Bài Giảng Toán Cao Cấp

Định lí 2.1. Nếu hàm số  \( f(x,y) \)liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & a\le x\le b \\  & {{\varphi }_{1}}(x)\le y\le {{\varphi }_{2}}(x) \\ \end{align} \right. \) thì  \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.10) \)

Chứng minh: Trước hết xét  \( f(x,y)\ge 0 \) và liên tục trên miền D:  \( \left\{ \begin{align}  & a\le x\le b \\  & {{\varphi }_{1}}(x)\le y\le {{\varphi }_{2}}(x) \\ \end{align} \right. \).

Trong đó  \( {{\varphi }_{1}}(x),{{\varphi }_{2}}(x) \) liên tục trên  \( [a;b] \).

Theo ý nghĩa hình học ta có:  \( V=\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy} \)

Trong đó V là thể tích hình trụ cong. Mặt khác, ứng dụng tích phân xác định ta lại có:  \( V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx} \), trong đó S(x) là diện tích thiết diện của hình trụ cong do mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x tạo ra (H.2.2). Từ hình 2.2 ta thấy S(x) là diện tích hình thang cong nằm trên mặt phẳng Oyz (bằng phép tịnh tiến) giới hạn bởi trục Oy, các đường  \( y={{\varphi }_{1}}(x),\,\,y={{\varphi }_{2}}(x) \) và đường cong  \( z=f(x,y) \), với x cố định. Theo ý nghĩa tích phân xác định ta có:  \( S(x)=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy} \).

Suy ra: \(\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{\left( \int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy} \right)dx}\).

Tích phân lặp trên được quy ước viết theo dạng:  \( \int\limits_{a}^{b}{\left( \int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy} \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy} \).

Bây giờ xét  \( f(x,y) \) liên tục và có dấu bất kì trên miền D.

Xét các hàm số phụ sau:  \( {{f}_{1}}(x,y)=\left\{ \begin{align}  & f(x,y)\,\,\,\,\,\,\,\forall (x,y),\,f(x,y)\ge 0 \\  & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall (x,y),\,f(x,y)<0 \\ \end{align} \right. \)

 \( {{f}_{2}}(x,y)=\left\{ \begin{align}  & -f(x,y)\,\,\,\,\,\,\,\forall (x,y),\,f(x,y)<0 \\  & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall (x,y),\,f(x,y)\ge 0 \\ \end{align} \right. \).

Các hàm số  \( {{f}_{1}}(x,y),\,\,{{f}_{2}}(x,y) \) liên tục và không âm trên miền D đồng thời  \( f(x,y)={{f}_{1}}(x,y)-{{f}_{2}}(x,y) \).

Theo tính chất c) của tích phân bội và kết quả trên, ta được:

 \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{D}{{{f}_{1}}(x,y)dxdy}-\iint\limits_{D}{{{f}_{2}}(x,y)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{{{f}_{1}}(x,y)dy}-\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{{{f}_{2}}(x,y)dy} \)

 \( =\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{\left[ {{f}_{1}}(x,y)-{{f}_{2}}(x,y) \right]dy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy} \).

Vậy ta nhận được công thức (2.10). Nhự vậy, để tính tích phân kép ta đưa về tính tích phân lặp. Công thức (2.10) thể hiện tính tích phân theo biến y (trong khi coi x là hằng số) trước và theo biến x sau.

Chú ý:

(1) Nếu miền D cho bởi hệ bất phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & c\le y\le d \\  & {{\psi }_{1}}(y)\le x\le {{\psi }_{2}}(y) \\ \end{align} \right. \) thì nhận được công thức tính tích phân kép tương tự là:  \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{c}^{d}{dy}\int\limits_{{{\psi }_{1}}(y)}^{{{\psi }_{2}}(y)}{f(x,y)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.11) \)

(2) Công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân hay gọi là công thức Fubini. Trong trường hợp này, miền D có tính chất: Mỗi đường thẳng song song với trục tọa độ cắt miền D nhiều nhất ở hai điểm. Khi đó tồn tại hình chữ nhật:  \( \left\{ \begin{align}  & a\le x\le b \\  & c\le y\le d \\ \end{align} \right. \) có cạnh tiếp xúc với biên của miền D (H.2.3).

Giả sử  \( \overset\frown{ADB},\,\overset\frown{ACB} \) có phương trình là:  \( y={{\varphi }_{1}}(x),\,\,y={{\varphi }_{2}}(x),\,\,a\le x\le b,\,\,\overset\frown{CAD},\,\,\overset\frown{CBD} \) có phương trình là:  \( x={{\psi }_{1}}(y),\,\,x={{\psi }_{2}}(y),\,\,c\le y\le d \).

Tứ công thức (2.10), (2.11) nhận được công thức Fubini sau đây:  \( \int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\varphi }_{1}}(x)}^{{{\varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy}=\int\limits_{c}^{d}{dy}\int\limits_{{{\psi }_{1}}(y)}^{{{\psi }_{2}}(y)}{f(x,y)dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.12) \)

(3) Khi miền D không có tính chất đã nêu trên thì có thể chia miền D thành một số hữu hạn các miền  \( {{D}_{1}},{{D}_{2}},…,{{D}_{n}} \) có tính chất mô tả ở hình H.2.3 sau đó áp dụng tính chất a) của tích phân kép.

(4) Khi miền D là hình chữ nhật  \( a\le x\le b,\,\,c\le y\le d \) và hàm  \( f(x,y)={{h}_{1}}(x)\cdot {{h}_{2}}(y) \) thường gọi  \( f(x,y) \) là hàm có biến số phân li thì công thức (2.10) trở thành:

 \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{{{h}_{1}}(x)dx}\cdot \int\limits_{c}^{d}{{{h}_{2}}(y)dy} \).