Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1. Tích phân bội hai (Tích phân kép)
2.1.1 Bài toán mở đầu
Bài toán: Cho vật thể \(V\in {{\mathbb{R}}^{3}}\) giới hạn bởi các mặt sau đây: mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn L là biên của miền đóng hữu hạn \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \) và mặt cong cho bởi phương trình \( z=f(x,y),\,\,(x,y)\in D \), trong đó \( f(x,y) \) liên tục và không âm trên miền D. Hãy tính thể tích vật thể V (thường gọi V là hình trụ cong).
Cách tính:
Chia hình trụ cong V thành n hình trụ cong bằng cách chia miền D thành n mảnh không dẫm lên nhau bởi một lưới các đường cong trong mặt phẳng Oxy. Gọi tên và diện tích các mảnh đó là \( \Delta {{S}_{i}},\,\,(i=\overline{1,n}) \). Dựng các hình trụ cong có các đáy dưới là \( \Delta {{S}_{i}} \); đáy trên là phần của mặt phẳng cong \( z=f(x,y) \), đường sinh song song với trục Oz. Gọi tên và thể tích các hình trụ cong thành phần là \( \Delta {{V}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \).
Như vậy: \( V=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta {{V}_{i}}} \).
Nhận xét: Lấy tùy ý \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\in \Delta {{S}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \). Vì miền \( \Delta {{S}_{i}} \) là nhỏ và hàm \( f(x,y) \) liên tục nên trên miền \( \Delta {{S}_{i}} \) nên giá trị \( f(x,y) \) khác \( f({{x}_{i}},{{y}_{i}}) \) rất ít, do đó \( \Delta {{V}_{i}}\approx f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{S}_{i}} \). Như vậy: \( V\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{S}_{i}}} \).
Gọi \( {{d}_{i}} \) là đường kính của mảnh \( \Delta {{S}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \) (ta gọi đường kính của miền E là số \( d=Sup\{d(P,Q)\},\,\,P\in E,\,\,Q\in E\) )
Rõ ràng sự xấp xỉ theo công thức trên của V càng chính xác nếu ta chia càng nhỏ miền D. Vậy thể tích V sẽ bằng giới hạn nếu có của tổng ở vế phải khi \( n\to \infty \) soa cho \( \max {{d}_{i}}\to 0 \).
\( V=\underset{\max {{d}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{S}_{i}}} \).
Chú ý: Ý tưởng tính thể tích hình trụ cong hoàn toàn như tính diện tích hình thang cong, ở đó dẫn đến khái niệm tích phân xác định, còn ở đây sẽ dẫn đến khái niệm tích phân kép.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2.1.2. Định nghĩa tích phân kép
Cho hàm \( z=f(x,y) \) xác định trên miền đóng \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \).
+ Chia miền D thành n miền nhỏ bởi lưới các đường, gọi tên và diện tích các miền là \( \Delta {{s}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \) đồng thời kí hiệu \( {{d}_{i}} \) là đường kính mảnh thứ i \( (i=\overline{1,n}) \).
+ Lấy tùy ý \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\in \Delta {{s}_{i}}\,\,\,(i=\overline{1,n}) \).
+ Gọi \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{S}_{i}}} \) là tổng tích phân của \( f(x,y) \) trên miền D ứng với một phân hoạch và một cách chọn các điểm \( {{M}_{1}},{{M}_{2}},…,{{M}_{n}} \). Khi \( n\to \infty \) sao cho \( \max {{d}_{i}}\to 0 \) mà In hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch \( \Delta {{S}_{i}} \) và cách chọn \( {{M}_{i}}\in \Delta {{S}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \) thì số I gọi là tích phân kép của \( f(x,y) \) trên miền D và kí hiệu là \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dS} \).
Như vậy: \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dS}=\underset{\max {{d}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{S}_{i}}}\,\,\,\,\,\,\,\,(2.1) \)
Có được công thức trên thì nói rằng \( f(x,y) \) khả tích trên miền D; \( f(x,y) \) là hàm dưới dấu tích phân còn x, y là các biến tích phân, dS là yếu tố diện tích.
Chú ý:
a) Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên có thể chia D bởi một lưới các đường thẳng song song với các trục tọa độ Ox, Oy. Khi đó \( \Delta {{S}_{i}}=\Delta {{x}_{i}}\cdot \Delta {{y}_{i}} \) suy ra \( dS=dx\cdot dy \). Do đó là tích phân kép thường kí hiệu là: \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy} \).
b) Cũng như tích phân xác định, kí hiệu biến lấy tích phân kép cũng không làm tích phân kép thay đổi, tức là: \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{D}{f(u,v)dudv} \).
c) Nếu \( f(x,y)\ge 0 \) trên D thì thể tích hình trụ cong đã xét trong phần 2.1.1 được tính theo công thức \( V=\iint{f(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.2) \)
d) Nếu \( f(x,y)=1 \) trên D thì số đo diện tích miền D tính theo công thức \( S=\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.3) \)
2.1.3. Điều kiện khả tích
Tương tự như tích phân xác định, ta có:
+ Nếu hàm số \( f(x,y) \) khả tích trên miền D thì \( f(x,y) \)bị chặn trên miền D (điều kiện cần của hàm khả tích).
+ Nếu hàm số \( f(x,y) \) liên tục trên miền D, tổng quát hơn: nếu hàm số \( f(x,y) \) chỉ có giai đoạn loại 1 trên một số hữu hạn cung cong của miền D thì khả tích trên miền D.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
2.1.4. Tính chất của tích phân kép
Từ định nghĩa của tích phân khép, tương tự như tích phân xác định, suy ra được các tính chất sau:
a) Nếu D được chia thành 2 miền D1, D2 mà \( {{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}=\phi \) thì \( f(x,y) \) khả tích nên D khi và chỉ khi nó khả tích trên D1 và D2 đồng thời.
\(\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{f(x,y)dxdy}+\iint\limits_{{{D}_{2}}}{f(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.4)\)
b) Nếu \( f(x,y) \) khả tích trên D và k là hằng số thì:
\( \iint\limits_{D}{k\cdot f(x,y)dxdy}=k\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.5) \)
c) Nếu \( f(x,y),\,\,g(x,y) \) khả tích trên D thì
\( \iint\limits_{D}{\left[ f(x,y)+g(x,y) \right]dxdy}=\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}+\iint\limits_{D}{g(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.6) \)
d) Nếu \( f(x,y),\,\,g(x,y) \) cùng khả tích trên D và \( f(x,y)\le g(x,y),\,\,\forall (x,y)\in D \) thì:
\( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}\le \iint\limits_{D}{g(x,y)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.7) \)
e) Nếu \( f(x,y) \) khả tích thì \( \left| f(x,y) \right| \) khả tích và \( \left| \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy} \right|\le \iint\limits_{D}{\left| f(x,y) \right|dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.8) \)
f) Nếu \( f(x,y) \) khả tích trên D và thỏa mãn \( m\le f(x,y)\le M,\,\,\forall (x,y)\in D \) thì \(mS\le \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}\le MS\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.9)\)
trong đó S là diện tích miền D.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
