2.4.2. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ
a) Tọa độ trụ
Tọa độ trụ của điểm \( M(x,y,z)\in Oxyz \) là bộ ba số sắp thứ tự \( (r,\varphi ,z) \) trong đó \( (r,\varphi ) \) là tọa độ cực của điểm \( M'(x,y) \), hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy (H.2.15). Vậy với mọi điểm của không gian, ta có: \( r\ge 0,\,\,0\le \varphi <2\pi ,\,\,-\infty <z<+\infty \).
Giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ: \( \left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=z \\ \end{align} \right. \).
Trong trường hợp này \( \frac{D(x,y,z)}{D(r,\varphi ,z)}=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & -r\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & r\cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=r\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.21) \)
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
b) Phương trình mặt cong trong tọa độ trụ
Hệ thức \( F(r,\varphi ,z)=0 \) hoặc giải ra được đối với các biến số \( r=r(\varphi ,z),\,\,z=z(r,\varphi ) \) hoặc \( \varphi =\varphi (r,z) \) gọi là phương trình mặt cong trong tọa độ trụ. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây:
+ \( r={{r}_{0}} \) là phương trình mặt trụ tròn xoay bán kính là \( {{r}_{0}} \) và trục đối xứng là Oz (Trong hệ tọa độ Oxyz, mặt trụ này có phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}} \)).
+ \( \varphi ={{\varphi }_{0}} \) là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng Ozx một góc là \( {{\varphi }_{0}} \) (tương ứng trong Oxyz phương trình là \( y=\tan {{\varphi }_{0}}\cdot x \) với \( x\cdot \cos {{\varphi }_{0}}\ge 0 \)).
+ \( z={{z}_{0}} \) là phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy cắt trục Oz tại điểm có tọa độ \( {{z}_{0}} \). Như vậy mặt cong được mô tả trong hệ tọa độ trụ đôi khi có phương trình rất đơn giản so với trong hệ tọa độ Descartes.
c) Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ
Từ công thức (2.20) và (2.21) ta nhận được:
\( \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{\Omega }{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)rdrd\varphi dz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.22) \)
Thông thường miền \( \Omega \) trong tọa độ trụ mô tả bởi hệ bất phương trình: \( \left\{ \begin{align} & {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \\ & {{r}_{1}}(\varphi )\le r\le {{r}_{2}}(\varphi ) \\ & {{z}_{1}}(r,\varphi )\le z\le {{z}_{2}}(r,\varphi ) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó (2.22) trở thành: \(\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{d\varphi }\int\limits_{{{r}_{1}}(\varphi )}^{{{r}_{2}}(\varphi )}{rdr}\int\limits_{{{z}_{1}}(r,\varphi )}^{{{z}_{2}}(r,\varphi )}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)dz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.23)\)
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ. Tính \( I=\iiint\limits_{V}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})dxdydz} \) trong đó V giới hạn bởi các mặt \( z=0,\,\,{{a}^{2}}{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}},\,\,{{z}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}},\,\,z\ge 0,\,\,a>0 \).
Hướng dẫn giải:
Miền V nằm trong góc phần tám thứ nhất được cho trên hình H.2.16 được giới hạn bởi mặt Oxy, mặt nón, mặt trụ. Các mặt nón và mặt trụ có phương trình viết trong tọa độ trụ là: \( az=r,\,\,r=R \) (nhận được bằng cách thay \(x=r\cos \varphi ,\,\,y=r\sin \varphi \) vào phương trình các mặt cong đã cho).
Như vậy miền \( \Omega \) cho bởi hệ bất phương trình: \( \left\{ \begin{align} & 0\le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le R \\ & 0\le z\le \frac{r}{a} \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( I=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{3}}dr}\int\limits_{0}^{\frac{r}{a}}{dz}=\frac{2\pi }{a}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{4}}dr}=\frac{2\pi }{5a}{{R}^{5}} \).
Chú ý: Khi miền V có dạng hình trụ và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \) thì thường tính tích phân trong tọa độ trụ sẽ đơn giản hơn trong tọa độ Descartes.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
