Bài Giảng Toán Cao Cấp

Trước khi đưa ra công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực, ta thừa nhận định lí sau liên quan đến phép đổi biến tích phân kép.

Định lí 2.2: Giả sử  \( f(x,y) \) liên tục trên miền  \( D\subset Oxy \) đồng thời tồn tại các hàm số  \( \left\{ \begin{align}  & x=x(u,v) \\  & y=y(u,v) \\ \end{align} \right. \) thỏa mãn:

+ là song ánh từ D lên  \( \Delta  \).

+ Có đạo hàm riêng liên tục trong miền  \( \Delta \subset Ouv \) và định thức Jacobi  \( \frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ne 0 \) trong miền  \( \Delta \)  (hoặc chỉ bằng 0 ở một số điểm cô lập) khi đó:  \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{\Delta }{f\left[ x(u,v),\,y(u,v) \right]\cdot \left| \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \right|dudv}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.13) \)

a) Hệ tọa độ cực

Để xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng, ngoài hệ tọa độ Descartes, người ta còn dùng hệ tọa độ cực được định nghĩa như sau: chọn điểm O tùy ý gọi là cực và một trục Ox gọi là trục cực. Vị trí của điểm M bất kì được xác định bởi hai số: góc  \( \varphi  \) giữa trục Ox và vectơ  \( \overrightarrow{OM} \) gọi là góc cực và  \( r=\overrightarrow{OM} \) gọi là bán kính vectơ. Cặp  \( (r,\varphi ) \) gọi là tọa độ cực của M và kí hiệu  \( M(r,\varphi ) \). Tất cả các điểm trên mặt phẳng sẽ ứng với  \( \varphi  \) biến thiên từ 0 đến  \( 2\pi  \) hoặc  \( \varphi \)  biến thiên từ  \( -2\pi  \) đến 0 và r biến thiên từ 0 đến  \( \infty \) .

Nếu chọn hệ trục tọa độ Descartes Oxy tức là O trùng với cực, trục hoành trùng với trục cực thì ta nhận được liên hệ sau đây giữa các tọa độ Descartes và tọa độ của điểm M (xem H.2.8):

 \( \left\{ \begin{align}  & x=r\cos \varphi  \\  & y=r\sin \varphi  \\ \end{align} \right. \) và ngược lại:  \( \left\{ \begin{align}  & r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\  & \tan \varphi =\frac{y}{x} \\ \end{align} \right. \), x cùng dấu với  \( \cos \varphi  \) hoặc y cùng dấu với  \( \sin \varphi  \).

b) Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực

Hệ thức  \( F(r,\varphi )=0 \) hoặc  \( r=r(\varphi ) \) hay  \( \varphi =\varphi (r) \) gọi là phương trình đường cong trong tọa độ cực, chẳng hạn  \( r=a \) là phương trình đường tròn bán kính bằng a và tâm ở gốc tọa độ,  \( \varphi ={{\varphi }_{0}} \) là phương trình nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ và lập với trục cực một góc là  \( {{\varphi }_{0}} \).

c) Công thức tích phân kép trong tọa độ cực

Ta thực hiện phép đổi biến số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=r\cos \varphi  \\  & y=r\sin \varphi  \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( \frac{D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\left| \begin{matrix}  \cos \varphi  & -r\sin \varphi   \\   \sin \varphi  & r\cos \varphi   \\\end{matrix} \right|=r \).

Từ công thức (2.13) suy ra:  \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{\Delta }{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.14) \)

Thường gặp miền  \( \Delta  \) được gh bởi hai tia  \( \varphi ={{\varphi }_{1}},\,\,\varphi ={{\varphi }_{2}} \) và đường cong  \( r={{r}_{1}}(\varphi ),\,\,r={{r}_{2}}(\varphi ) \) (H.2.9), tức là trong hệ tọa độ cực, miền D được mô tả bởi hệ bất phương trình:  \( D:\left\{ \begin{align} & {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \\  & {{r}_{1}}(\varphi )\le r\le {{r}_{2}}(\varphi ) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó công thức (2.15) sẽ có dạng:  \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{d\varphi }\int\limits_{{{r}_{1}}(\varphi )}^{{{r}_{2}}(\varphi )}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2.15) \)

+ Chú ý:

– Mối quan hệ giữa các định thức Jacobi của phép biến đổi thỏa mãn  \( \frac{D(x,y)}{D(u,v)}\cdot \frac{D(u,v)}{D(x,y)}=1 \).

– Nếu cực là điểm trong của miền D và mọi bán kính cực cắt biên miền D tại điểm có bán kính  \( r(\varphi ) \) thì

 \( \iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{r(\varphi )}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr} \).