Bài Giảng Toán Cao Cấp

Cho hàm số  \( f(x,y,z) \) xác định trên miền  \( V\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \).

+ Chia V tùy ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và thể tích các mảnh đó là  \( \Delta {{V}_{i}},\,\,(i=\overline{1,n}) \), kí hiệu đường kính mảnh  \( \Delta {{V}_{i}} \) là  \( {{d}_{i}} \).

+ Lấy tùy ý  \( {{P}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\in \Delta {{V}_{i}},\,\,(i=\overline{1,n}) \).

+ Lập tổng  \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\Delta {{V}_{i}}} \), gọi đó là tổng tích phân bội ba của hàm  \( f(x,y,z) \) lấy trên miền V ứng với một phân hoạch và các điểm  \( {{P}_{i}}\in \Delta {{V}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \).

Khi  \( n\to \infty \)  sao cho  \( \max {{d}_{i}}\to 0 \) mà I_n hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch  \( \Delta {{V}_{1}} \) và cách chọn điểm  \( {{P}_{i}}\in \Delta {{V}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \) thì số I gọi là tích phân bội ba của  \( f(x,y,z) \) trên miền V, kí hiệu là  \( \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dV} \).

Như vậy:  \( \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dV}=\underset{\max {{d}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\Delta {{V}_{i}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.16) \)

Tương tự, ta cũng nói rằng  \( f(x,y,z) \) khả tích trên miền V.

+ Chú ý:

– Giống như tích phân kép, yếu tố thể tích dV được thay bằng  \( dxdydz \) và khi đó thường kí hiệu tích phân bội ba là:  \( \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz} \).

– Tương tự như tích phân kép, tích phân bội ba không phụ thuộc vào kí hiệu biến lấy tích phân: \(\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{V}{f(u,v,w)dudvdw}\).

– Ý nghĩa cơ học: Nếu  \( f(x,y,z)\ge 0 \) trên miền V thì  \( \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz} \) là khối lượng của vật thể V khi vật thể đó có khối lượng riêng (mật độ hay tỉ khối) là  \( f(x,y,z) \).

– Rõ ràng thể tích V của vật thể V tính theo công thức:  \( V=\iiint\limits_{V}{dxdydz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.17) \)

– Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba tương tự như tích phân kép.