Bài Giảng Toán Cao Cấp

Định lí 3.5: Giả sử hàm số f(x,y,z) liên tục trên mặt cong S trơn cho bởi phương trình \( z=z(x,y),\,\,(x,y)\in D \). Khi đó: \( \iint\limits_{S}{f(x,y,z)dS}=\iint\limits_{D}{f(x,y,z(x,y))}\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}(x,y)+{z’}_{y}^{2}(x,y)}dxdy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.29) \)

Chứng minh: Trước hết, ta thừa nhận các kết quả sau:

Nếu mặt cong S cho bởi phương trình  \( F(x,y,z)=0 \) thì các cosin chỉ phương cùa vectơ pháp tuyến tại M(x,y,z) được tính theo công thức:

\(\cos \alpha =\pm \frac{{{{{F’}}}_{x}}}{\sqrt{{F’}_{x}^{2}+{F’}_{y}^{2}+{F’}_{z}^{2}}},\,\,\cos \beta =\pm \frac{{{{{F’}}}_{y}}}{\sqrt{{F’}_{x}^{2}+{F’}_{y}^{2}+{F’}_{z}^{2}}},\,\,\cos \gamma =\pm \frac{{{{{F’}}}_{z}}}{\sqrt{{F’}_{x}^{2}+{F’}_{y}^{2}+{F’}_{z}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.30)\)

Trong công thức (3.30),  \( \alpha ,\beta ,\gamma  \) là góc lập bởi vectơ pháp tuyến của mặt cong S tại M(x,y,z) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz (H.3.13).

Do đó nếu mặt cong S cho bởi phương trình  \( z=z(x,y),\,\,(x,y)\in D \) thì các cosin chỉ phương của vectơ pháp tuyến sẽ là:

 \( \cos \alpha =\pm \frac{{{{{z’}}}_{x}}}{\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}+{z’}_{y}^{2}}};\,\,\cos \beta =\pm \frac{{{{{z’}}}_{y}}}{\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}+{z’}_{y}^{2}}};\,\,\cos \gamma =\pm \frac{1}{\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}+{z’}_{y}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.31) \)

Khi vectơ pháp tuyến  \( \vec{n} \) xác định thì góc  \( \alpha ,\beta ,\gamma \)  xác định và như vậy trong các công thức trên chỉ có dấu “+” hoặc dấu “-”. Bây giờ ta chia S thành n mảnh nhỏ  \( \Delta {{S}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \), tương ứng nhận được n hình chiếu các mảnh đó trên mặt phẳng Oxy là  \( \Delta {{D}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \). Nghĩa là ta đã gián tiếp chia miền D, hình chiếu của mặt cong S trên mặt Oxy, làm n phần  \( \Delta {{D}_{i}} \) (H.3.14).

Lấy tùy ý  \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\in \Delta {{S}_{i}} \) và dựng tiếp diện  \( {{T}_{i}}({{M}_{i}}) \) của mặt S tại  \( {{M}_{i}} \) (mặt phẳng vuông góc với pháp tuyến  \( \vec{n} \) tại M_i hay là mặt phẳng tiếp xúc với mặt S tại M_i).

Gọi  \( \Delta {{T}_{i}} \) là mảnh của tiếp diện có hình chiếu trên Oxy trùng với mảnh  \( \Delta {{D}_{i}} \). Với đường kính của  \( \Delta {{S}_{i}} \) khá nhỏ thì diện tích mảnh  \( \Delta {{T}_{i}} \) xấp xỉ diện tích mảnh  \( \Delta {{S}_{i}} \) và rõ ràng  \( \Delta {{S}_{i}}\approx \frac{\Delta {{D}_{i}}}{\left| \cos {{\gamma }_{i}} \right|} \), theo công thức (3.31) nhận được:

\( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{M}_{i}})\Delta {{S}_{i}}}\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}+{z’}_{y}^{2}}\cdot \Delta {{D}_{i}}} \)

Vế phải chính là tổng tích phân kép lấy trên miền D của hàm số:  \( f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z’}_{x}^{2}+{z’}_{y}^{2}} \).

Vậy công thức tính tích phân mặt loại một khi mặt cong S cho dưới dạng hiện  \( z=z(x,y),\,\,(x,y)\in D \) được cho bởi công thức (3.29).

Chú ý:

(a) Nếu mặt cong S cho bởi phương trình  \( y=y(z,x) \) hoặc  \( x=x(y,z) \) thì ta phải chiếu S lên mặt phẳng Ozx hoặc Oyz để tìm miền tính tích phân kép tương ứng.

(b) Nếu mặt cong kín, ta phải chia thành hữu hạn các phần thỏa mãn định lí trên, sau đó áp dụng công thức (3.29).