định. a) Dạng vô định ( frac{0}{0} ). Giả sử hai hàm  ( f(x)…

3.3.1. Các định lí cơ bản về hàm khả vi + Định lí Rolle. Giả sử: i) f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. ii) f(x) có đạo hàm hữu hạn trong (a;b). iii)  ( f(a)=f(b) ). Khi đó tồn tại điểm  ( xi :a<xi <b ) sao cho  ( f(xi )=0 ). + Định lí…

3.2.3. Bài tập về Vi phân I. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết Ví dụ 1. Tính vi phân df nếu a) ( f(x)=ln left( arctan (sin x) right) ). b) ( f(x)=xsqrt{64-{{x}^{2}}}+64arcsin frac{x}{8} ). Hướng dẫn giải: a) Áp dụng các tính chất của vi phân ta có: (df=frac{dleft[ arctan (sin x)…

3.2.2. Vi phân cấp cao Giả sử x là biến độc lập và hàm  ( y=f(x) ) khả vi trong lân cận nào đó của điểm  ( {{x}_{0}} ). Vi phân thứ nhất  ( df={f}'(x)dx ) là hàm của hai biến x và dx, trong đó dx là số tùy ý không phụ thuộc vào…

3.2.1. Vi phân cấp 1 Giả sử hàm  ( y=f(x) ) xác định trong lân cận nào đó của điểm  ( {{x}_{0}} ) và  ( Delta x=x-{{x}_{0}} ) là số gia của biến độc lập. Hàm  ( y=f(x) ) có vi phân cấp 1 (vi phân thứ nhất) tại điểm  ( {{x}_{0}} ) nếu khi…

3.1.4. Bài tập tự luyện về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao Câu 1. Tính đạo hàm ( {y}’ ) của hàm  ( y=f(x) ) nếu: 1)  ( y=sqrt[4]{{{x}^{3}}}+frac{5}{{{x}^{2}}}-frac{3}{{{x}^{3}}}+2 ) (Đs:  ( frac{3}{4sqrt[4]{x}}-frac{10}{{{x}^{3}}}+frac{9}{{{x}^{4}}} )) 2)  ( y={{log }_{2}}x+3{{log }_{3}}x ) (Đs:  ( frac{ln 24}{xln 2cdot ln 3} )) 3)  ( y={{5}^{x}}+{{6}^{x}}+{{left( frac{1}{7}…

3.1.3. Bài tập mẫu về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao Ví dụ 1. Tính đạo hàm ( {y}’ ) nếu: a) ( y=ln sqrt[3]{frac{{{e}^{x}}}{1+cos x}};,,xne pi (2n+1),,,nin mathbb{N} ). b) ( y=frac{1+{{x}^{2}}}{sqrt[3]{{{x}^{4}}}{{sin }^{7}}x},,,xne pi n,,,nin mathbb{N} ). Hướng dẫn giải: a) Trước hết ta đơn giản biểu thức của hàm y…

3.1.2. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm  ( {f}'(x) ) được gọi là đạo hàm cấp 1 (hay đạo hàm bậc nhất). Đạo hàm của  ( {f}'(x) ) được gọi là đạo hàm cấp hai (hay đạo hàm thứ hai) của hàm  ( f(x) ) và được kí hiệu là  ( {y}” ) hay  (…

3.1.1. Đạo hàm cấp 1 Giả sử hàm  ( y=f(x) ) xác định trong  ( delta ) -lân cận của điểm  ( {{x}_{0}}left( mathcal{U}({{x}_{0}};delta ) right)=left{ xin mathbb{R}:left| x-{{x}_{0}} right|<delta  right} ) và  ( Delta f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}}) ) là số gia của nó tại điểm  ( {{x}_{0}} ) tương ứng với số gia  ( Delta…